第13章稳恒电流

1、第四章第四章 稳恒电流稳恒电流4.1 电流和电流密度电流和电流密度4.3 欧姆定律的微分形式和电阻欧姆定律的微分形式和电阻目录目录4.2 稳恒电流稳恒电流 与微观量的关系：与微观量的关系：j 与与 的关系：的关系：ji 电流的电流的连续性方程连续性方程 电流密度矢量电流密度矢量 j 电流电流稳恒条件稳恒条件 电流的功和功率电流的功和功率 欧姆定律欧姆定律 适用于金属导体、电解液适用于金属导体、电解液 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式4.4 电动势电动势作业：作业：6-2,6-4,6-64.1 电流和电流密度电流和电流密度第四章第四章 稳恒电流稳恒电流# 稳恒稳恒的含义是指物理量不随时间改变

2、的含义是指物理量不随时间改变# 形成电流的条件形成电流的条件： 在导体内有可以自由移动的电荷或叫载流子在导体内有可以自由移动的电荷或叫载流子（如在半导体中载流子有电子或空穴；在金属（如在半导体中载流子有电子或空穴；在金属中是电子；在电解质溶液中是离子）。中是电子；在电解质溶液中是离子）。 在导体内要维持一个电场，或者说在导体两在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在有电势差。端要存在有电势差。本章仅限于讨论第一、第二类（本章仅限于讨论第一、第二类（电解质溶液）电解质溶液）导体中的传导电流。不能讨论超导体。导体中的传导电流。不能讨论超导体。iqtdqdtt0lim规定正电荷流动规定正电荷流

3、动的方向为正方向。的方向为正方向。 电流强度电流强度单位时间内通过任一截面的电量，表示了电路单位时间内通过任一截面的电量，表示了电路中电流强弱的物理量。它是标量用中电流强弱的物理量。它是标量用 i 表示。表示。i单位：库仑单位：库仑/秒秒=安培安培act）（1它是国际单位中的基本量。它是国际单位中的基本量。常用毫安（常用毫安（ma）、微安（）、微安（ a）标量标量 必要性：当通过任一截面的电量不均匀时，用必要性：当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度来描述就不够用了，有必要引入一个描电流强度来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同点电流的大小。述空间不同点电流的大小。| |limjisd

4、idsdqdt dss0 定义定义电流密度矢量电流密度矢量 的方向为的方向为空间某点处正电荷的运动方向空间某点处正电荷的运动方向,它的大小等于单位时间内该点附它的大小等于单位时间内该点附近垂直与电荷运动方向的单位截近垂直与电荷运动方向的单位截面上所通过的电量。面上所通过的电量。jj 电流密度矢量电流密度矢量 j单位单位 量纲量纲 jlmt32121a m/2电流密度电流密度 矢量的方向定义为垂直于截面矢量的方向定义为垂直于截面 。jds| |limjisdidsdqdt dss0 与微观量的关系：与微观量的关系：jdqudtuds设设 n为单位体积内电子密度。为单位体积内电子密度。导体在外电场

5、导体在外电场 中，电子在中，电子在杂乱无章的热运动上叠加一杂乱无章的热运动上叠加一个沿场强反方向上的定向漂个沿场强反方向上的定向漂移，设漂移速度为移，设漂移速度为 。在。在 时间内穿过时间内穿过 面的电子数面的电子数,即电量为：即电量为：udsdte长度长度质量质量dtudsendq铜导线一般铜导线一般 n1028m-3 ，u0.15mm/sec 所以所以，电流密度大小为电流密度大小为 j104 米米/秒秒 。enuj |因为肌体对电的反应强弱主要取决于电流密度的大小，因为肌体对电的反应强弱主要取决于电流密度的大小，所以电流密度的概念在研究直流电的生理作用时很重要。所以电流密度的概念在研究直流

6、电的生理作用时很重要。 与与 的关系：的关系：jin/jjj设某点处电流密度为设某点处电流密度为 ， 为为 面的法线方向。面的法线方向。jnsd/jjjsdjdsjdsjdin|ssdji通过一个有限截面通过一个有限截面 s的电流强度为：的电流强度为：也可称电流强度是电流密度矢量通过也可称电流强度是电流密度矢量通过 s面的通量。面的通量。4.2 稳恒电流稳恒电流 电流的电流的连续性方程连续性方程类似于电力线引入电流线来描述由类似于电力线引入电流线来描述由 组成的电流分布，称之为电流场。组成的电流分布，称之为电流场。j曲线上每一点的切线方向就是曲线上每一点的切线方向就是 的方向，曲线的疏密表示它

7、的方向，曲线的疏密表示它的大小。的大小。j | j即即 电流线的数密度。电流线的数密度。 根据电荷守恒，在有电流分布的空间做一闭合根据电荷守恒，在有电流分布的空间做一闭合曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于曲面内电量变化速率的负值。曲面内电量变化速率的负值。 s 电流电流稳恒条件稳恒条件dtdqsdjstqiioutin电流密度矢量的通量等于电流密度矢量的通量等于该面内电荷减少的速率该面内电荷减少的速率.vsdvtsdj电流连续性方程电流连续性方程tj（微分形式证明略）（微分形式证明略）0ssdj0 jjs0ssdj0 j* 在没有分支的恒定电路

8、中，在没有分支的恒定电路中，通过各截面的电流通过各截面的电流必定相等；必定相等；而且恒定电路必定是闭合的。而且恒定电路必定是闭合的。* 恒定电流情况下的电荷分布（净电荷的宏观恒定电流情况下的电荷分布（净电荷的宏观分布不随时间改变分布不随时间改变 ) 产生恒定的电场与静电场产生恒定的电场与静电场服从同样的基本规律。服从同样的基本规律。* 电流线不可能在任何地方中断电流线不可能在任何地方中断，即是闭合曲线。，即是闭合曲线。如高斯定律和环路定理。电势差的概念相同。如高斯定律和环路定理。电势差的概念相同。* 稳恒条件可说为电荷分布不随时间变化稳恒条件可说为电荷分布不随时间变化 ，即场不变时达到稳恒。即

9、场不变时达到稳恒。dtdq但在稳恒电场中导体内部的场强不等于零但在稳恒电场中导体内部的场强不等于零slr4.3 欧姆定律的微分形式和电阻欧姆定律的微分形式和电阻rui 欧姆定律欧姆定律 ：r (resistance)电阻，单位电阻，单位 (ohm)欧姆欧姆m式中：式中： 为为电阻率电阻率(resistivity) 单位单位适用于金属导体、电介液适用于金属导体、电介液它给出一段电路两端的电压与电流的关系。是实验规律。它给出一段电路两端的电压与电流的关系。是实验规律。 电阻电阻rg1称为称为(conductance) 电导电导单位单位s(siemens)西门子。西门子。量纲量纲3122tmlir)

10、1(0t实验表明：化学纯的金属电阻率，实验表明：化学纯的金属电阻率，都很有规律地随温度的升高而增大。都很有规律地随温度的升高而增大。1ms /为为电导率电导率(conductivity) 单位单位* 应用：应用：电阻率的大小要依具体情况具体考虑，可查阅手册。电阻率的大小要依具体情况具体考虑，可查阅手册。* 电阻温度系数电阻温度系数摄氏温度摄氏温度温度为零度时的电阻率温度为零度时的电阻率标准电阻要选用标准电阻要选用 小的如康铜等合金。小的如康铜等合金。电阻温度计就是利用电阻与温度的关系制成。电阻温度计就是利用电阻与温度的关系制成。ag的的 =4 103 1/c0 碳碳c的的 = 5 104 1/

11、c0 电阻温度系数电阻温度系数当温度降到绝对零度很低时，某些金属、合金当温度降到绝对零度很低时，某些金属、合金以及化合物的电阻率会以及化合物的电阻率会突然突然降到很小，这种现降到很小，这种现象称作象称作超导电超导电现象。现象。在这特定的温度下从在这特定的温度下从正常态变为超导态，正常态变为超导态，这温度叫做转变温度这温度叫做转变温度或居里点。或居里点。rtk0.080.16240he具有超导电性的物体称为具有超导电性的物体称为超导体（超导体（superconductor )如如he在在4k以下电阻变为零。以下电阻变为零。迄今为止，已发现迄今为止，已发现28种金属元素（地球的常态下）以种金属元素

12、（地球的常态下）以及合金和化合物具有超导电性。还有一些元素只高压及合金和化合物具有超导电性。还有一些元素只高压下具有超导电性。提高超导临界温度是推广应用的重下具有超导电性。提高超导临界温度是推广应用的重要关键之一。超导的特性及应用有着广阔的前景。要关键之一。超导的特性及应用有着广阔的前景。例题一：一块扇形碳制电极厚为例题一：一块扇形碳制电极厚为 t，电流从半径为，电流从半径为 r1的端面的端面 s1流向半径为流向半径为 r2的端面的端面 s2，扇形张角为，扇形张角为 ，求：，求：s1 和和 s2面之间的电阻。面之间的电阻。rtdrdsdldr21rrrtdrr12lnrrtrdr 平行于电流方

13、向，平行于电流方向，ds 垂直于电流方向垂直于电流方向。r1r2 ts1s2radrdr212ln2221rraradrdrrrr例题二：同轴电缆的漏电阻。例题二：同轴电缆的漏电阻。rdrj1r2ra例题三：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘例题三：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚为基片厚为 t 、内半径为内半径为 r1，外半径为，外半径为 r2 的一层碳的一层碳构成。构成。a、b为引出端，环形碳膜总张角为为引出端，环形碳膜总张角为 电流电流沿圆周曲线流动。求：沿圆周曲线流动。求：a、b之间的电阻？之间的电阻？abr1 r2 a、b 间电阻间电阻可视为由若干可视为由若干不同长度而截面相

14、同的电阻不同长度而截面相同的电阻并联而成。电导为：并联而成。电导为：rtdrldsdg12ln21rrtrtdrgrr 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式ejej1;21leuu;sji;/ slrseil1u2u取取 dl 段，使其足够小其中段，使其足够小其中电场均匀，由梯度定义：电场均匀，由梯度定义：eluiruu21它给出了空间电场分布与电流分布之间的关系。它给出了空间电场分布与电流分布之间的关系。不仅适用于稳恒电流，也适用于非稳恒情况，不仅适用于稳恒电流，也适用于非稳恒情况，所以它比欧姆定律更具有深刻的意义。所以它比欧姆定律更具有深刻的意义。欧姆定律的欧姆定律的微分形式微分形式 电流

15、的功和功率电流的功和功率ritap2*电功率电功率babal dequuqa)(*功功ab稳恒电流的情况下，在相同稳恒电流的情况下，在相同时间间隔时间间隔 dt内，通过空间各内，通过空间各点的电量点的电量 dq相同。电场力对相同。电场力对导线导线a、b内运动电荷做的功内运动电荷做的功等于把电量等于把电量 dq从从a 移移到到 b所所做的功。做的功。triuutiaba2)(电场单位时间做的功。电场单位时间做的功。单位（焦耳单位（焦耳/秒）瓦秒）瓦单位（焦耳）单位（焦耳） *热功率：热功率： 定义为定义为 单位时间消耗的热。单位时间消耗的热。ritqp2vrivpw2*热功率密度热功率密度:单位

16、体积所消耗的功单位体积所消耗的功当电路中只有电阻元件时，当电路中只有电阻元件时，消耗的电能全部转换为热能。消耗的电能全部转换为热能。热功率热功率=电功率。电功率。当电流通过电阻时，由于电子与晶格碰撞当电流通过电阻时，由于电子与晶格碰撞使离子振动加剧而温度升高发热的功率。使离子振动加剧而温度升高发热的功率。2222/ejdsdldsdldsjwdsjdl4.4 电动势电动势 电源、电源、非静电力非静电力+如图，在导体中有稳恒电流流动如图，在导体中有稳恒电流流动就不能单靠静电场，必须有非静就不能单靠静电场，必须有非静电力把正电荷从负极板搬到正极电力把正电荷从负极板搬到正极板才能在导体两端维持有稳恒

17、的板才能在导体两端维持有稳恒的电势差，电势差， 在导体中有稳恒的电场及稳恒的电流。在导体中有稳恒的电场及稳恒的电流。* 提供非静电力的装置就是电源，提供非静电力的装置就是电源，如化学电池、硅（硒）太阳能电如化学电池、硅（硒）太阳能电池，发电机等。实际上电源是把池，发电机等。实际上电源是把能量转换为电能的装置。能量转换为电能的装置。水池水池泵泵静电力静电力欲使欲使正电荷从高电位到正电荷从高电位到低低电位电位。非静电力非静电力欲使欲使正电荷从正电荷从低低电位到高电位电位到高电位。 电动势电动势* 定义描述电源非静电力作功能定义描述电源非静电力作功能力大小的量，就是电源电动势。力大小的量，就是电源电

18、动势。电源内部电流从负极板到正极板叫内电路。电源内部电流从负极板到正极板叫内电路。电源外部电流从正极板到负极板叫外电路。电源外部电流从正极板到负极板叫外电路。dqda+把单位正电荷从负极板经内电路搬把单位正电荷从负极板经内电路搬至正极板，电源非静电力做的功。至正极板，电源非静电力做的功。* 为了便于计算规定为了便于计算规定 的的方向由方向由负极板经内电路指向正极板，即负极板经内电路指向正极板，即正电荷运动的方向。正电荷运动的方向。+ 单位：焦耳单位：焦耳/库仑库仑=（伏特）（伏特）* 越大表示电源将其它形式能量转换为电能的本越大表示电源将其它形式能量转换为电能的本领越大。其大小与电源结构有关，

19、与外电路无关。领越大。其大小与电源结构有关，与外电路无关。inklde内电路内电路非静电力非静电力因为电源外部没有非静电力，因为电源外部没有非静电力，所以可写为：所以可写为：ldek单位时间内非静单位时间内非静电力所做的功。电力所做的功。* 电源的瞬时功率电源的瞬时功率dtdap dqdadqdadqadtdqdtdaipip电源电动势电源电动势 等等于电源维持单位于电源维持单位电流时所做的瞬电流时所做的瞬时功率。时功率。cuso4znso4cuzncuso4znso4cuznabcd中间有一素瓷板离子可以中间有一素瓷板离子可以自由通过但两侧溶液不掺自由通过但两侧溶液不掺混。铜极板上有混。铜极

20、板上有cu+离子离子沉积，在锌极板处沉积，在锌极板处zn+溶溶解；动态平衡下溶液内各解；动态平衡下溶液内各处电位相等。处电位相等。电源开路时：电源开路时：a、b、c、d各处各处电位如图所示电位如图所示uduaucubdcbauuuuadcdabuuu电位跃变电位跃变由电源决定由电源决定电源开路时，电源开路时，路端电压等于电动势。路端电压等于电动势。* 电源充放电时的路端电压（以丹聂尔电池为例）电源充放电时的路端电压（以丹聂尔电池为例）放电时放电时uduaucubi r充电时充电时uduaucubi r定义为定义为内阻上压降内阻上压降iruuldebcin+ r+ iad+ r+ idairua

21、diruadirdairda4.5 直流电路直流电路 闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律 一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 电路中任意两点之间的电势差：电路中任意两点之间的电势差： 基尔霍夫方程组基尔霍夫方程组例：双电源供电电路例：双电源供电电路例：电桥例：电桥例：电势差计例：电势差计4.6 电容器的充放电过程电容器的充放电过程(rc电路的暂态过程电路的暂态过程)目录目录作业：作业：6-8，6-12，6-144.3 直流电路直流电路 一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律riabriabriuubariuuba放电时放电时充电时充电时电动势4.3 直流电路直流电路由能量守恒

22、及转换定律得：由能量守恒及转换定律得：dtrridq)(2ri2为电池消耗于内电阻上的功率。为电池消耗于内电阻上的功率。ri2为电池的输出功率。为电池的输出功率。i 为电池的化学能功率。为电池的化学能功率。 闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律)(rririuubarriabiruuba 电路中任意两点之间的电势差：电路中任意两点之间的电势差：当不能忽略电源内阻时，可把电源等效成一个电动当不能忽略电源内阻时，可把电源等效成一个电动势为势为 ，内电阻为零和一个电阻为，内电阻为零和一个电阻为 的串联。的串联。rr1iab12r2r1r22i31r3rrbaurirriririu3232222111

23、11)(1iab12r2r1r22i31r3r323222211111)(rirriririuuab323222211111)(rirriririuuba#电流与巡视方向相同时，电阻上压降前为负，反之为正。电流与巡视方向相同时，电阻上压降前为负，反之为正。#当电动势方向与巡视方向相同时，其前为正，反之为负。当电动势方向与巡视方向相同时，其前为正，反之为负。巡视方向巡视方向末端末端0ssdj0iii因为因为 , 所以所以 通过节点电流的代数和为零。通过节点电流的代数和为零。 基尔霍夫第一组：也称为节点的电流方程。基尔霍夫第一组：也称为节点的电流方程。 基尔霍夫方程组：基尔霍夫方程组：支路支路 b

24、ranch 把任意一条电源把任意一条电源和电阻串联的电路叫做支路和电阻串联的电路叫做支路回路回路 loop 把把 n条支路条支路构成的通路叫做回路构成的通路叫做回路节点节点 node 三条或更多条三条或更多条支路的汇集点叫做节点。支路的汇集点叫做节点。21r2r12r1r4i4r2i1i3i3r基尔霍夫第二方程组：也称为回路的电压方程。基尔霍夫第二方程组：也称为回路的电压方程。若有若有 个节点，则有个节点，则有 个电流方程。个电流方程。n) 1( n计算结果电流为正值，说计算结果电流为正值，说明实际电流方向与图中所明实际电流方向与图中所设相同。若电流为负值。设相同。若电流为负值。表明实际电流方

25、向与图中表明实际电流方向与图中所设相反。所设相反。21r2ri12r1rr2i1i三条支路三条支路两个节点两个节点任一回路电压降的代数和为零。任一回路电压降的代数和为零。) 1(np 个回路电压方程。个回路电压方程。若有若有 条支路，则有条支路，则有pp可解出可解出 条条支路的电流。支路的电流。011111irriri计算结果电流为正值，说明实际计算结果电流为正值，说明实际电流方向与图中所设相同。若电电流方向与图中所设相同。若电流为负值，表明实际电流方向与流为负值，表明实际电流方向与图中所设相反。图中所设相反。例：双电源供电电路例：双电源供电电路021iii022222irriri基尔霍夫第二

26、方程组基尔霍夫第二方程组第一方程组第一方程组21r2ri12r1rr2i1i常系数线性常系数线性方程组可解方程组可解巡视方向巡视方向例：电桥例：电桥(electric bridge)0gi*桥路平衡时，桥路平衡时，3311riri4422riri21ii 43ii 所以：所以：4321rrrr一般情况：一般情况：r1rki3rgir3i2r4rgr4i2i1iacbdef03311riririggabda回路回路0)()(4321ggggririiriibcdb回路回路0)()(312111rriiriirigabefa回路回路0)()(33432111ririiriiriggabcda回路回

27、路是不独立是不独立例：电势差计电路如图例：电势差计电路如图rkorabdxgi1ksx2kas是标准电动势是标准电动势x是待测电动势是待测电动势s1k2kdkr工作时在合上开关工作时在合上开关 后，将后，将 、 合到合到 一侧，在保持一侧，在保持 不动的情况下，调整电阻不动的情况下，调整电阻 使电流计使电流计 中无电流。中无电流。g此时电流全部流过此时电流全部流过ab电阻丝，可列出回路电压方程：电阻丝，可列出回路电压方程：0iririroabrrriabo0adsirrrrrirabadoadsrrrrabaxox保持保持r不变将不变将 、 合到合到 一侧，一侧，调整滑动接头的位置直到电流计调

28、整滑动接头的位置直到电流计 中无电流，同理可得：中无电流，同理可得：1k2kgxsadaxxrr ab电阻丝是均匀的，电阻丝是均匀的，它的一段电阻和长度它的一段电阻和长度成正比，所以：成正比，所以：sadaxxllrkorabdxgi1ksx2ka4.6 电容器的充放电过程电容器的充放电过程(rc电路的暂态过程电路的暂态过程) 充电充电 放电放电rcuu rcuu 0ircqrdtdqcqircq0rdtdqcq0一阶线性常系数一阶线性常系数齐次微分方程齐次微分方程一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次微分方程非齐次微分方程rickrdtdqcq用分离变量解方程用分离变量解方程rrcqdtdqdtrcqcdqdtrccqdq1)ln(arctcqrctaecq00qtcarctecq初始条件：; 0t0q; 0t；cq 0cut0)(qcqcut0q0cu)1 (rctoeqqrcteqq0设设 为时间常数为时间常数 ，rc)1 (rctecq初始条件：rdtdqcq0cqrdtdqrcterirctoercqirctrecqu0rctreurctcecqu0)1 (rctceu063.