ch111多元函数

1、11.1 11.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第第1111章章 多元函数微分学多元函数微分学邻邻域域. 1邻域邻域的的点点 ),(000yxp 20200)()(),(),(|yyxxyxpu)0( 0p去心邻域去心邻域的的点点 ),(000yxp)0( 20200)()(0),(),(|yyxxyxpu0p)(0pu)(0pu一一. . 平面点集的有关概念平面点集的有关概念区区域域.2是是平平面面上上的的一一个个点点是是平平面面中中的的一一个个点点集集，设设pe内点内点，使，使若存在若存在epupu )()(的的内内点点是是则则称称epep的内点属于的内点属于显然，显然，ee边界点

2、边界点的任意邻域内既有的任意邻域内既有如果点如果点 p的点，的点，的点又有不属于的点又有不属于属于属于ee的边界点的边界点为为则称则称epp边边界界的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为 ee连连通通内内任任何何两两点点，都都可可用用折折如如果果对对于于 d，且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于 d是连通的是连通的则称则称 d区域区域开区域开区域连通的开集称为区域或连通的开集称为区域或记记为为e 开开集集的的点点都都是是内内点点，如如果果 e为为开开集集则则称称 e线连接起来，线连接起来，闭区域闭区域起，称为闭区域起，称为闭区域开区域连同它的边界一开区域连同它的边界一有有界界点点

3、集集，如果存在正数，如果存在正数对于点集对于点集me使使),(moue 为为有有界界点点集集；则则称称 e否则称为无界点集否则称为无界点集维维空空间间n.3),(21nxxxn元元实实数数组组对对于于自自然然数数，有有序序维维空空间间，称称为为 n记为记为nr中的一个点中的一个点称为称为nnrxxx),(21个分量个分量为该点的第为该点的第数数ixi的全体的全体与与中两点中两点),(21nnxxxpr2222211)()()(|nnxyxyxypq 的距离公式：的距离公式：),(21nyyyq，与与它它的的底底半半径径圆圆柱柱体体的的体体积积例例rv1hrv2 1定定义义是一个平面点集是一个平

4、面点集设设 d，dyxp ),(按照一定按照一定变量变量 z，有确定的值与它对应有确定的值与它对应法则法则 f即即 zyxf),(的二元函数，的二元函数，是变量是变量则称则称yxz,或或记为记为)(),(pfzyxfz 二二. . 多元函数的概念多元函数的概念之间有关系之间有关系高高 h三三元元函函数数),(zyxfu 记为记为 uzyxf),(元函数元函数n uxxxfn),(21记为记为),(21nxxxfu 称为自变量；称为自变量；yx,称为因变量；称为因变量；z称为该函数的定义域；称为该函数的定义域；d),(),(|dyxyxfzz 数集数集称为该函数的值域称为该函数的值域：多元函数定

5、义域的约定多元函数定义域的约定，对于对于),(21nxxxfu 有有点点的的集集合合，使使这这个个算算式式有有意意义义的的所所称之为自然定义域称之为自然定义域；试试确确定定函函数数例例yxyxz 224)1(2的的定定义义域域解解)1(定义域为定义域为0422 yx，并且并且0 yx 且且即即04| ),(22 yxyxyxxy)2(定义域为定义域为11222 zyx 1| ),(222 zyxzyx即即xyz)arcsin()2(222zyxu 二元函数的几何表示二元函数的几何表示),(yxfz 0),( yxfz即即表示空间中的一张曲面表示空间中的一张曲面xyzmp等值线等值线的曲线，的曲

6、线，具有方程具有方程kyxf ),(的的等等值值线线称称为为函函数数f22yxz 9 k4 k1 k等等值值面面，对于对于),(zyxfu 表示的曲面表示的曲面kzyxf ),(的的等等值值面面称称为为函函数数f2定义定义的某个去的某个去在在设设),(),(000yxpyxfz ，若若00 2020)()(0yyxx时时，成立，成立，均有均有 |),(|ayxf),(yxfa 为函数为函数则称则称的的极极限限在在点点),(000yxp记记为为ayxfyxyx ),(lim),(),(00三三. . 二元函数的极限二元函数的极限内有定义内有定义心邻域心邻域)(0pu适合适合当点当点),(yxpa

7、yxfyyxx ),(lim00或或，当当或或),(),(),(00yxyxayxf限称为限称为这样定义的二元函数极这样定义的二元函数极二二重重极极限限理理对对于于二二重重极极限限都都成成立立四四则则运运算算法法则则和和夹夹逼逼定定.)(lim322)0,0(),(yxyxxyyx 计算计算例例解解，|222xyyx 则则22)(yxyxxy )(2)(2222yxyxyx yx 21|)|(|21yx 0|)|(|21lim)0,0(),(yxyx 而而0 由由夹夹逼逼定定理理，即即知知0)(lim22)0,0(),( yxyxxyyx，求，求设设例例),(lim)(),(40022yxfy

8、xxxyyxfyx 解解，令令 cosrx sinry 则则有有),(lim00yxfyx2200)(limyxxxyyx 220)sin()cos(cos)cos(sinlim rrrrr rrr cos)cos(sinlim20 cos)cos(sinlim0 rr0 .注注，设设 cosrx ， sinry )0,0(),(yx则有则有 0r，)0( r)0( r.注注以以是指是指二重极限二重极限),(),(lim)1(00yxayxfyyxx 时，时，点点),(00yxayxf),(沿沿某某两两条条不不同同的的曲曲线线无无若若动动点点),()2(yxp有不同的极限值，有不同的极限值，)

9、,(yxfz ),(),(000yxpyxfz在在则则 不不存存在在极极限限任何方式趋于任何方式趋于时，时，限趋于限趋于),(000yxp , 0, 0, 0,2),(5222222yxyxyxxyyxf讨论函数讨论函数例例解解无限趋无限趋沿直线沿直线当当)(),(rkkxyyxp ),(lim00yxfkxyx ),(lim0kxxfx 220)(2limkxxkxxx )1(2lim2220kxkxx 212kk 不同，不同，当当 k时，时，即沿不同直线趋于即沿不同直线趋于)0,0(有不同的极限值有不同的极限值.)0 , 0(),(不存在极限不存在极限在在说明说明yxf在原点的极限在原点的

10、极限时，时，于于)0,0(3定义定义的的某某个个邻邻域域在在设设),(),(000yxpyxfz 如果如果，),(),(lim000yxfyxfpp 处连续处连续在点在点则称二元函数则称二元函数),(),(000yxpyxf的的每每或或闭闭区区域域在在某某个个区区域域若若)(),(dyxf上上的的是是则则称称dyxf),(连续函数连续函数定义域内均连续定义域内均连续一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其四四. . 二元函数的连续性二元函数的连续性内有定义内有定义)(0pu一点均连续，一点均连续，间间断断点点不连续，不连续，在在若若),(),(00yxyxf称称为为间间断断点点则则),(00y

11、x例如例如11),(22 yxyxf的点处无定义，的点处无定义，在在122 yx上上任任一一点点即即单单位位圆圆周周122 yx都都为为此此函函数数的的间间断断点点 , 0, 0, 0,2),(6222222yxyxyxxyyxf讨论函数讨论函数例例解解不不存存在在极极限限，在在由由例例，)0 , 0(),(yxf不不连连续续因因而而在在)0 , 0(处，处，在其它点在其它点)0 , 0(),( yx函数，函数，由于分子分母均为连续由于分子分母均为连续且分母不为零，且分母不为零，的点处均连续的点处均连续在在所以所以0),(22 yxyxf的连续性的连续性)( 1 最值定理最值定理定理定理上连续，上连续，在有界闭区域在有界闭区域若函数若函数dyxf),(上上必在必在则则dyxf),(取取到到最最大大值值和和最最小小值值，及及即即dyxpdyxp ),(),(222111，对对任任意意dyxp ),(有有),(),(),(2211yxfyxfyxf )( 2 介介值值定定理理定定理