定积分的换元法和分部积分法

1、2021-11-141【教育类精品资料】2021-11-142第2.2节 定积分的换元法 和分部积分法 第六章第六章 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法2021-11-143一、定积分的换元法 定理定理1 设函数, ,)(bacxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证明证明: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(

2、的一个原函数是设xfxf是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(afbf)(f)(ftfd)(t)(tf)(tf)(t)(t则2021-11-1441) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t说明:2021-11-145).0(d022axxaa解解: 令sin ,0,2xat t则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式

3、 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyas且例1 计算计算2021-11-146.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t故原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例2 计算计算2021-11-147例例3 计算350sinsin.xxdx解解:35( )sinsinf xxx32scosinxx350sinsinxxdx320ossincxxdx2320ssincoxdxx322sin( cos )xxxd320

4、2sinsinxxd322sinsinxxd20522sin5x2522sin5x.54 2021-11-148, ,)(aacxf设证明证明:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例42021-11-149二、定积分的分部积分法 定理定理2 , ,)(, )(1bacxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证明证明:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba2021-11-1410答案为答案为:2答案为答案为:42133244ee答案为答案为:1ln242答案为答案为:2答案为答案为:72021