高一数学人教A版必修2成长训练：3.3直线的交点坐标与距离公式 含解析

1、人教版高中数学必修精品教学资料主动成长历基达标1.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是( )a.-24 b.6c.±6 d.不同于a、b、c的答案解析：两直线的交点在y轴上,可设交点的坐标为(0,y0),则有由可得y0=,将其代入得+12=0.k2=36,即k=±6.答案：c2.x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值是( )a. b. c. d.解析：点(0,2)关于x轴对称点坐标为(0,-2),由两点间的距离公式可得最小值为.答案：c3.点p(m-n,-m)到直线的距离等于( )a. b. c. d.解析：将化为一般

2、式nx+my-mn=0.由公式.答案：a4.点p(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是( )a.8 b. c. d.16解析：由x2+y2的实际意义可知,它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方.(x2+y2)min=8答案：a5.光线从点a(-3,5)射到x轴上,经反射以后经过点b(2,10),则光线从a到b的距离为( )a. b. c. d.解析：根据光学原理,光线从a到b的距离,等于点a关于x轴的对称点a到点b的距离,易求a(-3,-5).|ab|=.答案：c6.在直角坐标平面内,与a、b两点距离等于1的直线至少有3条,则

3、|ab|的取值范围是( )a.2,+) b.(2,+) c.(-,2) d.(-,2解析：a、b两点在直线同侧或直线过ab的中点,当直线垂直于ab时,|ab|=2,|ab|2.答案：a7.直线l1、l2分别过点p(-1,3)、q(2,-1),它们分别绕p、q旋转,但始终保持平行,则l1、l2之间的距离d的取值范围为( )a.(0,+) b.(0,5 c.(0,5) d.(0,)解析：|pq|=利用数形结合易知b正确.答案：b8.点a(4,5)关于直线l的对称点为b(-2,7),则直线l的方程为_.解析：由题意可得,直线l是线段ab的垂直平分线所在的直线.直线l经过线段的中点(1,6),其斜率为

4、,直线l的方程为y-6=3(x-1).即3x-y+3=0.答案：3x-y+3=09.两直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限,则a的取值范围是_.解析：由.若交点在第一象限,则 -1a2.答案：-1a210.直线l在两坐标轴上的截距相等,且p(4,3)到直线l的距离为,求直线l的方程.解析：(1)当所求直线经过坐标原点时,设其方程y=kx,由点到直线的距离公式可得,解得k=-6±.故所求直线的方程为y=(-6±)x.(2)当直线不经过坐标原点时,设所求方程为,即x+y-a=0.由题意可得.解得a=1或a=13.故所求直线的方程为x+y-1=0,或x+y-13=0

5、.综上可知,所求直线的方程为y=(-6±)x或x+y-1=0或x+y-13=0.11.求过直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+3y-8=0的交点,且与直线l:3x+4y-2=0平行的直线.解析：由,又k=.故所求直线方程为:y-2= (x-1),即3x+4y-11=0.12.已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和两坐标轴围成的梯形的面积是4,求l2的方程.解析：由l1l2设出l2的方程,然后由梯形的面积求解.l1l2,设l2的方程为x+y-m=0.设l1与x轴,y轴分别交于点a、d.l2与x轴,y轴分别交于b、c.易得：a(1,0) d

6、(0,1) b(m,0) c(0,m).又l2在l1的上方,m>0.s梯形=srtobc-srtoad,4=m·m-·1·1,m2=9,m=3,故l2的方程是x+y-3=0.13.求证不论m取什么实数,直线(2m-1)x(m3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点.解析：题目中的m是任意的,所以可给m取两个值,得两条直线的方程,解由它们组成的方程组可得定点坐标,也可将原方程的左边分离成两部分,利用直线系方程求解.解法一：令m=0,得x-3y-11=0；令m=1,得x+4y+10=0.解得两条直线的交点为(2,-3),将点(2,-3)代入直线方程

7、得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m-11=0.这说明不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,这个定点为(2,-3).解法二：将已知方程整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0,由m取值的任意性,有得两条直线的交点为(2,-3).这说明不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,这个定点为(2,-3).14.求直线l1:2x+y-4=0关于l:3x+4y-1=0对称的直线l2的方程.解析：由平面几何知识可知,若l1、l2关于直线l对称,它们

8、必须满足下列条件：点a在直线l1上,那么点a关于l的对称点必在l2上,反之亦成立.解法一 设点a(x,y)是直线l2上任意一点,它关于l的对称点为a(x0,y0),则解得 a点(x0,y0)在直线l1:2x+y-4=0上,化简得2x+11y+16=0.解法二 特殊点法由可解得l1与l的交点m(3,-2).在l1上取一特殊点(2,0),它关于直线l的对称点(x0,y0)应在所求直线l2上.由解得 由两点式得对称直线的方程为.即为2x+11y+16=0.15.已知点p(2,-1),求：(1)过点p且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点p且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值.(3)是否存在过

9、点p且与原点的距离为6的直线？若存在,求出该直线的方程；若不存在,请说明理由.解析：(1)当斜率不存在时,方程x=2适合题意.当直线的斜率存在时,设为k,则直线方程应为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.根据题意,解得k=.直线方程为 3x-4y-10=0.适合题意的直线方程为x-2=0或3x-4y-10=0(2)过点p且与原点的距离最大的直线方程应为过点p且与op垂直的直线.易求其方程为2x-y-5=0,且最大距离d=.(3)不存在.由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离为,而6>,故不存在这样的直线.16.某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价

10、格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1=-x+70,y2=2x-20.当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量.(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件,政府对每件商品应给予多少元补贴？解析：(1)如右图市场平衡价格和平衡需求量实际上就是直线y=-x+70与y=2x-20交点的横坐标和纵坐标,即为方程组的解.得故平衡价格为30元/件,平衡需求量为40万件.(2)设政府给予t元/件补贴,此时的市场的平衡价格,即消费者支付价格,为x元/件,而提供者收到价格为(x+t)元/件,依题意得方程组解得x=26,t=6.因此,政府对每件商品应给予6元的补

11、贴.走近高考17.在坐标平面内,与点a(1,2)的距离为1,且与点b(3,1)的距离为2的直线共有( )a.1条 b.2条 c.3条 d.4条解析：以a,b为圆心,分别以1和2为半径,作圆再作两圆的公切线,即为所求,公切线有两条.答案：b18.(经典回放)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( )a. b.c. d.解析：,解得a=,a=(舍去),故选c.答案：c19.(经典回放)若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )a.30°,60°) b.(30°,90°) c.(60°,90°) d.30°,90°解析：求出交点坐标,再由交点在第一象限,求得倾斜角的范围.交点在第一象限,即k(,+).倾斜角的范围为(30°,90°)答案：b20.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点o,对于平面上任意一点m,若p,q分别是m到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点m的“距离坐标”,已知常数p0,q0,给出下列三个命题：若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个.若pq=0,且p+q0,则“距离坐标”