第一章(集合、数列)

1、 第一章第一章 函数及其图形函数及其图形1.1. 集合集合1.2. 映射与函数映射与函数 1.1. 集合集合表表示示。物物的的全全体体，用用大大写写字字母母具具有有某某个个共共同同属属性性的的事事,cba 表示。表示。用小写字母用小写字母组成集合的各个事物，组成集合的各个事物，,cba、集合、集合1一、集合的概念与运算一、集合的概念与运算、集合与元素的关系、集合与元素的关系3;:)1(aaaaaa 的的元元素素，记记作作是是集集合合属属于于。的的元元素素，记记作作不不是是集集合合不不属属于于aaaaaa :)2(、元元素素2。素的集合，记作素的集合，记作、空集：不含有任何元、空集：不含有任何元

2、 4。全体，记作全体，记作、全集：所研究对象的、全集：所研究对象的i5、集合的表示方法、集合的表示方法6 。即即合合的的方方法法用用列列举举全全体体元元素素表表示示集集列列举举法法naaaa,;:)1(21 。所所具具有有的的特特征征即即集集合合的的方方法法，用用元元素素具具有有的的特特征征表表示示描描述述法法aaa|:)2( 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 a例例如如：1| ),(22 yxyxa例例如如：7、集合的关系与运算、集合的关系与运算。，记作，记作的子集的子集是是babxaxba :)1(。，且，且的真子集的真子集是是bababa :ba。且且相等相等与与abbaba

3、:)2(规定：空集为任何集合的子集。规定：空集为任何集合的子集。 。，简简记记为为且且交交集集：abbxaxxba |)3(aabb 。或或并集：并集：bxaxxba |)4(abba。也也可可写写成成，且且差差集集：bababxaxxba|)5( 。且且补补集集：axixxaiaci |)6(8、集合的性质、集合的性质(1)交换律交换律。；abbaabba (2)结合律结合律(4)对偶律对偶律(3)分配律分配律。；)()()()()()(cbcacbacbcacba 。；)()()()(cbacbacbacba .)()(ccccccbabababa ；二、实数集合的概念与性质二、实数集合的

4、概念与性质 负无理数负无理数正无理数正无理数无理数无理数负有理数负有理数正有理数正有理数有理数有理数实数实数01、定义、定义(结构图结构图)注：每一个实数在数轴上都有一个点与之对应。注：每一个实数在数轴上都有一个点与之对应。每一个数轴上的点也都对应着一个实数。因此每一个数轴上的点也都对应着一个实数。因此 常称数轴为实数轴。常称数轴为实数轴。 为实数为实数xxr| 2、性质、性质运运算算封封闭闭；对对加加、减减、乘乘、除除四四则则)1(；，总总有有有有序序性性bababarba ,:)2(；，则则有有若若传传递递性性cacbba ,:)3(；，正正整整数数，则则，若若阿阿基基米米德德性性bnat

5、snabrba .0,:)4(理理数数。且且既既有有有有理理数数，也也有有无无必必有有另另一一个个实实数数，两两个个不不相相等等的的实实数数之之间间稠稠密密性性 :)5(.0,1babarba ，则，则有有证明：若对于证明：若对于、设、设例例证：用反证法。证：用反证法。. ba 数的有序性，有数的有序性，有若结论不成立，则由实若结论不成立，则由实。为正数且为正数且则则令令 baba,矛盾。矛盾。但这与假设但这与假设 ba因此结论成立。因此结论成立。三、绝对值与不等式三、绝对值与不等式1、绝对值、绝对值 0,0,|aaaaa到原点的距离。到原点的距离。就是点就是点的绝对值的绝对值注：数注：数aa

6、a|2、绝对值的性质、绝对值的性质. 0|00| )1( aaaa时，有时，有；当且仅当；当且仅当. |)2(aaa )0.(| )3( hhahha|;|,)4(bababarba 有有. | )5(baab ).0()6( bbaba ;|),()1(bxaxba 开区间开区间四、实数集合中的子集四、实数集合中的子集1、区间、区间;|,)2(bxaxba 闭闭区区间间 ;|,()3(bxaxba 半开半闭区间半开半闭区间;|),bxaxba 区间：是指介于某两个实数之间的全体实数区间：是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个这两个实数叫做区间的端点实数叫做区间的端点.;|,(|),()4(

7、bxxb bxxb 左左无无穷穷右右有有限限区区间间;|),|),()5( xaxa xaxa 左左有有限限右右无无穷穷区区间间 .|),()6( xx 实数集实数集.,0,叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点邻域邻域的的称为点称为点。数集。数集且且是两个实数是两个实数与与设设 aaaxxa).,(0 au记作记作. ),( axaxauxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0),(0 axxau2、邻域、邻域;0|),( axxaua右右邻邻域域的的.0|),( axxaua左邻域左邻域的的3、有界集确界原理、有界集确界原理。下下界界的的一一个个

8、上上界界称称为为的的数数集集，数数下下界界为为有有上上界界，则则称称，都都有有对对一一切切，数数中中的的一一个个数数集集。若若为为定定义义：设设)()()()(.)(slmslxmxsxtslmrs 为为有有界界集集。称称既既有有上上界界又又有有下下界界，则则若若数数集集ss为无界集。为无界集。不是有界集，则称不是有界集，则称若若ss的的上上确确界界，记记作作是是数数集集则则称称数数的的最最小小上上界界，是是，即即，的的上上界界；是是，即即，有有满满足足：中中的的一一个个数数集集，若若数数是是定定义义：设设ssxtssxsxsxrs 00.)2()1(的的下下确确界界，记记作作是是数数集集则则

9、称称数数的的最最大大下下界界，是是，即即，的的上上界界；是是，即即，有有满满足足：中中的的一一个个数数集集，若若数数是是定定义义：设设ssxtssxsxsxrs 00.)2()1(。ssup 。sinf 必必有有下下确确界界。有有下下界界，则则必必有有上上确确界界；若若则则有有上上界界，为为非非空空数数集集，若若：设设确确界界原原理理定定理理sssss)( 1.2. 映射与函数映射与函数一、映射一、映射满足：满足：间的一种对应关系间的一种对应关系若两个集合若两个集合fyx,规则相对应，规则相对应，按某种按某种与与唯一的唯一的，总，总对对yxtsyyxx., 。的的映映射射，记记为为到到为为从从

10、则则称称这这种种对对应应关关系系yxfyxf : .)(),(|)(ffryxxxfyyxfdfx称称为为值值域域，记记作作集集合合。的的定定义义域域，记记为为为为函函数数实实数数集集 因变量因变量自变量自变量)(xfy ，上上的的函函数数，记记作作集集是是定定义义在在实实数数相相对对应应，则则称称与与唯唯一一的的总总，满满足足对对，若若有有对对应应法法则则给给定定两两个个实实数数集集yxfxfyxtsyyxxfyx :.,二、函数二、函数1、定义、定义函数关系函数关系()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法

11、则. .xyx)(xf约定约定: : 定义域是自变量所能取的使函数式有意定义域是自变量所能取的使函数式有意义的一切实数值义的一切实数值. .21xy 例如，例如，.1 , 0)(,1 , 1 xfx211xy )., 1 )(),1 , 1( xfx函数本身确定定义域的有四种类型：函数本身确定定义域的有四种类型：)(1)1(xp分式分式; 0)( xp要求要求)()2(xq根式根式; 0)( xq要求要求)(log)3(xra对数函数对数函数)(arccos)(arcsin)4(xsxs、反余弦函数、反余弦函数反正弦函数反正弦函数; 0)( xr要求要求. 1)( xs要求要求.)(),(),

12、(的图形的图形函数函数称为称为定义：点集定义：点集xfydxxfyyxc oxy),(yxxywd 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫多值函数则叫多值函数例如，例如，222ayx 解：解： 120 x函数的定义域为函数的定义域为: : .20:, 21 yx函数的值域为函数的值域为, 2, 10 xx且且得定义域为得定义域为解：解： 0, 2, 1, 0,12xkkxkxx的定义域和值域。的定义域和值域。：求：求例例xy 2arcsin1的定义域。的定义

13、域。：求：求例例xxy2arccoscot2 解解: (1): (1) axaaxaaxax111010的定义域。的定义域。的定义域的定义域，求，求的定义域为的定义域为：设：设例例)(ln)2(;)0)()()1(1 , 0)(3xfaaxfaxfxf ,1,1aaaxax 而而应取在应取在,1 ,21,21aaa a ，定义域为，定义域为若若定义域为空集；定义域为空集；则：若则：若。定义域为定义域为exx 11ln0)2(.)16(log42)1(的定义域的定义域：求函数：求函数例例xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2

14、, 1(即定义域为即定义域为 (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn2、函数表示法、函数表示法解析法解析法(公式法公式法)，表格法，图示法，表格法，图示法3、几个特殊函数、几个特殊函数(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxdy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(3) 取最值函数取最值函数)(),(max

15、xgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为的式子来表示的函数，称为分段函数分段函数。.)3(,21, 210, 1)(5的定义域的定义域求函数求函数：设：设例例 xfxxxf解解 231, 2130, 1)3(xxxf 21, 210, 1)(xxxf 12, 223, 1xx.1, 3 x故故4、函数的四则运算函数的四则运算,),()(21xxxgxf和和定义域分别为定义域分别为和

16、和给定函数给定函数下：下：上的和、差、积运算如上的和、差、积运算如在在与与则则xxgxf)()(,21 xxx.),()()(;),()()(;),()()(xx xgxfxhxx xgxfxgxx xgxfxf 商运算如下：商运算如下：的的与与则则若若)()(, 0)(|21*xgxfxxxgxxx .,)()()(*xx xgxfxl 5、复合函数、复合函数,uy 设设,12xu 21xy ,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y代入法代入法 ，uxxxguuxg ),(|)(其值域其值域，且，且函数函数定义：设函数定义：设函数xxxguuuufy ),(,),(的复合函数。的

17、复合函数。为为则称函数则称函数xxgfy )( 注注: :0不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的; ;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 0复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成. .,2cotxy 例例,uy ,cotvu .2xv 解：解：ux 1令令则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf的表达式。的表达式。求函数求函数：设：设例例)0)(,1162 xxfyxxxf).(. 1, 0,21)(7xfxxxxxfxf求求其中其中：设：设例

18、例 解解,1xxt 令令,11tx 即即,12)(11ttftf ,1211)(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即,)1(2111uuuufuf ,)1(2111xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(21111211)(21)(. 1111)( xxxxf6、反函数、反函数0 x0y0 x0yxydw)(xfy 函数函数oxydw)(yx 反函数反函数o则则值：值：确定唯一的确定唯一的，都可由方程，都可由方程若对于若对于，其值域为，其值域为定义：设有函数定义：设有函数),()(),()(yxxyxfyyxfyxxxfy ).()()(1yfxxfyy

19、x 的反函数，记作的反函数，记作称为称为).()()(1xfxyyx 常写成常写成习惯上，反函数习惯上，反函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abq),(bap)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy .,3 xxy的反函数：的反函数：例例 xxy,73.0101)(82的反函数的反函数：求：求例例 xxxxxf, 10 yx时时，解解：当当.1, 11,1,2 xxxxy得反函数得反函数综上综上1122 yxxy则则, 10 yx时时，当当11 yxxy则则7、基本初等函数、基本初等函数(2)幂函数幂函数)( 是是常常数数

20、xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1)常函数常函数)( 为常数为常数ccy (3)指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (4)对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (5)三角函数三角函数xysin 正弦函数正弦函数xysin oxycos xycos 余弦函数余弦函数o正切函数正切函数xytan xytan oxycot 余切函数余切函数xycot o(6)反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数oxya

21、rccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数oxyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数o 常数函数常数函数,幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.arccotxy 反余切函数反余切函数xarcycot o定义定义: 由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数1sin2 xeyx .x

22、 xxxy01; 0,不是初等函数不是初等函数nnxaxaay 10为初等函数为初等函数 nnxaxaay10注：分段函数注：分段函数一般不是一般不是初等函数。但有些分段函初等函数。但有些分段函数可以转化为由基本初等函数通过有限次四则运数可以转化为由基本初等函数通过有限次四则运算复合，那它仍是初等函数。算复合，那它仍是初等函数。 .x xxxxy0,; 0,|例：例：2|xxy 是分段函数，是分段函数，但是，但是，是初等函数。是初等函数。因此因此2|xxy ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(92xfxxxxxxxxexfx 求求：设：设例例解解 1)(),(1)(,)()(xxxexf

23、x,1)(10时时当当 x,0时时当当 x, 12)( xx;20 x,0时时当当 x, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x,0时时当当 x, 12)( xx;2 x,0时时当当 x, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx oym-mxy=f(x)d有界有界无界无界m-myxod0 x,)(, 0,)(mxfdxmxfd 有有若若的的定定义义域域是是设设(1)函数的有界性函数的有界性.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数dxf8、函数的几种简单性质、函数的几种简单性质上无界。上无界。在

24、在上均为有界函数，上均为有界函数，在在例：例：rxyxy rxyxy22,cos,sin 上上的的无无界界函函数数。为为：证证明明例例1 , 0(1)(10 xxf ,111 , 0(0 mxm上上的的一一点点，取取正正数数对对证明：证明：则有则有,11)()(000mmxxfxf 上上无无界界。在在因因此此，1 , 0()(xf(2)函数的单调性函数的单调性)(xfy )(1xf)(2xfxyoi)(xfy )(1xf)(2xfxyoi,)(didxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxi ;)()(的的减减少少

25、上上是是严严格格单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数ixf)()(21xfxf 恒有恒有),)()(21xfxf 上单调增加。上单调增加。在在例：例：reyx 。或下降或下降内也严格单调上升内也严格单调上升且反函数在且反函数在，则必存在反函数，则必存在反函数或下降或下降严格单调上升严格单调上升内内，若该函数在，若该函数在定理：设有函数定理：设有函数)()(),(),()()(1xfxfyyfxxxxxfy 单调函数必存在反函数。单调函数必存在反函数。(3)函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数yx)( xf )(xfy ox-x)(xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,dxd , )()(xfxf .)(为为偶偶函函数数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,dxd ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 的的奇奇偶偶性性。：判判断断函函数数