153定积分的概念

1、教学目标教学目标1. 借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念。2. 能用定积分的定义求简单的定积分。3. 理解掌握定积分的几何意义。教学重难点教学重难点重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分 的几何意义。难点 定积分的概念、定积分的几何意义。 知识复习1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间i上的图像是一条连 续不断的曲线，那么我们就把它称为区间i上的连续函 数。2.以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤：（1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取极限。3.曲边梯形的面积；niinniixfnxfs110)(1lim)(lim4.变速运动的路程。niinniitvn

2、tvs110)(1lim)(lim11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面积和s=如果当如果当n n时，时，s s 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f f( (x x) )在区间在区间 a a, , b b 上的定积分，记作上的定积分，记作 baf (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积s s的过程中可以看出的过程中可以看出, ,通过通过“四步曲四步曲”: :分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限得到解决。得到解决。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即新课讲解新课讲解定积分的

3、定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即oabxy)(xfy baidxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限新课讲解baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数

4、值，它只与被积函 数及积分区间有关，而与积分变量 的记法无关，即baf(x)dx baf (x)dx -(3)新课讲解定积分的几何意义：定积分的几何意义：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 新课讲解 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形位于曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab y

5、f (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s新课讲解ab yf (x)ox y( )yg x根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义, ,如何用定积分表示图中阴影部分如何用定积分表示图中阴影部分的面积的面积? ?ab yf (x)ox y1()basfx dx( )yg x12( )( )bbaas s sf xdxg xdx 2( )basg x dx探究定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1.1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2.2. badx)x(kf badx)x(fk新课讲解 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3.3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab yf (x)新课讲解性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf