直角坐标系下二重积分的计算

1、第二讲第二讲 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算 内容提要内容提要 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算 教学要求教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。理解和熟练掌握二重积分的计算。预备知识：预备知识：(1) (1) 曲顶柱体曲顶柱体体积体积： v ddyxf ),(2 ) 在直角坐标下，在直角坐标下， ddxdyyxf),()(xaxxoaby vd),(yxfz ddyxf ),(二重积分二重积分.)( badxxa(3)平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积oxy)(1xy )(2xy ab如果积分区域为如果积分区域为 bxaxy

2、xd)()(:21 （1）x型区域型区域1.对积分区域的讨论：对积分区域的讨论：xx-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边轴的直线与区域边界相交不界相交不多于两个多于两个交点交点.1.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算oxy如果积分区域为如果积分区域为 dycyxyd)()(:21 （2）y型区域型区域y-型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交轴的直线与区域边界相交不多于两个不多于两个交点交点. 可以用平行于坐标轴的直线可以用平行于坐标轴的直线(3) 一般区域：一般区域：1d2d

3、3d把把 d 分解成有限个分解成有限个 x-型区域型区域或或y-型区域型区域oxy)(1yx )(2yx cdy)(02x )(01x ,义义根根据据二二重重积积分分的的几几何何意意2.二重积分的计算公式：二重积分的计算公式：, 型时型时为为先讨论积分区域先讨论积分区域 xd ddxdyyxf),(二二重重积积分分 v,型型区区域域为为由由于于积积分分区区域域 xd, ,0 xba区区间间上上任任意意固固定定一一点点在在作平行作平行过过0 x, 其截面为曲边梯形其截面为曲边梯形其面积其面积 bxaxyxd)()(:21 如如何何计计算算.面面的的平平面面于于yozozxy),(yxfz dab

4、0 x )(0 xa )( 0 xa),(yxfz0 ddxdyyxf),(：用另一种方法求用另一种方法求 v )()(),(02010 xxdyyxf )(xa, 的的公公式式积积根根据据截截面面面面积积已已知知的的体体 v则则 badx )()(21),(xxdyyxf dxdxdyyxfbad ),(从而从而 )()(21),(xxdyyxf 通常写成：通常写成： dbadxdxdyyxf),( )()(21),(xxdyyxf 即即把把二二重重积积分分化化为为,积积分分先先对对y积积分分后后对对x的的二二次次积积分分xab)(1x )(2x )(xaozxy),(yxfz d，上任意一

5、点上任意一点一般地，过一般地，过xba,轴轴的的平平面面作作垂垂直直于于x )()(),(xxdyyxf21 badxxa)(面积面积与柱体相交得到的截面与柱体相交得到的截面如果积分区域为如果积分区域为 y-型型： dycyxyd)()( :21 oxy)(1yx )(2yx cd ddxdyyxf),( 即把二重积分化为即把二重积分化为,积分积分先对先对x积分积分后对后对y.的二次积分的二次积分类似的有：类似的有： dcdy )()(21),(yydxyxf dydc )()(),(yydxyxf21 ddxdyyxf),( 通常写成：通常写成：计算二重积分需要注意以下几点：计算二重积分需要

6、注意以下几点： (1) 在计算二重积分时，首先根据已知条件确在计算二重积分时，首先根据已知条件确定积分区域定积分区域 d 是是 x-型型还是还是 y-型型区域，由此确定将区域，由此确定将二重积分化为二重积分化为先先 y 后后 x 的二次积分还是的二次积分还是先先 x 后后 y 的的二次积分。二次积分。 (2) 当积分区域当积分区域 d 既是既是 x-型区域，又是型区域，又是 y-型型区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积分顺序：分顺序： )()(21),(),(xxdbadyyxfdxdxdyyxf 先先 y 后后 x )()(21),(yyd

7、cdxyxfdy 先先 x 后后 yoyx (3) 如果用平行于坐标轴的直线与积分区域如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 d 的的 321),(),(),(ddddxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf则必须分割区域则必须分割区域 d 221dddd 1d2d3d根据二重积分的性质根据二重积分的性质 ddxdyyxf),(交线多于两个交点，交线多于两个交点， 如图。如图。 dydxdyx21 计算二重积分计算二重积分例例10 , 11 yxd为矩形区域为矩形区域其中其中oxy111 , :的图形的图形先画区域先画区域解解d解法一：解法一：d 为为 x-型区域型区域二重积分化为二重积分化为先先

8、 y 后后 x 的二次积分的二次积分 dydxdyx2 11102221dxyx 11221dxx31 11102ydyxdxdxydyx 11102dxydyx11102 oxy111 解法二：解法二：d 为为 y-型区域型区域 1011:yxd二重积分化为二重积分化为先先 x 后后 y 的二次积分的二次积分 dydxdyx2 1011331dyxy 1032ydy31 10112ydxxdy10112 dxxydy例例 2 2 求求 ddxdyyx)(2，其中，其中d是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域.解解求求两两曲曲线线的的交交点点 22yxxy ddx

9、dyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 14033 2xy 2yx oxy11将将 d 化为化为 x-型区域型区域 10:2xxyxd),( ,),(1100 x2xy 2yx oxy11y ddxdyyx)(2 1022)(yydxyxdydyyyy)3134(361023 14033 将将 d 化为化为 y-型区域型区域 10:2yyxyd1047254171315234 yyyxdxdyyxd )(3 计算二重积分计算二重积分例例.,所围成所围成是由直线是由直线其中其中xyxyxxd321 , :的图形的图形先画区域先画区域解解dd 为为 x-型

10、区域型区域 :dxyx3 21 xxdxdyyxd )( 213xxdyyxdx)(dxyxyxx 213221dxx 212614 1xy xy3 2xyo是由直线是由直线其中区域其中区域计算二重积分计算二重积分例例ddxdyyxd , 224所围成所围成及双曲线及双曲线 1 , 2 xyxyx解：画出积分区域解：画出积分区域 d 的图形的图形.oyxxy 21 xy求出各个交点，如图求出各个交点，如图212将将 d 化为化为 x-型区域型区域 :d 22dxdyyxd dxyxxx12121 )(2 xx11 213)(dxxx49 xyx 121 xdyyxdxxx 12221将将 d

11、化为化为 y-型区域型区域21ddd dxdyyxdxdyyxdxdyyxddd 21222222 这样计算量这样计算量 就比就比 x-型区域的计算量大的多型区域的计算量大的多因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。oyxxy 21 xy2122 x111d2d :1d121 y21 xy :2d21 y2 xy, dxyd 计算计算例例5，是由抛物线是由抛物线其中区域其中区域2yxd .所围成的区域所围成的区域直线直线2 xy :解解d 为为 y-型区域型区域 :dxy 221 yxyo),(11 ),(242 xy2yx 1 2, 的图形的图

12、形先画区域先画区域 d dxyd 2122yyxydxdydyyxyy 2122221dyyyy 2152221)(845 2 yoyx)1 , 1()1 , 0(xy 解解 将将 d 化为化为 x-型区域型区域 :d dydxdye2 1012xydyedx.无无法法求求出出从从而而 1012xydyedxx1无法用初等函数表示无法用初等函数表示, dyey2 dyey2无法积分无法积分.1 yx10 x dydxdye2计算二重积分计算二重积分例例 6是由直线是由直线其中区域其中区域 d .,围成的区域围成的区域xyyx 10 dydxdye2 yydxedy0102dyyey 102)(

13、2102ydey )11(21e oyx)1 , 1()1 , 0(将将 d 化为化为 y-型区域型区域 :d yydxdye010210221ye yx 010 yxy 21 解解积分区域由两个积分区域由两个y-型区域构成型区域构成.),(的积分顺序的积分顺序交换积分交换积分例例 2211117xxdyyxfdx :2d :1d转化积分区域为转化积分区域为 y-型型区域区域2211yxy 01 y积分区域为积分区域为 x-型型区域区域 :d11 x2211xyx 11 yxy 1110 y 221111xxdyyxfdx),( 221101yydxyxfdy),( yydxyxfdy1110

14、),(2d1dxyo11 解解 由原积分知，积分区域为由原积分知，积分区域为两个两个y-型区域型区域 和和 xxdyyxfdxi2211),( 故故转化积分区域为转化积分区域为 x-型型区域区域 ydxyxfdyi212141),( yydxyxfdy),(121交换下列积分交换下列积分例例8.的顺序的顺序121 xxyx 2xy xoy 21411212xy 12141 yyx 21121 yyxy 22xxy xyo例例9 9 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2 解解积分区域由两个积分区域由两个x-型区域构成型区域构成 1020:21xxxyd 2120:2xxyd转化积分区域为转化积分区域为 y-型型区域区域 10211:2yyxyd 102112),( yydxyxfdy原式原式故故1xy 22d12的次序的次序.二重积分在直角坐标下的计算二重积分在直角坐标下的计算（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小小 结结.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf