微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计

1、微专题隐含圆的解三角形最值问题教学设计教学内容：隐含圆的解三角形最值问题课型： 复习课设计理念： 以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。一、教学内容分析本节课是在系统复习 解三角形 之后进行的微专题教学， 主要针对解三角形中的最值问题， 是对解 三角形的进一步深化、提升。爱因斯坦曾说 : 提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。本节课将以 两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解 三角形中求最值的常见思路、方法通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问 题，从而让学生学会在制高点处思考、解题同时

2、，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数 学运算等数学素养因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力二、学习者特征分析学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题解三角形 的最值问题的复习奠定了基础。同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了 比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以 命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。三、教学目标设计本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正 余弦定理解三角形；能较熟

3、练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。在 经历解 题视 角的变换中，突 破成规，感 受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在 经历编制试题的过程中， 培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立 科学的 治 学态 度。并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。四、教学重难点设计基于教材内容的地位、 课程标准的要求、 根据学生的认知水平和学习经验， 确定本节课的学习重难点： 正余弦定理的应用，求最值的几种常见方法。五、教学策略选择以任务驱动，合作探究的方式围绕教学目标展开教与学，以“问题串”的形式引导学生主动建构，积 极探究、思考。六、教学媒体选择

4、学案，三角板，投影仪，几何画板软件，ppt课件，多媒体教室七、教学过程预设问题师生活动设计意图一、问题导入一题多解活动。设置母题，为后续问题的变问题1：在 ABC中，内角A, B,C的对边分别为式与延伸埋下伏笔。通过思路1解题渗透数学建模的数a,b,c，A ，a 2J3，求 ABC 面积的3学素养，通过思路2解题渗取大值。思路1:化角，转化为三角函数的值域 （或导数）；思路2:化边，利用基本不等式求最值；思路3：定长对定角，找出隐藏的圆，利用数形结 合求最值。透数学运算的数学素养，通过思路3解题渗透直观想象的数学素养。二、本质揭示展示几何画板图揭示问题本质，从而提高学圆周角的一个性质：同弧或等

5、弧所对的圆周像，师生互动探究。生提出问题、解决问题的能角相等，相等圆周角所对的弧也相等。题目中若力。为提高学生直观想象、出现 “定长对定角”，应该联想到动点的轨迹是数学运算的数学素养奠定圆上的一段弧。为何 ABC存在最值？由于点 A的运动，引起了“量”的变化，又由于运动受到限制，从而限制了“量”的范围。基础。三、试题编制与解题提升与学生一起发散思爱因斯坦曾说：提出一个问编拟方案一：维，共同改编试题。题往往比解决一个冋题更问题1中我们探究了一种“量”一一面积的教师选取部分经典为重要。从编题的角度，引变化情况，那么我们还能研究ABC中哪些量的问题进行讲解。导学生思考，并提出问题，最值问题呢？请大家

6、一起思考，编拟试题（下述 问题均基于问题1的题干。）问题2：求 ABC周长的取值范围。解决问题。问题3：求中线AD的最大值。问题4：求高AE的最大值。问题5：求角平分线AF的最大值。拟对问题5做深入讲解。解题角度（1）:面积 算两次，用基本不等式求解；解题角度（ 2）:设 角度 ABC 解三角形，用三角函数求解。编拟方案二：先引导学生提出问著名数学家波利亚说过：为丰富试题背景图形，增加考查内容，增大题，后选择问题6，“好问题如同好蘑菇， 它们试题难度，拟在ABC外引入点D，补成四边形。引导学生从多角度都成堆地生成，找到一个以问题6 :在四边形 ABDC中，若A ，进行思考。从“边”后，你应当在

7、周围找一找，3出发，遇到解题障很可能附近就有好几个。”BC BD CD 2怎，求AD的最大值。碍；从“角”出发，问题链的编制与问题的解确定待解的三角决使得直观想象、数学运算问题7 :在四边形 ABCD中，若A ，3形，建立函数模型，的数学素养在解题中体现BC 2石，AC AD CD，求BD的最大然后求最值；从“形”出发，直观出明显的优势。值。拟对问题6做深入讲解。解题角度：设角度ABC解三角形，用三角函数求解。想象，答案早知道。编拟方案三：问题在延续，精彩以阿波罗尼斯圆为背景积上述是隐藏圆的一种命题的方法，另一类常在继续。教师抛出极渗透数学文化，冋时在命见的隐藏圆的方法一一阿波罗尼斯圆，从中渗

8、透隐藏圆的另一种常题、解题中使得数学建模、数学文化。见手法。引导学生直观想象素养得到进一步阿波罗尼斯圆：在平面上给定相异两点以此为背景合作编的培养、锻炼。PAA B，设P点在同一平面上且满足 一，当PB0且1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。题目中若出现“到两个定 点的距离之比为定值”，应该联想到阿波罗尼斯 圆。因此可以仿照问题 1 7的形式编制试题，为 了得到更有新意的试题，改变编题角度。题、解题。问题8 :满足条件AB 2 , AC J2BC的ABC的面积的最大值是。问题9 :在四边形CADB中，AC J2 ,BC 1，ABBD， ABD 一，求 CD 的2最大值。拟对问题8做深入讲解。解题角度：设BC x, ACJ2X，表示出 ABC的面积，后求最值。四、课堂小结学生归纳，教师补总结提升。隐含圆的解三角形最值问题的解题方向：充。