排列、组合及其应用

1、排列、组合及其应用排列、组合及其应用排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数定定义义1.排列：从排列：从n个不同元个不同元素中取出素中取出m(mn)个个元素，元素，_，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列.1.组合：从组合：从n个不同个不同元素中取出元素中取出m(mn)个元素个元素_，叫，叫做从做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的一个元素的一个组合个组合. 按照一定的顺按照一定的顺序排成一列序排成一列合成一组合成一组排列与排列数排列与排列数组合与组合数组合与组合数定定义义2.排列数：从排列数：从n个不同个不同元素中取出元素中取出

2、m(mn)个个元素的元素的_，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数.2.组合数：从组合数：从n个不个不同元素中取出同元素中取出m(mn)个元素的个元素的_，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的组合数个元素的组合数. 所有不同排所有不同排列的个数列的个数所有不同组合的所有不同组合的个数个数n！ 1 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？【提示提示】区分某一问题是排列问题还是组合问题，区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某关键是看所选出的元素与顺序是否

3、有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题否则是组合问题. 1从从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有这样的三位数共有()a9个个 b24个个c36个个 d54个个【答案答案】d2某外商计划在某外商计划在5个候选城市投资个候选城市投资3个不同的个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，个，则该外商不同的投资方案有则该外商不同的投资方案有()a60

4、种种 b70种种c80种种 d120种种【答案答案】d3把把3盆不同的兰花和盆不同的兰花和4盆不同的一玫瑰花摆盆不同的一玫瑰花摆放在右图图案中的放在右图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为的摆放方法为()a2 680种种b4 320种种c4 920种种 d5 140种种【答案答案】b4如图，湖中有四个小岛，要在这四个小岛如图，湖中有四个小岛，要在这四个小岛间建三座小桥，使游人可以到达每个小岛，间建三座小桥，使游人可以到达每个小岛，则不同的建法有则不同的建法有_种种【答案答案】165

5、从从1,2,3,4,5这五个数字中，任取三个组成无重这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，若三个数字中有复数字的三位数，若三个数字中有2和和3，则，则2排在排在3的前面，这样的三位数共有的前面，这样的三位数共有_个个【解析解析】间接法，组成的三位数减去间接法，组成的三位数减去2排在排在3后后面的情况，即面的情况，即a 35 951.【答案答案】51【思路点拨思路点拨】利用排列数和组合数的公式利用排列数和组合数的公式及意义求解，及意义求解，(2)中注意中注意n的取值范围的取值范围(4)全体排成一排，女生必须站在一起；全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；全体排

6、成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人人【思路点拨思路点拨】无限制条件的排列问题，直无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可但要看清是全排列接利用排列数公式即可但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是类型是“在与不在在与不在”、“邻与不邻邻与不邻”问题，问题，可分别用相应方法可分别用相应方法求排列应用题的主要方法有：求排列应用题的主要方法有：(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计直接法：把符合条件的排列数直接列式计算算(2)特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排的方

7、法即先排优先安排的方法即先排特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置(3)排列、组合混合问题先选后排的方法排列、组合混合问题先选后排的方法(4)相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列注意捆绑元素的内部排列(5)不相邻问题插空处理的方法即先考虑不不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中在前面元素排列的空当中(6)分排问题直排处理的方法分排问题直排处理的方法(7)“小集团小集团”排列问

8、题中先集体后局部的处理排列问题中先集体后局部的处理方法方法(8)定序问题除法处理的方法即可以先不考定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列列(9)正难则反，等价转化的方法正难则反，等价转化的方法1由四个不同数字，由四个不同数字，1,2,4，x组成无重复数组成无重复数字的三位数字的三位数(1)若若x5，其中能被，其中能被5整除的共有多少个？整除的共有多少个？(2)若若x9，其中能被，其中能被3整除的共有多少个？整除的共有多少个？(3)若若x0，其中的偶数共有多少个？，其中的偶数共有多少个？(4)若所有这些三位数的各位数字之总

9、和是若所有这些三位数的各位数字之总和是252，求求x.(5)选取选取3名男生和名男生和2名女生分别担任班长、体名女生分别担任班长、体育委员等育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任男生担任，班长必须由女生担任【思路点拨思路点拨】(1)(2)属于组合问题，可用直属于组合问题，可用直接法；接法；(3)(4)属于组合问题可用间接法；属于组合问题可用间接法；(5)属属于先选后排问题应分步完成于先选后排问题应分步完成组合问题常有以下两类题型变化：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组合题型：某些元素的组合

10、题型：“含含”，则先将这些元素取出，再由另外元，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；素补足；“不含不含”，则先将这些元素剔除，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取再从剩下的元素中去选取(2)“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素的题型：含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视解这类题必须十分重视“至少至少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理理2某旅游团要从某旅游团要从8个风景点中选出

11、两个风景个风景点中选出两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少种？各有多少种？(1)甲、乙两个风景点至少选一个；甲、乙两个风景点至少选一个；(2)甲、乙两个风景点至多选一个；甲、乙两个风景点至多选一个；(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个个(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；本；(5)分成三份，分成三份，1份份4本，另外两份每份本，另外两份每份1本；本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人本，另外两人每人得每人得1本；本；(7)甲得

12、甲得1本，乙得本，乙得1本，丙得本，丙得4本本【思路点拨思路点拨】这是一个分配问题，解题的这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏遗漏均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺

13、序有关，有序数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数乘数1(2009年全国年全国)甲、乙两人从甲、乙两人从4门课程中各门课程中各选修选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有门，则甲、乙所选的课程中至少有1门门不相同的选法共有不相同的选法共有()a6种种 b12种种c30种种 d36种种【答案答案】c2将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的两名学生不能分到同一个班，则不同分法的

14、种数为种数为()a18 b24c30 d36【答案答案】c3位男生和位男生和3位女生共位女生共6位同学站成一排，若男位同学站成一排，若男生甲不站两端，生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是相邻，则不同排法的种数是()a360 b288c216 d96【答案答案】b从从5名男医生、名男医生、4名女医生中选名女医生中选3名医生组成一名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有则不同的组队方案共有()a70种种 b80种种c100种种 d140种种【答案答案】a3甲、乙、丙甲、乙、丙3人

15、站到共有人站到共有7级的台阶上，若级的台阶上，若每级台阶最多站每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答用数字作答)【答案答案】336 例例1 1 将将4 4个不同的小球放入个不同的小球放入4 4个不同的个不同的盒子里，求在下列条件下各有多少种不同盒子里，求在下列条件下各有多少种不同的放法的放法. .（1 1）恰有一个盒子里放）恰有一个盒子里放2 2个球；个球； （2 2）恰有两个盒子是空盒）恰有两个盒子是空盒. .（ ）23441144nc a=3222444412842nc ac a=+=（ ）

16、典例讲评典例讲评 例例2 2 某某4 4个男生和个男生和3 3个女生站成个女生站成一排照相，其中有且只有两个女生一排照相，其中有且只有两个女生相邻的站法共有多少种？相邻的站法共有多少种？ 422243522880na c a a=典例讲评典例讲评 例例3 3 从从6 6名短跑运动员中选名短跑运动员中选4 4人人参加参加4 4100m100m接力赛，如果甲不能接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，求跑第一棒，乙不能跑第四棒，求共有多少种不同的参赛方案？共有多少种不同的参赛方案？411323112423443224()252nac a ac ac c a=+=典例讲评典例讲评 例例4 4 编号为编号为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的5 5个个人分别坐在编号为人分别坐在编号为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的5 5个座位上，求至多有两个人的个座位上，求至多有两个人的编号与座位号一致的坐法种数编号与座位号一致的坐法种数. .53551109nac=-=典例讲评典例讲评 例例5 5 由由0 0到