第一节导数概念77491

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数概念导数概念微积分的发展大致经历了微积分的发展大致经历了4 4个阶段：个阶段：（1 1）铺垫：）铺垫：十七世纪，有十七世纪，有4 4种类型的问题亟待解决种类型的问题亟待解决: :微积分是微分学和积分学的总称。微积分是微分学和积分学的总称。 它是一种数学它是一种数学思想，思想，无限细分无限细分就是微分，就是微分，无限求和无限求和就就是积分。无限就是极限，是积分。无限就是极限， 微积分产生的背景微积分产生的背景a.a.（物理）求运动的瞬间变化率，如瞬间速度、加速度（物理）求运动的瞬间变化率，如瞬间速度、加速度等；等；b.b.（几何）求曲线的切线（

2、几何）求曲线的切线c.c.（物理）求不规则物体的重心、引力等（物理）求不规则物体的重心、引力等d.d.（几何）求曲线长度、不规则图形的面积、体积等（几何）求曲线长度、不规则图形的面积、体积等他们的最大功绩是把两个貌似毫不他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题个是求积问题( (积分学的中心问题积分学的中心问题) )，找到其本质的联系，即微分与积分找到其本质的联系，即微分与积分是互逆的两种运算。是互逆的两种运算。（2 2）奠基）奠基十七世纪下半叶，英国大科学家十七世纪下半叶，

3、英国大科学家牛顿（牛顿（newtonnewton）和德国数学家）和德国数学家莱布尼茨莱布尼茨(leibniz)(leibniz)分别在自己的分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。的创立工作。（3 3）应用）应用微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 如：万有引力定律，开普勒行星运动三定律等。其如：万有引力定律，开普勒行星运动三定律等。其后，微积分

4、学成了推动近代数学发展强大的引擎，后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有越来越科学各个分支中的发展，并在这些学科中有越来越广泛的应用。广泛的应用。 （4 4）完善）完善牛顿和莱布尼茨在无穷和无穷小量这个问题上，牛顿和莱布尼茨在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊，工作很不完善。其说不一，十分含糊，工作很不完善。直到直到1919世纪初，法国科学学院的科学家以柯西世纪初，法

5、国科学学院的科学家以柯西(caucky)(caucky)为首，对微积分的理论进行了认真研为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯尔斯特拉斯(weierstrass)(weierstrass)进一步的严格化，使进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。微积分理论极限理论成为了微积分的坚定基础。微积分理论基础的严密化，使得微积分跃进和扩展成为现代基础的严密化，使得微积分跃进和扩展成为现代数学的重要领域。数学的重要领域。 导数的来源导数的来源1.1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt

6、t2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切

7、线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 t0 xxoxy)(xfy cnm如图如图,直线直线mt就称为曲线就称为曲线c在在点点m处的处的切线切线.导数的定义导数的定义定义定义设函数设函数 在点在点 的某个领域内有定的某个领域内有定)(xfy 0 x义义, 当自变量当自变量 在在 处取得增量处取得增量 (点点 仍在仍在0 xxx 0 x x该领域内该领域内)时时, 相应地函数相应地函数 取得增量取得增量y);()(00 xfxxfy 若若 与与 之比当之比当x y 0 x时的极限存在时的极限存在,处可导处可导, 并称这个

8、极限为函数并称这个极限为函数 在点在点 处处)(xfy 0 x的导数的导数, 记为记为则称函数则称函数 在点在点)(xfy 0 x00),(,0 xxxxdxdyxfy 或或,)(0 xxdxxdf 导数的定义导数的定义的导数的导数, 记为记为00),(,0 xxxxdxdyxfy 或或,)(0 xxdxxdf 即即.)()(limlim)(000000 xxfxxfxyxfyxxxx 导数定义的其它形式导数定义的其它形式:令令,xh .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 令令,0 xxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导

9、数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 0.x点点导导数数是是因因变变量量在在点点处处随随自自变变量量的的变变化化而而变变化化的的瞬瞬间间变变化化率率.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数ixfixfy 注意注意: :如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.

10、,( ).xif x 若若对对于于任任一一都都对对应应着着的的一一个个确确定定的的导导数数值值xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或( ). ( ),( ),.f xdydf xyfxdxdx构构成成的的新新函函数数叫叫做做原原来来函函数数的的导导函函数数记记作作或或利用定义求导数与求极限利用定义求导数与求极限1. (1);()(xfxxfy (2);)()(xxfxxfxy (3).lim0 xyyx 例例 1求函数求函数 在在 处的导数处的导数3xy 1 x).1(f 按定义求导的基本步骤按定义求导的基本步骤:求函数的增量求函数的增量求两增量的

11、比值求两增量的比值求极限求极限2. )()()(lim0000 xfxxfxxfx (a)利用导数定义求极限利用导数定义求极限:或或)()()(lim0000 xfxxxfxfxx (b)利用定义求导数与求极限利用定义求导数与求极限例例 2 试按导数定义求下列各极限试按导数定义求下列各极限(假设各极限均假设各极限均存在存在):;)2()2(lim)1(axafxfax ,)(lim)2(0 xxfx其中其中. 0)0( f例例3 求函数求函数)()(为常数为常数ccxf 的的导数导数. .例例4 设函数设函数, ,xxfsin)( 求求)(sin x及及. .4)(sin xx例例5求函数求函

12、数)( 为正整数为正整数nxyn 的的导数导数. .例例6求函数求函数)10()( aaaxfx, ,的的导数导数. .例例7求函数求函数)10(log aaxya, ,的的导数导数. .分段函数的导数分段函数的导数设函数设函数,),(),()(00 xxxvxxxuxf其中其中)(),(xvxu为可导函数为可导函数. 试求试求 的导函数的导函数.)(xf(1);()(xuxf );()(xvxf (2)(3)0 xx 当当 时时,0 xx 当当 时时,0 x最后讨论函数在点最后讨论函数在点 的可导性的可导性.若若 和和 存在存在)(0 xf )(0 xf ,)()(00axfxf 则则 在点

13、在点 可导可导(否则不可导否则不可导), )(xf0 x.)(0axf 且且且且例例8 求函数求函数 , , , ,00sin)(xxxxxf处的处的导数导数.在在0 x例例9 设设)(xf为为偶函数偶函数, , 且且)0(f 存在存在. .证明证明. .0)0( f导数的几何意义导数的几何意义oxy)(xfy t0 xm)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxmxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例10求双曲线求双曲线xy1 在点在

14、点 221, ,处的切线的处的切线的斜率斜率, , 并写出在该点处的并写出在该点处的切线方程和切线方程和法线方程法线方程. .例例11 求曲线求曲线xy 在点在点)24( , ,处的切线处的切线方程方程. .导数的物理意义导数的物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率变速直线运动变速直线运动:路程路程 对时间对时间 的导数为的导数为st的瞬时速度的瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: 电量电量 对时间对时间 的导数为的导数为qt.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为的导数为体的线体的

15、线(面面,体体)密度密度.物体运动物体运动电流强度电流强度.物物可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理如果函数如果函数 在点在点 可导可导,)(xf0 x则它在点则它在点 处处0 x连续连续.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf0.x 在在不不可可导导注注: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.31yx xy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x0003.(),( )().fxxxf x 若若且且在在点点的的两两个个单单侧侧导导数数符符号号相相反反则则称称点点为为函函数数的的尖尖点点不不可可导导点点xyoxy0 xo04.( )(),.f xx函函数数在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都不不存存在在指指摆摆动动不不定定则则点点不不可可导导,0, 00