定积分的换元法第二篇

1、3.2 3.2 定积分的换元法定积分的换元法 第四四章 定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；换元公式换元公式第二类换元公式第二类换元公式应用第二类换元公式时应应用第二类换元公式时应注意注意:（1）（2）例例1. 计算计算).0(d022axxaa22aaxarcsin解法一解法一: （直接用牛（直接用牛-莱公式）莱公式）令, ),(,sin22ttax则,cos22taxa ttaxdcosd tdtatadxxacoscos22 ttadcos22ca242sin2ttax22xa ta

2、xarcsin 2221xax 22atttcossin22sin2axaxa22 原式 cxax22210a42a例例1. 计算).0(d022axxaa解法二解法二 ：（先换元（先换元,再用牛再用牛-莱公式莱公式）,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202 )2sin21(22tta0242a20ttdcos2且令令换元必换限！换元必换限！例例2. 计算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312 )331(21

3、3tt13322; 1t且 （第二类换元：根式代换）（第二类换元：根式代换） 注：注：换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的即得定积分的第一类第一类换元公式：换元公式：tfd)(t)(txxfbad)() )(tx令或tfd)(t)(tf)(t)(dt口诀：口诀：换元必换限，配元换元必换限，配元不不换限换限例例3 3 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t)(coscossincos220505 xxdxdxx 015dtt原原式式1066 t.61 （第一类换元：凑微分）（第一类换元：凑微分）或者或者)(cosco

4、ssincos220505 xxdxdxx.61cos6120 x例例4 4 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52 x.54 不换元不换元区间可加性区间可加性例例5.,)(上连续上连续在对称区间在对称区间设设aaxf证证:(1) 若若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则则xxfaad)(2) 若若, )()(xf

5、xf0aaxxfd)(则则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时时)()(xfxf时时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令令o a x y -a o a a x y 该题几何意义是很明显的，如图所示该题几何意义是很明显的，如图所示: :奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆

6、的面积(19)(20)(21)(22)练习：练习： 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft0 x,2 t2 x, 0 t证证（1）设）设tx 2,dtdx 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf2.证：证：3.证：证：4.证：证：练习：练习：思考练习：思考练习：,0) 1 (,)(1fctf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思考思考: 若改题为xttfxlnd)