工程图学课件及考试复习指导复习

1、一、函数的极限与连续一、函数的极限与连续复习复习二、可导、可微及导数的应用二、可导、可微及导数的应用三、不定积分与定积分三、不定积分与定积分. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设1、四、四 则则 运运 算算 法法 则则法则法则(1)(2)只适用于有限个函数只适用于有限个函数; 在同一变化过程中，极限在同一变化过程中，极限lim f(x)、limg(x ) 必须必须存在，否则不能用上述法则存在，否则不能用上述法则.注注注注 2法则法则(3)中中lim g(x)不为不为0.

2、定理定理一、函数的极限与连续一、函数的极限与连续（一）、函数极限的求法（一）、函数极限的求法求下列函数的极限求下列函数的极限（1）)53(lim22xxx（2）.531lim232xxxx.321lim221xxxx（3）解解)53(lim22xxx（1）5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 3（2）)53(lim22 xxx, 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx3123 .37 （3 3）.321lim221xxxx.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x321lim

3、221xxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消零因子法消零因子法)由于由于0)32(lim21xxx，所以不能直接用商的极限运，所以不能直接用商的极限运算法则，但算法则，但这时时，且, 11xx)1)(3()1)(1(32122xxxxxxx31xx或由洛必达法则或由洛必达法则2142222lim1 xxx原式(1)1sinlim0 xxx2、两个重要极限、两个重要极限)()(sinlim0)(xxx )(limxf某某过过程程; 1 xxx3tanlim10、xxx5sin2sinlim20、xxxcotlim30、xxxxsin2cos1lim40 、)(2sin2lim5为为

4、不不等等于于零零的的常常数数、xxnnn 求下列极限求下列极限3 52 1 2 x xxxnnn 22sinlimxxxxxxxxcos/sin1limcossinlim00 (2)exxx )11(limexxx 10)1(limexxx )()()(11 lim exxx )(10)(1lim （ 求下列极限求下列极限xxxax)(lim3 、xxx21lim40 、aaxxxa )1(limae xxx10)21(lim 2 exxxtan2)tan511(lim5 、51tan52)tan511(lim xxx 51 e2210)21(lim xxxxxx10)1(lim1 、xxx2

5、0)31(lim2 、1 e66310)31(limexxx 为非负整数时有为非负整数时有和和且且当当nmbax, 0, 0,00 mmmnnnxxbxbxbaxaxaxqxp110110limlim ,0,00nmnmmnba当当当当当当比如比如：)6()23)52(502030(lim xxxx1322030 结论结论157243lim2323 xxxxx（2）157243lim3423 xxxxx（3）157243lim324 xxxxx求极限求极限（1）73 0 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例例xxx1arctanlim0 xxx1coslim0 xx

6、xsinlim xxxsin1lim 0 0 0 2arctan2 x1cos1 x);(, 0lim)1( o记作高阶的无穷小是比就说如果定义定义: :. 0)(,)(),( xxx 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果 cc;, 1lim 记作是等价的无穷小与则称如果特殊地221cos1,tan,sinxxxxxx 时，当0 x0)(0 xxxx 时，时，或或若当若当推广推广.)(21)(cos1),()(tan),()(sin2xxxxxx 则则xx arcsinxx arctan，；)()(arcsinxx )()(ar

7、ctanxx xx )1ln( ，xex1 3 3、等价无穷小替换定理、等价无穷小替换定理.limlim,(lim,111111 则）或且设a证证 lim)lim(1111 1111limlimlim.lim11 .替替可可以以用用等等价价无无穷穷小小来来代代限限时时，分分子子及及分分母母都都求求两两个个无无穷穷小小之之比比的的极极总结：总结：.5sin2tanlim0 xxx求求解解xxx52lim0 原式原式.52 ,0时时当当 x,22tanxx,55sinxx.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx

8、原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 xxx3tanlim10、xxx5sin2sinlim20、xxxcotlim30、xxxxsin2cos1lim40 、)(2sin2lim5为为不不等等于于零零的的常常数数、xxn

9、nn 求下列极限求下列极限3 52 1 2 xxnnn 22limxxxxxxcoslimcossinlim00 例例. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx初等函数初等函数定义区间）定义区间）（ 1定义区间）定义区间）（ 04、初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法.定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .5

10、、极限存在的充要条件、极限存在的充要条件axfxfaxfxx )()()(lim000定理定理 注注 求分段函数在分段点处的极限一定要用求分段函数在分段点处的极限一定要用左右极限。左右极限。)1(lim0 xx 1 )1(lim20 xx 1)(lim0 xfx )0(f)0( f)(lim0 xfx求求 0, 10,1)(2xxxxxf设设例例解解.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x)()(lim)()(

11、limxfxfxfxfaxax 定理定理1型洛必达法则）型洛必达法则）（00满满足足和和若若函函数数)()(xfxf;0)(lim, 0)(lim)1( xfxfaxax,)()(,)2( 都都及及点点的的去去心心邻邻域域内内在在xfxfa;0)( xf且且);()()(lim)3(或或为为无无穷穷大大存存在在xfxfax 则则.,该该法法则则仍仍然然成成立立自自变变量量变变化化趋趋势势不不同同时时注：注：6、洛必达法则、洛必达法则)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax 定理定理2型型洛洛必必达达法法则则）（ 满满足足和和若若函函数数)()(xfxf;)(lim,)(lim)1(

12、 xfxfaxax,)()(,)2( 都都及及点点的的去去心心邻邻域域内内在在xfxfa;0)( xf且且);()()(lim)3(或或为为无无穷穷大大存存在在xfxfax 则则.,该该法法则则仍仍然然成成立立自自变变量量变变化化趋趋势势不不同同时时注：注：练习练习1：xxx)1ln(lim0 xeexxxsinlim0 axaxax sinsinlim1 2 acos 22)2(sinlnlimxxx 81 练习练习2：21ln2limxxx )0(lim 为正整数，为正整数，nexxnx0 0 0 0!lim)1(limlim221 xnxxnxxnxenexnnenx xxex1lim2

13、 注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式2203tanlimxxx 22031seclimxxx .31 xxxtan0时，时，当当 注意：和、差中不能用等价无穷小代换注意：和、差中不能用等价无穷小代换0lim30 xxxx注意：原式注意：原式例例解解.lnlim0 xxx求)0( xxx1lnlim0原式2011limxxx 0lim0 xx关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可

14、解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0).1(步骤步骤:,10 .0100 或或型未定型解法型未定型解法00,1 ,0 ,0 例例解解).tan11(lim0 xxx求)( 0101 0000 xxxxxtantanlim0原式02tanlim2tanlim21seclim02020 xxxxxxxx型型）（ .2步骤步骤:20tanlimxxxx00)00(步骤步骤:型型）（00,1 ,0.3 ln01ln0ln01000或化为指数函数或化为指数函数取对数取对数.0 例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxeln

15、lim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 ,0 xxx ),()(0 xfxfy 0 x0 y定义定义1 设函数设函数 在在 内有定义内有定义,)( xf),(0 xuyx 0lim)()(lim000 xfxxfx 那么就称函数那么就称函数 在点在点 处处连续连续, 称为称为 的的连续点连续点.)(xf0 x0 x)(xf0 ,0 xx).()(0 xfxf有有故故，则，则令令xxx 0（二）、函数的连续性（二）、函数的连续性函函数数连连续续的的条条件件 点点有有定定义义在在、01xxf存存在在、)(limxfxx02二二者者相相等等。、3)()(lim00 x

16、fxfxx )(xf0 x那么就称函数那么就称函数在点在点 连续连续.定义定义1定义定义2 )(0 xf，即，即例例.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续性处连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解 )(lim0 xfx, 0)0( f又又由定义由定义2知：知：.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx xxx1sinlim0,0 （有界函数与无穷小之积仍为无穷小）（有界函数与无穷小之积仍为无穷小）例例 ，当，当设02cos0)1ln()(xxxxxaxfa）内连续，求，在（ 解解），连续；在（）内，在（ 02cos)(0 xxf在分段点故只需考察连续，内，

17、)()1ln()(xfxxaxf 处的连续性。0 xaxaxxxaxffxxx 000lim)1ln(lim)(lim)0(10cos2coslim)(lim)0(00 xxffxx, 1)02cos()0( f而0)(1),0()0()0( xxfafff在时，即当）内连续，处连续，从而在（ 闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数的性质1、最值定理、最值定理定理定理( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .2、介值定理、介值定理例例.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证

18、明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx例例.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则则baxfaafaf )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即导数

19、的概念,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数 定义定义二、可导、可微及导数的应用二、可导、可微及导数的应用.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即),(0 xf 注意：曲线y=f(x

20、)在点)(0,0yx的切线斜率),(0 xfk切线方程为)(000 xxxfyy例例.0)(处的可导性在讨论连续函数xxxf解解xy xyo,)0()0(xxxfxf xxxfxfxx 00lim)0()0(lim, 1 xxxfxfxx 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy可导与连续的关系由此可得：函数在一点连续不一定在该点可导反之则有以下定理定理 若函数y=f(x)在点0 x可导，则它在点0 x必连续即可 导连 续习题习题3.2 1、（、（2）（2）设）设f(x)在在0 x处可导，则处可导，则)()()(lim000 x

21、xxfxfx解解xxfxxfxxxfxfxx )()(lim)()(lim000000)(0 xf )()(2)(2)(0000 xfdxfcxfbxfa 、d选选习题习题3.2 可导，则极限可导，则极限在在设设、0)()1(2xxf_)()(lim000 xxxfxxfxxxxfxxfx )()(lim000解解xxxfxfxfxxfx )()()()(lim00000 xxfxxfxxfxxfxx )()(lim)()(lim000000)(2)()(000 xfxfxf 与可导性与可导性的连续性的连续性在点在点、讨论函数、讨论函数00, 00,1sin3 xxxxxy)0(01sinli

22、mlim00fxxyxx 解解连续连续在点在点0 xyxxxxfxfxx 1sinlim)0()0(lim00又又不存在不存在xx 1sinlim0处不可导处不可导在点在点0 xyxxxxxxxtansec)(secsec)(tancos)(sin2 xxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos2 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxarcxx 基本导数公式基本导数公式0)( c1)( xxaaaxxln)( xxee )(axxaln1)(log xx1)(ln 复合函数的导数复合函数的导数其导数为且可导在点

23、则复合函数可导，在点而可导在点如果函数,)()()(,)(xxfyxuufyxxu定理定理 dxdydudydxdu 或或)()(xufdxdy即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1(1029 xudxdududydxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例.

24、sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 1,210 xuuy例例.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(cos)1()(sin)(2xvexveyuu )1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx xvvueyu1,sin, )1(sin1sin xeyx.1cos11sin2xexx 注意注意 对复合函数的分解比较熟练后，可以不必再对复合函数的分解比较熟练后，可以不必再 写出中间变量写出中间变量如如练练 习习 题题练习题答案练习题答案3、解、解)(11 )arctan

25、(2222 xxxy）（412xx 5、解、解)2tan(10ln10)10(2tan2tan xxyxxxx)22sec2(tan10ln1022tan xxxxx6、解、解2),(xuufy )(22)()(22xfxxxfuufy 隐函数和由参数方程所确定的函数隐函数和由参数方程所确定的函数的导数的导数定义定义: :.)(0),(称称为为隐隐函函数数所所确确定定的的函函数数由由xyyyxf .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxf)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:

26、 :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.1、隐函数的导数例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对xxe 解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyey dxdyxy 0 将y看作x的函数，得例例的切线方程点上求过的方程为设曲线)23,23(,333cxyyxc 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切

27、线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即处的切线方程在点由曲线),()(00yxxyy 得),)(000 xxxyyy对数求导法对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形函数函数多个函数相乘除和幂指多个函数相乘除和幂指xvxu例例解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31

28、)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22

29、)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?tdxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy ,则有则有即即假设函数假设函数)(tx 具有单调连续反函数，具有单调连续反函数， 若其反函数若其反函数能与函数能与函数)(ty 构成复合函数构成复合函数 )(1xy ，)(),(tytx 都可导，且都可导，且0)( t 而而例例解解.sincos33dxdytaytax表示的函数的导数求由方程dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan 高阶导数定义

30、对于一个在区间（a,b）内可导的函数y=f(x),)(xf 如果导函数在（a,b）内仍然可导，则称)(xf 的导函数为f(x)的二阶导数，记为 dxdydxddxydyxf22)(或或类似地，可以定义三阶导数（记作)(xfy 或 等）及更高阶的导数例 求以下函数的二阶导数xytan1 ）（)0()ln(2 xxy）（123 xey）（解xxxxxyxytansec2tansecsec2,sec)1(22 21,11)2(xyxxy 12124,2)3( xxeyey定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xadyxdfdyxxxfyxaxxfyxaxoxaxfx

31、xfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )微分的定义).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理.i)(i)(上上的的可可微微函函数数为为上上每每一一点点都都可可微微，则则称称在在区区间间

32、如如果果函函数数xfxfdxxfdyxx)(00 处处的的微微分分，记记作作上上任任意意一一点点函函数数在在xi,)(dxxfdy可微的条件dxxfxdf)()(00或ixdxxfxdf，或)()(即微分的计算dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxx

33、ddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则0)()()()(2vvudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud，arc3、微分形式的不变性、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(d

34、xdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例3 3 求以下函数的微分求以下函数的微分dyxxycos)1(xxyarcsin)2()1ln()3(2xy解dxxdxxxdy)sin1()cos()1(dxxxxdxxxdy)1(arcsin)arcsin()2(2dxxxxdxdy22212)1(11)3(例例6dyxyyexyyx求求确定了确定了方程方程),( 解解微分形式不变性得微分形式不变性得两边取微分，利用两边取微分，利用对方程对方程yx

35、exy )(yxdexdyydxyx )(dydxexdyydxyx 即即dxexyedydyyxyx :得得解出解出定理定理1 1( (费马定理费马定理) )定义定义2.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.在区

36、间端点的函数值相等，即在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf )1()2()3(如果函数如果函数 满足满足)(xf在闭区间在闭区间 上连续上连续 ， ,ba在开区间在开区间 内可导内可导；),(ba例如例如, ,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf定理定理2 2（罗尔（罗尔rollerolle中值定理）中值定理）那么在那么在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba 使得使得0)( f定理定理3 3（拉格朗日（拉格朗日(lagr

37、ange)(lagrange)中值定理）中值定理）).()(bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成如果函数如果函数 满足满足)(xf)1()2(在闭区间在闭区间 上连续上连续 ， ,ba在开区间在开区间 内可导内可导；),(ba那么在那么在 内至少有一点内至少有一点 ，使等式，使等式),(ba)(ba )()()(abfafbf 成立成立. .注意：注意：拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那么那么上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf推论推论

38、1推论推论2如果函数f(x),g(x)在(a,b)上的导数处处相等，即)()(xgxf)()()(为常数则ccxgxf例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx例3 证明不等式babasinsin证 取 f(x)=sinx,显然f(x)在闭区间a,b(或b,a)上连续，在开区间(a,b)内(或(b,a)可导，所以由拉格朗日中值定理，存在),()(,(ab

39、ba或)()()(abfafbf使得从而即),(cossinsinabababababab cos)(cossinsin定义定义1:1:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.步骤步骤: :不不存存在在的的点点；的的根根及及）求求方方程程（)(0)(1xfxf 的的定定义义区区间间；）中中求求出出的的点点划划分分函函数数）用用（)(12xf.,3并并说说明明单单调调性性符符号号）判判断断各各区区间间内内导导数数的的（例例5 5证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf

40、设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即0)0()( fxf5 5、函数极值的求法、函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数

41、的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;)(0)()2(不存在的点不存在的点和和的根）的根）求驻点（即方程求驻点（即方程xfxf ;,)()()3(判断极值点判断极值点左右的正负号左右的正负号不存在的点不存在的点在驻点和在驻点和检查检查xfxf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值

42、点情形)例例6 6解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大极大值值极小极小值值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有

43、有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值例例7 7解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下例例8 8解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.m定义定义2 2 称曲线弧称曲线弧abab是是( (向上向上) )凹凹( (或或( (向上向上) )凸凸) )的，若其的，若其上