导数在函数单调性、极值中的应用

1、按esc键退出返回目录3.2导数在函数单调性、极值中的应用按esc键退出返回目录按esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测考点探究突破考点探究突破按esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测构建能力大厦的奠基石构建能力大厦的奠基石按esc键退出返回目录 知识梳理 1.函数的单调性与导数答案：单调递增单调递减单调递增单调递减按esc键退出返回目录 2.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 ,且f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值若函

2、数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ,且f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值, 和 统称为极值.按esc键退出返回目录答案：答案：(1)都小都小f(x)0(2)都大都大f(x)0f(x)0 b.-1a1 d.0a0吗?f(x)0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f(x)0,f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?其为函数在该点取得极值的什么条件?提示:不一定.如函数f(x)=

3、x3,在x=0处,有f(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点;其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件.按esc键退出返回目录考点探究突破考点探究突破拓展升华思维的加油站拓展升华思维的加油站按esc键退出返回目录 一、利用导数研究函数的单调性【例1-1】 已知ar,函数f(x)=(-x2+ax)ex(xr,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数f(x)是否为r上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.按esc键退出返回目录解解:(1)当当a=2时时,f(x)=(-x2+2x)ex,f(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x

4、)ex=(-x2+2)ex.令f(x)0,即(-x2+2)ex0,ex0,-x2+20,解得-x0,x2-(a-2)x-a0对xr都成立.而=(a-2)2+4a=a2+40,故函数f(x)不可能在r上单调递增.综上可知函数f(x)不可能是r上的单调函数.按esc键退出返回目录【例1-2】 (2011江苏高考,19)已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f(x)g(x)0在区间i上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间i上单调性一致.(1)设a0,若f(x)和g(x)在区间-1,+)上单调性一致,求b的取值范围;(2

5、)设a0,故3x2+a0,进而2x+b0,即b-2x在区间-1,+)上恒成立,所以b2.因此b的取值范围是2,+).按esc键退出返回目录(2)令f(x)=0,解得x=.若b0,由a0得0(a,b).又因为f(0)g(0)=ab0,a3所以函数f(x)和g(x)在(a,b)上不是单调性一致的.因此b0.现设b0.当x(-,0)时,g(x)0.因此,当x时,f(x)g(x)0.a,3 a,3 按esc键退出返回目录故由题设得a-且b-,从而-a0,故函数f(x)和g(x)在上单调性一致.因此|a-b|的最大值为.1313131321x91,031,0313按esc键退出返回目录分定义区间确定f(

6、x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性提醒:当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0时为增函数;f(x)0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 二、函数的极值与导数按esc键退出返回目录解:(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3.由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称,所以-=0.所以m=-3,代入得n=0.于是f(x)=3x2-6x=3x(x-2).2m62 3按esc键退出返回目录由f(x)0得x2或x0,故

7、f(x)的单调递增区间是(-,0)和(2,+);由f(x)0得0 x2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).(2)由(1)得f(x)=3x(x-2),令f(x)=0得x=0或x=2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x) 极大值极大值 极小值极小值 按esc键退出返回目录由此可得:当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得:当0a1时,f(x)有极大值-2