第一章集合与函数概念复习

1、集合与函数概念复习知识要点v1、集合的含义；v2、集合间的基本关系；v3、集合的运算；v4、函数的概念；v5、函数的基本性质；v6、映射的概念。答案:1-3bcc 4. 0, 1,3x 5.集合中元素的个数及子集的个数集合中元素的准确识别集合中元素的准确识别 已知集合 2222 ,|2 ,|2 ,ayxby yxcx yx2( , )|2 ,|2 ,dx yyxex x则（ ） .;.;.;.aabbbcccedbed 【点评与感悟点评与感悟】解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，不允许有半点差错，否则将导致解题的失败。.3121112, 12132 5-2b2ba aaaaaaaaaa

2、的取值范围综上所述，时，有当即，有当，解： .121|52|. 3的取值范围求实数已知aaxaxxxa,b,b,a.aabr,a0,1-a1)x2(ax|xb0,4xx|xa222的值，求实数若、设集合41 014) 12(-01) 1(2x4-04.-0bba(1).ab4-0a222aaaaa解得由韦达定理得的两根，是方程，由此知：，时，当，于是可分类处理，解： . 1, 11, 0) 1(4) 11, 0) 1(4)2(222aaaaaaaaa或的值知，所求实数、综合解得时，满足条件；解得，或时，即时，又可分为：当(2)(1)4(b)b 0b1)4(-4b0bb (a) ab2子集的个数

3、问题的考查子集的个数问题的考查 , a ba已知 , , , , ,a b c d ea求满足条件的集合 的个数.7712,3个有合个，所以满足条件的集的真子集共有于集合的任意一个真子集。由可以是集合其中集合解析：aedcedcbbbaa73.3.设设u=1,2,xu=1,2,x2 2-2,a=1,x,-2,a=1,x,则则c cuua=_a=_2知识梳理5、函数的概念（1）函数定义：给定两个非空数集a和b,如果按照某个对应关系f ,对于a中的 , 在集合b中都有 的数 f (x) 与之对应, 那么就称f:ab为集合a到集合b的一个函数，记作y= f (x)，xa. 其中,x叫做自变量, x的

4、取值范围a叫做 , 与x的值对应的y值 叫做函数值, 函数值y的集合叫做 .知识梳理（2）函数的三要素： ， ， 。（3）区间的概念。（4）函数的表示法： ， ， 。（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同（6）映射的定义：设a、b是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对于a中的 , 在集合b中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就称f:ab为集合a到集合b的一个映射。（7）从a到b的映射个数有个例：求下列函数的定义域：11)( )( )32132f xf xxxxx）3) f(x)=+ ( )( ),( )0( )( ),( )0( ),( ),( )0f xxrf xg

5、xg xf xf xf xf xrf x求函数的定义域依据：若是整式，则对于式子应使对于式子应使对于式子应使对于式子f(x) 应使函数定义域是函数定义域是使函数有意义的使函数有意义的x的取值范围的取值范围负指数次幂也一样负指数次幂也一样对于实际问题，应实际问题有意义如对于实际问题，应实际问题有意义如s=vt,t须大于或等于零须大于或等于零求值域常用的方法求值域常用的方法1.观察法如观察法如y=2x+12.配方法如配方法如y=x2+2x+33.换元法如换元法如y=x+ 4.分离常数法如分离常数法如5.判别式法如判别式法如6.图象法如图象法如12 x)1 , 0( 12121222xxxyxxyx

6、xy1。 设f(x)的定义域是-1,3，值域为0,1,试求函数f(2x+1)的定义域及值域。v分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1，故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范围，进而得所求定义域；而2x+1已取遍定义域内的每一个实数，所以值域没有改变。v解：由已知-12x+13，得-1x1。得函数f(2x+1)的定义域是-1,1，值域仍为0,1。v辩：将值域写成y0,1行吗？0y1呢？复合函数问题复合函数问题1. 设设a=0,2, b=1,2, 在下列各图在下列各图中中, 能表示能表示f:ab的函数的函数是是( ).xxxxyyyy000022222222abcdd思考交流思考交

7、流1. 已知函数已知函数f (x)=x+2, (x1)x2, (1x2)2x, ( x2 )若若f(x)=3, 则则x的值是的值是( )a. 1b. 1或或32c. 1, , 332d. 3d 思考交流思考交流例1: (1)已知f(x+1)=x2+2x+4,求f(x). (2)已知y=f(x)是一次函数,且有ff(x)=9x+8, 求f(x).例2:设函数y=f(x)的定义域为0,1,求下列函数的定义域. (1) y=f(3x);(2) y=f(x+1/3)+ f(x1/3) 个最值）（）两个根，求（是方程、）：已知（）：求值域（：例2222208221211baccxxbaxxy。知识梳理6

8、、函数的单调性（1）对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时，如果都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是 函数，这个区间d就叫做这个函数的 区间；如果都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是 函数，这个区间d就叫做这个函数的 区间；三三判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2d，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下结论（即指出函数下结论（即指出函数

9、f(x)在给定的区间在给定的区间d上的上的单调性）单调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间d上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法1.1.定义法定义法.2.2.图象法图象法3.3.直接法直接法: :利用已知结论利用已知结论(1)y=cf(x)(c(1)y=cf(x)(c(2)f(x)(2)f(x)恒正或恒负时恒正或恒负时, y=f(x, y=f(x) )单调单调性相反性相反(3)(3)在公共区域内在公共区域内, ,增增+ +增增= =增增, ,增增- -减减= =增增, ,减减+ +减减= =减减, ,减减- -增

10、增= =减减(4)(4) 与与y=f(xy=f(x) )单调性相同单调性相同(5)(5)f(xf(x) )与与f(x)+c(cf(x)+c(c为常数为常数) )单调性相同单调性相同则相反时相同单调性与时,0,)(,0),0cxfc与)(1xfy )(,0)(xfxf时知识梳理（2）最大（小）值：一般地,设函数y=f(x)的定义域为i,如果存在实数m满足: 对于任意的xi,都有f(x)m（ f(x)m ）; 存在x0 i,使得y=f(x0)= m.那么,我们称m为函数y=f(x)的最小值（最大值）.证明：证明：设设x1,x2是是上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f

11、(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2) , 0因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号变形作差结论理论迁移理论迁移 5. 5. 已知函数已知函数 在区间在区间00，44上是增函数，求实数上是增函数，求实数 的取值范围的取值范围. .2( )2f xaxxa),41二次函数型求最值二次函数型求最值(1)y=x2-2x+3, x r(2)y=x2-2x+3, x 2,5(3) y=x2-2x+3,x -2,0(4) y=x2-2x+3,x -2,4变式变式(1)y=x2-3x+1,x t,t+1(2)y=x2-2ax+5,x -2,3,a r知识梳

12、理（3）函数的奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x 都有f(x)= ， 那么f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x 都有f(x)= ，那么f(x)就叫做偶函数。（4）奇函数的图象是关于 对称；偶函数的图象关于 对称。反之也成立。3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立. 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 判断下列各函数的奇偶性：22lg(1)( )|2| 2xf xx（1） （2） （3）1( ) (1)1xf xx

13、x22(0)( )(0)xxxf xxxx【思路分析【思路分析】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再验证f(x)= f(x)或其等价形式f(x) f(x)=0解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称， 为非奇非偶函数.101xx101xx( )f x（2）由 得定义域为2210|2| 20 xx ( 1,0)(0,1)（3）函数的定义域为 当 时， ，则0 x 0 x 22()()()( )fxxxxxf x 当 时， ，则0 x 22()()()( )fxxxxxf x 0 x 综上所述，对任意的 ，都有 ,(,0)(0,)x ()( )fxf x 为奇函

14、数.( )f x理论迁移理论迁移4. 4. 已知已知f(xf(x) )是奇函数，且当是奇函数，且当 时，时， , ,求当求当 时时f(xf(x) )的解析的解析式式. .0 x 2( )3f xxx0 x 2( )3 (0)f xxx x 5. 5. 设函数设函数 ，已知，已知 是是偶函数，求实数偶函数，求实数m m的值的值. .2( )23f xxmx(1)f xm=-4m=-46. 6. 已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在r r上的奇函数，且对任上的奇函数，且对任意实数意实数x x都有都有 ，若当，若当 时，时， , ,求求 的值的值. .(3)( )0f xf x 3, 2x (

15、 )2f xx1( )2f1( )52f7. 7. 已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在r r上的偶函数，且在上的偶函数，且在 上是增函数，上是增函数，f(-2)=0f(-2)=0，求不等式，求不等式 的解集的解集. .(,0( )0 x f x( 2,0)(2,) 函数奇偶性的运用函数奇偶性的运用 8. 已知函数 对一切 ，都有 ( )f x, x yr()( )( )f xyf xf y（1）求证： 是奇函数； （2）若 ，用 a 表示( )f x( 3)fa(12)f0 x ( )yf xr(3)当 时,f(x)0 恒成立，证明：函数是上的增函数 变式:f(xy)=f(x)f(y)且f(x)0,当x