数学分析函数的导数36

1、 3.6 3.6 利用导数研究函数利用导数研究函数2008/11/19一、单调性一、单调性1.1.单调性单调性则则可导可导在在,),(,babacf ).,(),0(0)()(,baxxfbaf 减减上递增上递增在在证明：证明：)(必要性必要性, f, 0)()(: hxfhxf总有总有).,(,0)(baxxf ,),( ),(hbahxbax的的以及使得以及使得对对 )(充分性充分性),(,0)(baxxf 可得可得且且对对 , )(,2121xxbaxx . f, 0)()()(1212 xxfxfxf 2.2.严格单调性严格单调性定理定理1：),(, 0)(,),(,baxxfbaba

2、cf 若若可导可导在在.,上严格递增上严格递增在在则则baf证明：证明：)(类似上面类似上面, 1 , 1,3严格增严格增在在 xy3xy . 03)(02 xxxf但但定理定理2：,),(,内内除除有有限限个个点点外外在在babacf 则则, 0)( xf.,上严格增上严格增在在baf证明：证明： 仅以一点为例仅以一点为例:. 0)(,1 xfx 处之外处之外., ,11上严增上严增上严增上严增bxxa.,上严增上严增在在ba a1xb有限个点类似有限个点类似定理定理3：则则可导可导,),(,babacf .)(,),(2);,(, 0)(1不恒为零不恒为零的任意子开区间内的任意子开区间内在

3、在xfbabaxxf)0)(),(),(),(:2( fdcbadc使使可表述为可表述为证明：证明：)(必要性必要性.1),(0)(,成立成立严增严增 baxxff,2 不成立不成立若若 严增严增在在,baf).,(, 0)(),(),(dcxxfbadc 使使,),(严格增矛盾严格增矛盾与与上恒为常数上恒为常数在在fdcf.2 成立成立 ),()(,212121xfxfxxbaxx 使使若有若有).,(,)(21xxxcxf 则则.2),(, 0)(21矛盾矛盾与与 xxxxf.严格增严格增f)(充分性充分性.,1增增在在成立成立baf 3.3.应用应用例例1 1.)1(arctan2的的单

4、单调调区区间间求求xexy 解：解：xxexxeyarctan22arctan211)1( . 1,0, 021 xxy得驻点得驻点令令xexxxarctan2221 增增减减增增),00 , 11,( xy y 00 1 0例例2.2.证明不等式证明不等式: :原理原理: ).()(,).()(,0)(0000 xfxfxxxfxfxxxf. 1sin2,2, 0:)1( xx 上上在在求证求证证明：证明：.sin2:,sinxxxx 只需证只需证显然显然 0,120,sin)(xxxxxf 令令.2, 0)( cxf 有有.2, 0, 0)tan(cossincos)(22 xxxxxxx

5、xxxf而而,22 f而而.2)2()(sin fxfxx.2,0)(上上严严格格递递减减在在区区间间 xf,2时时故当故当 x. , 0! 11)2(成立成立对对求证求证 nnxnxxenx证明：证明：).1(1)( kxeix, 1)( xexx 设设.1 . 0)0()( ,0 xexxx 即即时时故当故当 )(归纳法归纳法, 01)( ,0 xexx 时时可见当可见当, 严格增严格增 ,)(时成立时成立设设nkii .! 11 nxxenx 即即:1)(时时考察考察 nkiii)!1(! 11)(1 nxnxxexnnx , 0! 11)( nxxexnx . 0)0()( x.)(

6、严格增严格增x .证毕证毕证明：证明：).1 , 0(),1()1()(2 xxexxfx令令, 1)21(12)1()(222 xxxexexexf. 042)21(2)(222 xxxxeexexf )(xf. 0)0()(,)1 , 0( fxfx时时, 0)0()( fxf方法方法 变形变形, 选辅助函数选辅助函数; 可逐次使用可逐次使用; ;, 0)0( f,)( xf. 0)( xf即即.11 ,)1 , 0()3(2xxexx 时时证明当证明当二、极值二、极值1.1.必要条件必要条件)(. 0)(,)(000费马费马则则为极值点为极值点且且可导可导在在设设 xfxxxf2.2.极

7、值点极值点:“:“增减区间的分界点增减区间的分界点” 极大极大 极小极小定理：定理：( (极值判定极值判定1)1),(,0baxbacf ;)(0)(,),(0)(,),()(00000是严格极大值是严格极大值内内内内若在若在xfxfxxxfxxi .)(0)(,),(0)(,),()(00000是严格极小值是严格极小值内内内内若在若在xfxfxxxfxxii .)(,)(00不是极值不是极值不变号不变号两侧两侧若在若在xffxiii 例例3.3.,6)( 332求极值求极值设设xxxf 解：解：32323232)6(4)312()6(31)(xxxxxxxxf 列表列表:xy y 046.

8、42)4(,43 fx极大点极大点; 0)0(,0 fx极小点极小点例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.xxxxf1cos)1sin2(2)( ;)(, 0)()(00是是严严格格极极小小若若xfxfii .)(, 0)()(00不定不定若若xfxfiii 证明：证明：0)()(0 xfi0)()()()(0000li

9、mlim00 xfxxxfxxxfxfxxxx. 0)(,0; 0)(,0, 0)(000 xfxxxfxxxxxf时时时时.)(0极大极大xf定理：定理：( (极值判定极值判定2)2).)(, ,00存在存在是驻点是驻点xfxbacf ;)(, 0)()(00是是严严格格极极大大若若xfxfi ;0, 0)0(,)()(3非非极极值值点点 fxxfiii;0, 0)0(,)(4极极小小值值点点 fxxf.0, 0)0(,)(4极大值点极大值点 fxxf)0( 是驻点是驻点例例4.4.,1)(3)()(2xexfxxfxxf 满足满足设设?,0)(, 0000是否为极值点是否为极值点使使若若x

10、xfx 解：解：.1)(,1)(000000 xexfexfxxx 极小极小时时, 0)(,000 xfx极小极小时时, 0)(,000 xfx.0是极小值点是极小值点x三、最值三、最值上最大最小值上最大最小值在在求求,)(baxf步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,哪个大哪个就是最大值哪个大哪个就是最大值, 哪哪个小个小哪哪个个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)例例5.

11、5.)1( ., 1 , 0 ,)1()( pxxxxfpp求最值求最值设设解：解：,0)1()(11 ppxppxxf.21,)1( 011为驻点为驻点得得 xxxpp. 1212221, 1)1(, 1)0(1 ppfff而而, 1)1()0( ff最大值为最大值为.21211 pf最小值为最小值为例例6 6501800 1800 可以全部租出可以全部租出每增加每增加100,100,多一套房子不能租出多一套房子不能租出租出去的房子每月需花费租出去的房子每月需花费200元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入费试问房租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月设房租为每月 元

12、，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 100180050 x每月总收入为每月总收入为)(xr)200( x 100180050 x 10068)200(xx 1001)200(10068)(xxxr5070 x 0)( xr3500 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为3500元时收入最高元时收入最高, 可收可收 )(108900 元元实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或或最最小小函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻)(例例7 7

13、. .),(,)(的最值的最值求求 xxexfx解：解：无最大值无最大值 ,)()1(limxfx. 1 ,0)1()()2( xexxfx得驻点得驻点令令 , 0)(,1xfx时时且且 , 0)(,1xfx时时.1)1(,1efx 时取最小值时取最小值当当四、凸函数与凹函数四、凸函数与凹函数问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方1.1.凸函数凸函数与与凹函数凹函数.,),(上方上方任意两点的弦位于曲线任意

14、两点的弦位于曲线上上曲线曲线ixxfy 定义定义:,),(2121xxixxixxfy 如对如对. 1,0,2121 ;),()()(22112211上凸上凸在在称称都有都有ifxfxfxxf .),()()(22112211上严格凸上严格凸在在称称如如ifxfxfxxf 等价形式等价形式:).1 , 0(),()()1()1(2121 txftxftxtxtf 严格凹严格凹凹凹 下下2.jensen2.jensen不等式不等式: :定理定理1：, 1 , 0, ,1121 ninnixxxif 则则上凸上凸在在. )()( 11iniiniiixfxf 都有都有定理定理2：0,2121 nn

15、ixxxif 上凸上凸在在.)( iiiiiixfxf 都有都有),(1 取取不全相等时不全相等时且且严格凸严格凸nxx )( . ,:1介介于于最最大大最最小小之之间间权权重重“加加权权平平均均”xxxiini ),(1 取取不全相等时不全相等时且且严格凸严格凸nxx 定理定理1的证明：的证明：.)()()(,222112211成立成立时时易见易见xfxfxxfn . )()( ,11ikiikiiixfxfkn 有有时时设设, 1 ,1 121 kkkn 由由时时则则. 11121 kk 可得可得, 0, 1,111 ikiikiiuuu则则取取 )1()(111111 kkikiikki

16、iixxufxf )()()1(1111 kkkiiikxfxfu ).(11ikiixf 对严格凸类似可证对严格凸类似可证;)()()1(1111 kkkiiikxfxuf 定理定理2的证明：的证明：.1 1证明证明即可利用定理即可利用定理令令 niiii 3.3.判定判定定理定理3：(判定判定1)上凸上凸在在if.)()()()()()(22121211xxxfxfxxxfxfxxxfxf )( 严格凸严格凸 xy1x2xbpabpbabapkkk 斜率斜率证明：证明：)(必要性必要性21211122xxxxxxxxxxx 1,212211 xx,21ixxx )()()()(,22112

17、211xfxfxxfxff 凸凸由由)()()()(221121xfxfxfxf 即即)()()()(2211xfxfxfxf xxxfxfxxxfxf 221121)()()()(:,可得可得同除两侧同除两侧用用 :利用不等式利用不等式xxxfxfxxxfxfxxxfxf 22121211)()()()()()()(充分性充分性反推即可反推即可., 0, 0dcdbcabadcbadb 则则定理定理4：(判定判定2)则则内可导内可导,),( , ,babacf )(,严格凸严格凸凸凸在在baf).(),()(严格增严格增增增在在baxf xyo)(xfy abab递增递增)(xf （严格凹）

18、（严格凹）凹凹（严格减）（严格减）减减xyo)(xfy abba递减递减)(xf xxxfxfxxxfxfxxxfxf 22121211)()()()()()(, , ),(),( 2121xxxxbaxx 对对设设, 凸凸由由 f证明：证明：)(必要性必要性有有令令,21 xxxx)()()()(212121xfxxxfxfxf .),()(增增在在baxf )()()()()()(,222111xfxxxfxfxxxfxfxff 严凸严凸若若.),()(严格增严格增在在baxf )(充分性充分性,),()( 增增在在设设baxf 有有,2121xxxxx ),()()(11 fxxxfxf , )()()(22 fxxxfxf x1x2x ),()( ff ,)()()()(2211xxxfxfxxxfxf .,凸凸在在baf,),()(严增严增在在若若baxf ),()( ff . ,)()()()(2211严凸严凸xxxfxfxxxfxf 定理定理5：(判定判定3)则则二阶可导二阶可导连续连续在在,),( ,babaf).,(, 0)(,baxxfbaf 凸凸在在 .,),( ; ),(, 0)(,不恒为零不恒为零的任意开子区间内的任意开子区间内严凸严凸在在fbabaxxfbaf（严凹）（严凹）凹