用Mathematica进行级数运算

1、 实验五实验五 用用mathematicamathematica进行级数运算进行级数运算实验目的：实验目的：学会利用学会利用mathematica进行级数求和、进行级数求和、函数幂级数展开函数幂级数展开预备知识预备知识：（一）求和符号（一）求和符号用法及相关知识用法及相关知识（二）级数的敛散性及其确定（二）级数的敛散性及其确定（三）函数展开为幂级数相关知识（三）函数展开为幂级数相关知识（四）（四）mathematicamathematica中求和及级数运算相关命令中求和及级数运算相关命令边学边做边学边做：（一）求和：（一）求和：sumsum命令命令（1 1）求有限项的和）求有限项的和（2 2）

2、分别求级数）分别求级数 与与 的和，并判定敛散性的和，并判定敛散性（3 3）分别求级数）分别求级数 与与 的和函数并确定其的和函数并确定其收敛域收敛域612nnn1) 1(1nnn11nn0!nnnx11) 1(nnnnx（二）函数展开成幂级数（二）函数展开成幂级数（1 1）将）将 在在 处展开到处展开到 的的5 5次幂次幂（2 2）将）将 在在 处展开到处展开到( -1)( -1)的的3 3次幂次幂（3 3）将）将 在在 处展开到处展开到( -1)( -1)的的3 3次次幂，在幂，在 处展开到处展开到 的的2 2次幂次幂xsin0 xxx311xxyx 11xx) 1(y1y学生实验：学生实

3、验：一、基础部分一、基础部分1 1求级数求级数 与与 的和的和2 2设设 , ,将将 展开到展开到 的的4 4阶幂级数阶幂级数3 3将将y=sin(xey=sin(xex x) )在点（在点（0,00,0）处展开到）处展开到x x的的7 7次幂次幂. .将将z=xyz=xy在（在（2,3)2,3)处展开为处展开为x x的次幂，的次幂，y y的次的次幂。幂。1)43(nnn11sin1nnnxxf211)()(xf)2( x二、应用部分二、应用部分(1)利用函数利用函数z=xy的五阶泰勒展开式，计算的五阶泰勒展开式，计算1.1011.021的近似值的近似值.(2)作出作出y=sinx的图形和函数

4、的幂级数展开式的图形的图形和函数的幂级数展开式的图形（选取不同的（选取不同的x0和和n），将图形进行比较，并总结），将图形进行比较，并总结规律。规律。sumf(n),n,a,b sumf(n),n,a,b 求以求以f(n)f(n)为通项的有限项的为通项的有限项的和和 sumf(n),n,1,infisumf(n),n,1,infinity nity 求以求以f(n)f(n)为通项的级数在收为通项的级数在收敛域内的和敛域内的和 seriesfx,x,xseriesfx,x,x0 0, ,n n 将将f(x)f(x)在点在点x x0 0处展开为处展开为(x-x(x-x0 0) )的的n n次幂次幂

5、 seriesfx,y,x,xseriesfx,y,x,x0 0, ,n,y,yn,y,y0 0,m ,m 将二元函数将二元函数f(x,y)f(x,y)在点在点(x(x0 0,y,y0 0) )处展开到处展开到(x-x(x-x0 0) )的的n n次幂，次幂，(y-y(y-y0 0) )的的m m次幂，次幂， 实验五内容详解：实验五内容详解：一、命令汇总一、命令汇总注：注：使用使用series命令将函数在指定点按指点阶数展开命令将函数在指定点按指点阶数展开时，结果是级数形式，其特征是时，结果是级数形式，其特征是以oxn作为结尾，作为结尾，这种数据称为级数型数据，不便进行计算，也不能这种数据称为

6、级数型数据，不便进行计算，也不能直接画图，在使用时，可以将其转换为多项式，然直接画图，在使用时，可以将其转换为多项式，然后再计算。需使用命令：后再计算。需使用命令： normalseries 如：a=series1/(1-x),x,0,5，结果为结果为 b=normala，结果为结果为1xx2x3x4x5o x61xx2x3x4x5二、边学边做1 1求和求和(1)algebrasymboblic.m(1)algebrasymboblic.m。 sumn sumn* *2n,n,1,6 2n,n,1,6 求有限项的和，输出结果求有限项的和，输出结果为为642642(2)algebrasymbob

7、lic.m(2)algebrasymboblic.m。 sum1/(n sum1/(n* *(n+1),n,1,infinity (n+1),n,1,infinity 求级数的和，求级数的和，输出结果为输出结果为1 1，同时表明级数收敛。，同时表明级数收敛。 algebra algebrasymboblic.msymboblic.m。 sum1/n,n,1,infinity sum1/n,n,1,infinity 求级数的和，输出结求级数的和，输出结果为果为infinityinfinity，同时表明级数发散。，同时表明级数发散。(3) algebrasymboblic.m(3) algebra

8、symboblic.m。 sumxn/n!,n,0,infinity sumxn/n!,n,0,infinity 求级数的和，输出结果为求级数的和，输出结果为 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令：还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： clearf,a,b,n clearf,a,b,n fx_ :=xn/n!; fx_ :=xn/n!; an_:=1/n!;an_:=1/n!; b=limitan/an+1,n-infinity;b=limitan/an+1,n-infinity; 确定收敛半径为确定收敛半径为, ,收敛域为收敛域为( (, ,) )xe algebrasymboblic

9、.m algebrasymboblic.m。 sumsum（-1-1）(n+1)(n+1)* *xn/n,n,1,infinity xn/n,n,1,infinity 求级数的和，输出结果为求级数的和，输出结果为log1+xlog1+x还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令：还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令：clearf,a,b,nclearf,a,b,nfx_ :=fx_ :=（-1-1）(n+1)(n+1)* *xn/n;xn/n;an_:=an_:=（-1-1）(n+1) /n;(n+1) /n;b=limitan/an+1,n-infinity;b=limitan/an+1,n-

10、infinity;print“r=”,absb print“r=”,absb 确定收敛半径为确定收敛半径为1 1sumf1,n,1,infinity sumf1,n,1,infinity 确定原级数在确定原级数在x=1x=1处收处收敛于敛于log2log2sumf-1,n,1,infinity sumf-1,n,1,infinity 确定原级数在确定原级数在x=-1x=-1处处发散发散因而原级数收敛域为因而原级数收敛域为（-1-1，112 2函数展开成幂级数函数展开成幂级数（1 1）seriessinx,x,0,5 seriessinx,x,0,5 （2 2）series1/(3-x),x,1,3 series1/(3-x),x,1,3 （3 3）series1