15极限运算法则

1、 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 极限运算法则时, 有,min21定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( p56 , 题 4 (2) )类似可证:

2、 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxmu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有m取,min21则当),(0 xx时 , 就有uumm故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .,)(lim,)(limbxgaxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,

3、)(lim,)(limbxgaxf则有bxgaxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(baxgxf)()(ba由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小ba的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若,)(lim,)(limbxgaxf且),()(xgxf则.ba( p45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令,)(lim,)(limbxgaxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理

4、4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfcxfc( c 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxp试证).()(lim00 xpxpnnxx证证:)(lim0 xpnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xpnba(详见详见p44)b2b1)(1xg)(0 xx,)(lim,)(limbxgaxf且 b0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfba,lim,limbyaxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim

5、)2(,00)3(时且当bynbayxnnnlimbaba提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx,)()()(xqxpxr其中)(, )(xqxp都是多项式 ,0)(0 xq试证: . )()(lim00 xrxrxx证证: )(lim0 xrxx)(lim)(lim00 xqxpxxxx)()(00 xqxp)(0 xr说明说明: 若,0)(0 xq不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若.4532lim21xx

6、xx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式为正整数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limaufau则有 )(lim0 xfxxaufau)(lim解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3li

7、m61 原式 =uu61lim6166解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx21. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量1.,)(lim,)(lim不存在

8、存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因