1不等关系与不等式-拔高难度-讲义

1、不等关系与不等式知识讲解、不等式的性质1.对称性：a b b a;2.传递性：a b, b C a C;3加法法则（同向不等式可加性）a b a CbCCR ;推论：a b, c4乘法法则:b ,则acacacbe，bc，bc.推论1:0,cacbd ；推论2：b20 ；推理3：bn 0 ；推理4：na nb.、含有绝对值的不等式1. 绝对值的几何意义意义：设a是一个实数，在数轴上Ial表示实数a对应的点与原点的距离；x-a表示实数X对应的点与实数a对应的点之间的距离2. 关于绝对值的几个结论定理：对任意实数a和b , 有 Ia b a b|推论:. a b a b ；2. a b a C C

2、 b .3. a b c a b C.注意：1）关于定理a b a b a + b ,可以把a > Ib、a + b看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为三角形不等式”.2）绝对值不等式Ia + b | a | +1 b |或Ia b | | Cl + IC b |，从左到右是一一 个不等式放大过程，从右到左是缩小过程， 证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值.3. 绝对值不等式的解法1）含绝对值的不等式| X|<

3、 a与I x> a的解集不等式a >0a =Oa<0|X|<a的解集-a < x< a|X|>a的解集x> a 或 X <-aX R X 0R2） f X C C 0和fx CC 0型不等式的解法 先去绝对值符号，化为不等式组：f X CC 0 ? f X G或 f XC ；f X C C 0 ? C f X C. 解关于X的不等式3）不等式f X g X的解法2 2 将不等式两边平方，去绝对值：f Xg X ；2 2 解不等式：f Xg X .4）含有两个绝对值符号的不等式解法一般有三种解法，分别是 零点划分法”、利用绝对值的几何意义法

4、”和 利用函数图象法” 此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用.零点划分法”一般步骤： 令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根； 把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n +1个区间； 在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； 这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.三、平均值不等式的定理定理1 对任意实数a, b ,有a2 b2 2ab （当且仅a = b时，取“ =号）.定理2 对任意两个正数a , b ,有 b . ab （当且仅a=b时，取“ =号）.定理3对任意三个正数a, b, c,有a3 b3

5、c3 3abc （当且仅a=b=c时，取“ =号）定理4对任意三个正数a, b, c,有-_b_C VabC （当且仅a=b=c时，取“ =号）3推广 对于n个正数a, a2,L a n 2 ,有a1a2L一aa1a2La（当且仅当a1=a2=L=a 时取“ =号）.其中，a1 a2 L_a、 a1a2L a叫作这个正数的算术平均值和几何平均值，因此这个结论也可以阐述为 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值四、不等式的证明1上匕较法1）求差比较法：任意两个代数式 a、b ,可以作差a b后比较a b与O的关系，进一步比较a与b的大小 abOab ； abOab ； abOab.2）求商比较

6、法：任意两个值为正的代数式a、b ,可以作商a b后比较-与1的关系，进b一步比较a与b的大小. -1 a b ； b a 1a b ；b -1a b.b注意：比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断.若代数式a、b均为负数，也可以用求商比较法2综合法和分析法1）综合法概念：一般地，从命题的已知条件出发， 利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法2）分析法概念：一般地，从需要证明的命题出发， 分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定

7、理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.注意：综合法的基本思路：执因索果；分析法的基本思路：执果索因 .它们是思维方向互逆的两种推理方法3. 放缩法概念： 通过缩小 （或放大） 分式的分母 （或分子），或通过放大 （或缩小） 被减式（或减式） 来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法 .注意： 放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找4. 几何法概念： 通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法 .5. 反证法概念： 反证法是间接证明的一种基本方法一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即

8、结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的 条件或公理、定理、 定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从 而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法的基本思路： 假设 矛盾 肯定五、不等式的应用应用步骤： 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； 在定义域内，求出函数的最大或最小值； 写出正确答案典型例题一.解答题（共13小题）1. （2018?江苏）若 x, y, Z为实数，且 x+2y+2z=6,求 x2+y2+z2 的最小值.【

9、解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2） （12+22+22） （x+2y+2z） 2,V x+2y+2z=6, . x2+y2+z2 4?是当且仅当-=?时? 一 22 44x=3， y=3， z=3，. 2+y2+z2的最小值为42. （2018?呼伦贝尔一模）已知 a>0, b>0,且a+b=1.（1）若ab m恒成立，求m的取值范围；4 1（2）若-+- |2x- 1| - |x+21恒成立，求X的取值范围.【解答】解：（1） Va>0, b>0,且 a+b=1,?+? 1.ab ()2=4,当且仅当a=b=1 时 “ 成立,由ab m恒成立，故4 14 1

10、4? ?4? ? va b (0, +), a+b=1,?=(?+? (a+b) =5+?+?/5+2?尹,4 1故若？+获 2x- 1| -x+2 恒成立，则 2- 1| - | x+2| 9,当x - 2时，不等式化为1-2x+x+2 9,解得-6 x - 2,1 1当-2v XV-,不等式化为1 - 2x- X- 2 9,解得-2v XV2 21 1当x-时，不等式化为2x- 1-X-29,解得-x 12,2 2综上所述X的取值范围为-6, 12.3. （2018?商丘三模）已知不等式x+ X-3| V x+6的解集为（m, n）.(1) 求m, n的值；(2) 若 x>0, y&

11、gt;0, nx+y+m=0,求证：x+y 16xy.【解答】(1)解：不等式x+ X-3| Vx+6,当 x3 时，2x- 3 Vx+6 ,即 XV 9,可得 3 XV9 ；当 0vXV 3 时，3vx+6,即 x> - 3,可得 0vXV3;当 x 0 时，3 - 2xVx+6 ,即 x> - 1,可得-1Vx 0.综上可得，原不等式的解集为(-1, 9),由不等式的解集为(m, n),可得 m=- 1 , n=9;(2)证明：由(1)可得 x>0, y>0, 9x+y=1,1 11 1?9?2?9?贝一+-= (9x+y) (一+-=9+1+ 10+2vJ=16,

12、? ? ? ? ? ? ,1当且仅当y=3x=4时，取得等号，则 x+y 16xy.4. (2018?丹东二模)设函数 f (x) =IX- 1| -x+2 ,若-2vf (a) V0,- 2vf (b) V0.(1) 证明：| a+b| V1 ；(2) 比较2| a- b|与| 1 - 4ab|的大小.3, ?V - 2-2 ?V 1I【解答】解：(1) ?(?=-2?- 1 , - 2 ?V 1 ,由得 -1-2 V - 2? 1V 0 -3 , ? 1V ?V 1.IIII11从而-2 V?M 2, - 2 V?M 2，即 l?1* 2' 1 b| V2 ；1 1所以 |?+ ?

13、|< |?|+ |?V 2 + 2 = 1 ( 5 分)(2) (2| a- b| ) 2- | 1 - 4ab| 2= (4a2 1) (4b2 1).由(1)得?V 1, ?v 4，所以(4aF- 1) (4b2- 1) >0 ,故 2|a- b| > | 1 - 4ab| . (10 分)5. (2018?达州四模)已知函数f (x) =x+ X- 1| .(D若f (x) Im- 1|恒成立，求实数m的最大值；(D记(D中m的最大值为M ,正实数a, b满足a2+b2=M,证明：a+b2ab.【解答】解：-2?+ 1, ?<0(D 由 f (x) = 1 , 0

14、 V ?V 1, 2? 1, ?> 1得 f (x) min=1 ,要使 f (x) I m - 1| 恒成立，只要1I m - 1| ,即0 m2,实数m的最大值为2;(D 由(I)知 a2+b2=2,又 a2+b22ab,故 ab 1,(a+b) 2- 4a2b2=a2+b2+2ab - 4a2b2=2+2ab- 4a2b2= - 2 (ab- 1) (2ab+1),V OVab 1, (a+b ) 2-4a2b2=- 2 (ab- 1) (2ab+1) 0,. a+b 2ab.6. (2018?梅 州二模)已知函数 f (X ) =| x+11 - |x-2| .(1)求不等式f

15、(x) 1的解集；(2)若不等式f (x) x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.-3 ,化-1【解答】解：(1) T f (x) =| X+1 - | X- 2| = 2? 1 , - 1 r>r 2, f (x) 1, 3, ?> 2当-1x2 时，2x- 1 1,解得 1x2;当x>2时，3 1恒成立，故x>2;综上，不等式f (x) 1的解集为xx 1 (2)原式等价于存在x R使得f (X)- x2+xm成立，即 m f ( X)- x2+x max ,设 g (x) =f (X)- x2+X-?2 + ? 3，2r-1由(1)知，g (x) = -?2 +

16、 3? 1，- 1 V 化 2， -?2 + ? 3，?>21当x - 1时，g (x) =- x2+x- 3，其开口向下，对称轴方程为 x=2> - 1， g (x) g (- 1) =- 1 - 1 - 3=- 5;3当-1VXV 2时，g (x) = - x2+3x- 1，其开口向下，对称轴方程为 X石 (- 1，2)，3 9 95 g (x) g(_) = - +一 - 1=一 ；yy 2丿 4 24 ；1当x2时，g (x) =- x2+x+3,其开口向下，对称轴方程为 X= V2， g (x) g (2) =-4+2+3=1;宀5综上，g (X) max=，5 m的取值

17、范围为(-, - 7. (2018?雅安模拟)已知函数 f (x) =2x+a+ X- 2| (其中 a R).(1)当a=- 1时，求不等式f( x) 6的解集;(2)若关于X的不等式f (x) 3a2-I 2-x恒成立，求a的取值范围.【解答】解：(1)当a=- 1时，函数f (x) =| 2x- 1|+| X-2| ;则不等式为|2x- 1|+| X- 2| 6; 当x2时，原不等式为2x- 1+x-26,解得：x3;1 当2 ?安2时，原不等式为2x- 1+2- x 6,解得：x5.此时不等式无解; 当？灵1时，原不等式为1 - 2x+2- x6,解得：x - 1;原不等式的解集为xx

18、 - 1或x 3;(2)不等式 f (x) 3a2- | 2 - x| 即为 | 2x+a+ X-2| 3a2-2-x| ;即关于X的不等式2x+a+2- 2| 3a2恒成立；而 | 2x+a+ 2| x - 2| =| 2x+a+ 2x - 4| | (2x+a)-( 2x- 4) | =| a+4| ;. | a+4| 3a2;. a+4 3a2 或 a+4 - 3ai2;4 解得-1 ?客4或a ?;所以a的取值范围是-1 , 4.8. (2018?泸州模拟)设函数f (x) =| 3x- 1| .(D 解不等式 f (X)- f (2-x) >x;(D 若 a+b=2,证明：f

19、(a2) +f (b2) 4.【解答】 解：(D 不等式 f (X)- f (2-x) >X? |3x- 1| - |3x- 5| >x.1155?> 11 ?< 5?> 5可化为3或33或3,-4 >?6? 6>? 4>?亠65 5? x ?,或一 v?w-或一 V2?4.'53 3.原不等式解集为(6 , 4.5(D 证明：T a+b=2,字.?+02?1,即 a2+b22,f (a 1为 M ,且 2 ?, - 2 ? ?(1) 求实数a的最大值； (2) 当a N*时，若不等式|x-a| - |x-3| > b有解，求实数b

20、的取值范围.【解答】解：(1)由题可知，？哆)V0, ?(-2) 0,) +f (b2) =| 3a2- 1+ 3b2T | 3 (a2+b2)- 2| 3× 2- 2=4.9. (2018?宜昌模拟)设不等式Il x+1 -IX- 1| V2的解集为A.(D求集合A;(D若？ m A,不等式mx2- 2x+1 - m V 0恒成立，求实数X的取值范围.2, (? 1)【解答】解：(I)由已知，令 f (X ) =I x+1| - I X- 1| = 2?(-1 V?VI), -2(? -1)由 |f (X ) | V 2, 得 A=x - 1V XV 1.(D 将不等式 mx2-2

21、x+1 - m V 0 整理成(x2- 1) m - 2x+1V0,令 g (m) = (x2- 1) m - 2x+1 ,要使 g (m) V0,?(-1) = (?- 1) ?(-1) - 2? 1 0?(1)= (?- 1) ?1 - 2? 1 0 ?+ 2? 2 0?- 2?<0 . ?<-1 - 3或？?>v3- 10 ?< 2.3 - 1 x 2.310. (2018?孝义市模拟)设函数?(?= |?2 | - ?若不等式f (x) V 0的解集 可得不等式组1- ?M0 ,解得Ka2,2- ?卩0故实数a的最大值为2.(2)由(1)得 1 Va2,那么当

22、a N*时，a=2,可得不等式 |x- a| - |x- 3| > b 为 |x- 2| - |x-3| > b,根据绝对值不等式的性质可知IX - 2| - |x-3|的最大值为|x-2-x+3 =1,若不等式|x-a| - |x-3| >b有解，则bv 1,故实数b的取值范围为(-, 1).11. (2018?全国四模)已知函数f(x) =I x+11 - Ix-2|的最大值为t.(1) 求t的值以及此时的X的取值范围；1(2) 若实数 a, b 满足 a2+2b=t - 2,证明：2a2+b2-.4-3 , ?<-1【解答】解：(1)依题意，得 f (x) =| x+1| - | X- 2| 2? 1, - 1 v ?V3 3, ?> 2所以 t=3,此时 x 2, +).1(2)由 a2+2b=t - 2? a2+2b=1? a2=1 - 2b 0? b ,1所以 2a2+b2=b2 - 4b+2= (b-2) 2 - 2二.12. (2018?凯里市校级三模)设函数 f (x) =| 3x- a|+| X- 3| , g (x) =| X- 1|+ 3, 其中a>0.(D求不等式g (x) |x-5|的解集；(D若对任意X1 R都存在x2 R,使得f (X1) =g (x2),求实数a的取值范 围.【解答】