81基本概念与可分离

1、常微分方程初步 第八章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 引例引例1. 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:xxy2ddxxyd2cx 2(c为任意常数为任意常数)由由 得得 c = 1,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为21xy由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程 . 微分方程的基本概念 第一节一一般般地地，含含有有未未知知函函数数导导数

2、数的的方方程程称称为为微微分分方方程程未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微微常常分分方方程程称称为为 微微分分方方程程2dyxdx , 2sin ,dyxyx yxdxy 等都是常微分方程等都是常微分方程. 222222220,4uuuuuxyzxy 等都是偏微分方程等都是偏微分方程.未未知知函函数数是是 元元函函数数的的微微分分方方程程称称为为多多偏偏微微分分方方程程或或20yx 一一般般地地，含含有有未未知知函函数数导导数数的的方方程程称称为为微微分分方方程程未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微微常常分分方方程程称称为为 微微分分方方程程未未知知函函数数是是 元元函函数数的的微

3、微分分方方程程称称为为多多偏偏微微分分方方程程22yx 22dyxdx 22yyx 2222d ydyxdxdx 一一阶阶微微分分方方程程二二阶阶微微分分方方程程微微分分方方程程中中未未知知函函数数导导数数的的最最高高阶阶数数称称为为该该微微分分方方程程的的阶阶若若微微分分方方程程是是及及其其的的一一次次方方程程，称称此此微微分分未未知知函函数数各各阶阶方方程程是是导导数数线线性性的的，非非否否则则称称为为 线线性性的的. .线线性性微微分分方方程程222,220,dyx yyyx ydx 非非线线性性微微分分方方程程22,20,dyxyyyydx ( )(1)(2)01211( )( )(

4、)( )( )( )0nnnnnnax yax yax yax yax yax n阶线性微分方程的一般式阶线性微分方程的一般式:2122.20 xxyc ec eyyy 验证是二阶微分方程 验证是二阶微分方程 例例的解.的解. 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数. .微分方程的微分方程的解解 通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的阶数相同. .特解特解 不含任意常数的解不含任意常数的解22xxyee 通解通解:特解特解:212xxyc ec e xxy2dd21xy引例1 初始条件初始条件 确定常数的条件确定常数的条件例例3. 验证

5、函数验证函数是微分方程是微分方程tkctkcxsincos2122ddtx的解的解,0axt00ddttx的特解的特解 . 解解: 22ddtxt kkcsin22)cossin(212t kct kckxk2这说明这说明tkctkcxsincos21是方程的解是方程的解 . 是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,21,cc),(21为常数cct kkccos2102xk利用初始条件易得利用初始条件易得: ,1ac 故所求特解为故所求特解为tkaxcos,02c故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 例例4.求下列初值问题的解求下列初值问题的解22()(0)10

6、, (0)5d sg gdtss 为常数为常数转化转化 可分离变量微分方程 可分离变量方程可分离变量方程 ( )( )dyf x g ydx1( )( ( )0)( )dyf x dxg yg y分离变量方程的解法分离变量方程的解法: :两边积分两边积分, 得得 1d( )yg yxxfd)(cxfyg)()()(yg)(xf则有则有yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得2d3d(0)yxxyy两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lncxy即即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 为非零常数为非零常数 )y = 0也是方程的解也是方程的解,故通解为故通解为( c 为任意常数 )3xecy 例例1. 求微分方求微分方程程练习练习:.dd的通解求方程yxexy解解: 分离变量分离变量xeyexyddceexy即即01)(yxece( c 0 )注注: 微分方程的解可以是显式微分方程的解可以是显式,也可以是隐式也可以是隐式.例例2.解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得121lnln1ycx即即cxy12由初始条件得由初始