函数的单调性、极值与最值

1、考试要求考试要求1、掌握函数的单调区间、函数在开区间上的极值、掌握函数的单调区间、函数在开区间上的极值、闭区间上的最值的导数法及一般步骤；闭区间上的最值的导数法及一般步骤；2、会运用比较法确定函数的最值点。、会运用比较法确定函数的最值点。第二节 导数与函数的单调性基础知识梳理1函数的单调性函数的单调性函数函数f(x)在某个区间在某个区间(a，b)内，若内，若f(x)0，则，则f(x)为为 若若f(x)0，则则f(x)为为 ，若，若f(x)0，则，则f(x)为为 2如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值的绝对值 ，那么函数在这个范围，那么函数在这个范围内变化内变化 ，这

2、时，函数的图象，这时，函数的图象就越“ ”增函数增函数常数常数减函数减函数越大越大越快越快陡峭陡峭基础知识梳理3利用导数判断函数单调性的一般步骤：(1)求f(x)；(2)在定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(3)根据(2)的结果确定f(x)的单调区间基础知识梳理若函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，这种说法是否正确？【思考提示】不正确，函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，此处f(x)0，并不是指x在a，b内处处有 f(x)0，可能只在某些具体的点处f(x)0.三基能力强化1(2010年高考江苏卷)函数f(x)x3 15x233x6的单调减区间为_三基能力强化2

3、已知对任意xr，恒有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0)，则f(x)为增函数的充要条件是_三基能力强化4三次函数yf(x)ax3x在x(，)内是增函数，则a的取值范围是_课堂互动讲练利用导数研究函数的单调性应注意以下两点：(1)在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性(2)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任

4、何子区间内都不恒等于零特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到课堂互动讲练(2009年高考全国卷)已知函数 f(x)x43x26.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点p在曲线yf(x)上，若该曲线在点p处的切线l通过坐标原点，求l的方程课堂互动讲练1(2011年高考重庆卷)设函数f(x)x3ax29x1(a0.讨论讨论f(x)的单调性的单调性课堂互动讲练2(2011年高考模拟卷年高考模拟卷)已知函数已知函数f(x) 1/2 x2ax(a1)lnx，a1.(1)讨论函数讨论函数f(x)的单调性；的单调性；(2)证明：若证明：若a0，证明：不等式1+练习fafa=-3.

5、01+m)(1)nmtmnn1.设函数 (x)=x-a(x-1)ln(x+1)(x-1,0)1.求 (x)的单调区间2. =1方程f(x) t在 1/2,1 上有两个实数解求 的取值范围证明：当时，（2、函数、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线上的点，过曲线上的点p(1,f(1)的的切线方程为切线方程为y=3x+1（1）若）若y=f(x)在在x=-2时有极值，求时有极值，求f(x)的表达式；的表达式；（2）在（）在（1）的条件下，求）的条件下，求y=f(x)在上最大值；在上最大值；（3）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间-2,1上单调递增，求上单调递增，求b的的取值范围取值范围第

6、三节 导数与函数的极值和最值基础知识梳理1函数的极值函数的极值(1)函数的极值的概念：函数的极值的概念：函数函数yf(x)在点在点xa的函数值的函数值f(a)比它在比它在点点xa附近其他点的函数值都小，附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点而且在点xa附近的左侧附近的左侧 ，右，右侧侧 ，则点，则点a叫做函数叫做函数yf(x)的的 ，f(a)叫做函数叫做函数yf(x)的的 f(x)0f(x)0极小值点极小值点极小值极小值基础知识梳理 函数函数yf(x)在点在点xb的函数值的函数值f(b)比比它在点它在点xb附近其他点的函数值都大，附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点；而且在点xb

7、附近的左附近的左侧侧 ，右侧，右侧 ，则点，则点b叫叫做函数做函数yf(x)的的 ，f(b)叫叫做函数做函数yf(x)的的 极小值点、极小值点、极大值点统称为极大值点统称为 ，极大值和极小，极大值和极小值统称为值统称为 f(x)0f(x)0极大值点极大值点极大值极大值极值点极值点极值极值基础知识梳理(2)求函数极值的步骤： ； ；检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 ，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 求导数求导数f(x)求方程求方程f(x)0的根的根极大值极大值极小值极小值基础知识梳理方程f(x)0的根就是函数yf(x)的极值点是否正确？【思考提示

8、】不正确，方程f(x)0的根未必都是极值点基础知识梳理2函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤：(1) (2)求求f(x)在在(a，b)内的极值内的极值将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)，f(b)比较，其中比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.三基能力强化1(2010年山东烟台模拟)函数yx2cosx在0， 上取得最大值时，x的值为_2三基能力强化2(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的定义域为r，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)_无极大值点、有四个极小值点有三

9、个极大值点、两个极小值点有两个极大值点、两个极小值点有四个极大值点、无极小值点三基能力强化3已知f(x)ax3bx2x(a，br且ab0)的图象如图所示，且|x1|x2|，则有a，b的正负情况是_三基能力强化4函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_答案：答案：a2或或a1,f(x)=(x2+ax+1)e1-x, g(x)=若存在若存在x1,x20,1,使得使得|f(x1)-g(x2)|0,求函数求函数的极值点。的极值点。23(1)36( )xaxaxaf xe练习：若函数练习：若函数y=3a2x-x3在在(-,-1),(1,+)上是减函数上是减函数,在在

10、(-1,1)上是增函数，则上是增函数，则f(x)的极大值、极小值分别的极大值、极小值分别是是 。题型四题型四 用导数法求函数的解析式用导数法求函数的解析式例例1、已知函数、已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当，当且仅当x=1,x=-1时有极值，且时有极值，且|f(x)-f(-1)|=4,求求a,b的值。的值。题型五题型五 用导数法求函数的极值用导数法求函数的极值例例1、求函数、求函数f(x)=|x3-3x|在区间在区间0,a的最大值。的最大值。练习练习1、求函数、求函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1在区间在区间1,3上的值上的值域。域。2、已知、已知a0，函数，函数 设设 ，记曲线，记曲线y=f(x)在点处的切线为在点处的切线为l。 （）求）求l的方程；的方程； （）设）设l与与x轴的交点为轴的交点为(x2,0)，证明：，证明： 若若 ，则，则 1( ),(0,),axf xxx120 xa210 xa11xa121xxa4、已知函数、已知函数f(x)=x3+ x2，数列，数列xn( xn 0)的第一项的第