修改2chapter29多元函数的极值及应用

1、教学要求：教学要求：1. 理解多元函数极值和条件极值的概念理解多元函数极值和条件极值的概念; 3. 会求二元函数的极值会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值会用拉格朗日乘数法求条件极值; 2. 掌握多元函数极值存在的必要条件掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件了解二元函数极值存在的充分条件; 4. 会求简单多元函数的最大值和最小值会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题并会解决一些简单的应用问题. .多元函数的极值多元函数的极值一一 .小值小值多元函数的最大值和最多元函数的最大值和最二二 .数法数法条件极值与拉格朗日乘条件极值与拉格

2、朗日乘三三 .多元函数的极值多元函数的极值一一1.二元函数极值的定义二元函数极值的定义若都适合不等式若都适合不等式的点的点异于异于对于一切对于一切内有定义内有定义在在设设),( ,),(),(0000yxppyxpuyxfz ),(),(00yxfyxf 有极大值有极大值在在则称则称),(),(000yxpyxfz ),(),(00yxfyxf 或或 ).,(00yxf或极小值或极小值极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值. .),(000为极值点为极值点yxp若引进点函数若引进点函数, 则则 ;)(,)()(00为极大值为极大值时时当当pfpfpf .)(,)()(00为极小值为极

3、小值时时当当pfpfpf (1)(2)(3)处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 2.极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件 定理定理1（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）. 0),(, 0),(, ),(,),(),(00000000 yxfyxfyxyxyxfzyx则则极值极值取得取得且在且在具有偏导数具有偏导数在在设设proof.,),(),(00取取得得极极小小值值在在设设yxyxfz ),(),(,00000yxfyxfyyxx

4、 仍有仍有取取,),(00取取得得极极小小值值在在表表明明一一元元函函数数yyyxf . 0),(00 yxfy.0),(00 yxfx同同理理可可证证),(),(00yxfyxf 则则注意注意: .),( ),(, 0),(, 0),()1(000000的驻点的驻点为为则称则称若若yxfzyxyxfyxfyx . , ),( )2(0面面平行于平行于在极值点处的切平面为在极值点处的切平面为xoyzzyxfz (3) 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有具有偏导数，则它在偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条件为有极值的必要条件为 0),(000

5、 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. (4)驻点驻点极值点（可偏导函数）极值点（可偏导函数）定理定理2（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）, ,),(),(0偏导数偏导数且有一阶及二阶连续且有一阶及二阶连续内连续内连续在在设设 puyxfz , 0),(, 0),( 0000 yxfyxfyx又又 ),(),(),( 000000yxfcyxfbyxfayyxyxx 令令,0)1( 2有极值有极值时时当当则则 bac;0,0时有极小值时有极小值时有极大值时有极大值 aa;,0)2(2没有极值没有极值时时当当 bac.,0)3(2需另作讨论需另作讨论

6、为可能极值为可能极值时时当当 bac求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. ).,(),(),( yxfyxfyxfyyxyxx求求第二步第二步第第三三步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 a、b、c. 第四步第四步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. .1323),(. 12233的极值的极值求求 xyyxyxfexsolution.1, 02, 0 yyxx)1, 2(),0 ,

7、 2(),1, 0(),0 , 0( 驻点有驻点有, 0 xyfb36 yfcyy, 3, 0, 06)0 , 0()3( cba处处在在, 3, 0, 06)1, 0( cba处处在在得得由由 033063)1(22yyfxxfyx, 66)2( xfaxx;, 0182有极大值有极大值 bac;, 0182无极值无极值 bac, 3, 0, 06)0 , 2( cba处处在在,23)1, 0( f极大值为极大值为. 3)0 , 2( f极小值为极小值为, 3, 0, 06)1, 2( cba处处在在;, 0182有极小值有极小值 bac.0182无极值无极值 bac,41, 0, 041,

8、)6 , 1, 1( cba处处在在,41, 0, 041,)2, 1, 1( cba处处在在. 2)1, 1(, 6)1, 1( zz极极小小值值为为极极大大值值为为;, 02有有极极大大值值 bac., 02有有极极小小值值 bac .小值小值多元函数的最大值和最多元函数的最大值和最二二(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数将函数 f (x,y) 在在d内的所有驻点处的函数值与在内的所有驻点处的函数值与在d的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值大值，最小的就是最小值.

9、(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点所求的最值点. . 0, 0, 11. 22222的最大值内在求yxyxyxxyzexsolution. 令令,12122222 yxyx即即.31 yx得得,1)31,31(22内内在在且且 yx0112222 yxyxyyxxzy0112222 yxxxyyxyzx331)31,31( z而而,对于边界上的点对于边界上的点, 0),(1, 0, 022 yxzyxyx代代入入函函数数得得以以 .)31

10、,31(为最大值点为最大值点ex3. 把一个正数把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，表为三个正数之和，使其乘积最大，求这三个数求这三个数.solution. .0 ,0,ayaxyxayx 且且可可设设三三个个数数为为 .331最大值为最大值为)( yxaxyz 则则 )1()()1()(xyyxaxzxyyxayzyx 0)2(0)2(yxaxzyxayzyx令令3ayx 得得,)3,3(为唯一驻点为唯一驻点从而从而aa.3,3时其乘积取得最大值时其乘积取得最大值即三个数为即三个数为时时故在故在aayx ,值值根据实际问题存在最大根据实际问题存在最大 .数法数法条件极值与拉格朗日乘条

11、件极值与拉格朗日乘三三1. 条件极值条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，这种情况下的极值称为这种情况下的极值称为条件极值条件极值.相应地，前面讨论的极值称为相应地，前面讨论的极值称为无条件极值无条件极值.条件极值与无条件极值的区别和联系，例如条件极值与无条件极值的区别和联系，例如的极值的极值求求22)1(yxz 条条件件下下的的极极值值在在求求1)2(22 yxyxzsolution.(1) 显然函数在（显然函数在（0，0）点处取得极小值）点处取得极小值.1000.)0 , 0)(2( 点不可能是极值点点不可能是极值点得得代入代入把把

12、221yxzxy 1222 xxz.21,21,21取得极小值取得极小值此时此时时时当当zyx 可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求，极值来求，称为称为“降元法降元法”；并非所有条件极值都能用并非所有条件极值都能用“降元法降元法”解，解，为此必须介绍新的方法为此必须介绍新的方法.2. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 .0),(),(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在考虑考虑 yxyxfz , ),(),(),(,求其可能极值点求其可能极值点作函数作函数一方面一方面yxyxfyxf 0 xxxff令令 0),(0yxffxyyx 即

13、即说明说明f(x, y, )的可能极值点为上述方程组确定的的可能极值点为上述方程组确定的(x, y).),(0),(,xyyx 确定了确定了另一方面另一方面0 yyyff0),( yxf ),(),(yxyxdxdyyx 且且的的可可能能极极值值点点为为满满足足而而)(,(xxfz 0),(,0 yxdxdz 同时同时的点的点,dxdyffdxdzyx 又又.0),(0 yxffxyyx 即即注意注意: (1) 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法: ,0),(),( 条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在要找要找 yxyxfz ),(),(),( yxyxfyxf 先构造拉格朗日函数先构造拉格朗日

14、函数 0),(00yxfffffyyyxxx 令令解出解出(x,y)即为可能极值点即为可能极值点.判断是否为极值点通判断是否为极值点通常由实际问题来定常由实际问题来定. :0),(),( )2(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在求求 zyxzyxfu ),(),(),( zyxzyxfzyxf 构造函数构造函数 0),(000zyxfffffffzzzyyyxxx 令令解出解出(x,y,z)即为可能极值点即为可能极值点. :0),(, 0),( ),( )3(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在求求 yxyxyxfu ).,(),(),(),( yxyxyxfyxf 构造函数构造函数.,1. 422与最短距离求原点到这椭圆的最长截成椭圆被平面旋转抛物面zyxyxzexsolution.,),(为为椭椭圆圆上上的的点点设设zyx, 1,22 zyxyxz且且, 2222zyxd 则则)1()( ),(22222 zyxzyxzyxzyxf 设设 )5( 01)4( 0)3( 02)2( 022)1( 02222zyxfzyxfzfyyfxxfzyx 令