ch31导数的概念

1、ch3 导数和微分导数和微分 3.1 3.1 导数的概念导数的概念 3.2 3.2 求导法则求导法则 3.3 3.3 高阶导数高阶导数 3.4 3.4 隐函数的导数隐函数的导数 3.5 3.5 微分微分 3.6 3.6 导数概念在经济学中的应用导数概念在经济学中的应用一、本章重点概念一、本章重点概念1 1、导数、导数反映函数值随自变量变化快慢程度的函数反映函数值随自变量变化快慢程度的函数、微分函数改变量的线性主部、微分函数改变量的线性主部二、微分学的两大创始二、微分学的两大创始人人1 1、newtonnewton运动学运动学 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度、leibniz lei

2、bniz 几何学几何学 平面曲线的切线斜率。平面曲线的切线斜率。3.1 导数的概念导数的概念 引例（问题的提出）引例（问题的提出） 导数的定义导数的定义 导数的几何意义导数的几何意义 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 小结小结.,快慢的程度快慢的程度有时还要研究变量变化有时还要研究变量变化函数关系外函数关系外了要了解变量之间的了要了解变量之间的在解决实际问题时，除在解决实际问题时，除一、导数的定义一、导数的定义def: ，改改变变到到终终值值从从初初始始值值设设自自变变量量10 xxx回顾：变量的改变量回顾：变量的改变量( (增量增量) )则函数增量则函数增量时时，当当函函

3、数数10:)(xxxxfy 01xxx 自变量增量自变量增量).()()()(0001xfxxfxfxfy 注函数的增量可以为正的、负的，也可是零。函数的增量可以为正的、负的，也可是零。t 0tt例例1.1.变速变速直线运动直线运动( (自由落体运动自由落体运动) )的瞬时速度问题的瞬时速度问题)(tss 设设落落体体运运动动的的位位移移函函数数。时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度求求0t时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度。就就刻刻划划了了时时当当00vlim,0ttttt故瞬时速度故瞬时速度tst00lim)v(tv平均速度平均速度0000( )( )()( )sts ts ts tts tttt 00

4、0()( )limts tts tt )(tss ，运运动动时时间间运运动动到到时时刻刻物物体体从从时时刻刻ttt 0位移变量相对于时间位移变量相对于时间变量的平均变化率变量的平均变化率 t0 xxoxy)(xfy cn如图如图, 如果割线如果割线mn绕点绕点m旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置mt,直线直线mt就称为曲线就称为曲线c在点在点m处的切线处的切线.).,(),(00yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线割线mn0000=( )()()()tanf xf xf xxf xyxxxx 0,0cnm xxx 沿沿曲曲的斜率为的斜率为切线切线mt0000()()= liylimm.xxx

5、kf xxf xx 例例2. 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题共性共性: 为在一点为在一点函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 .m1.定义定义3.1：点导数的定义点导数的定义, )()()(,)(00000 xfxxfyxfxxxxfy 的的一一个个改改变变量量得得到到函函数数值值一一个个改改变变量量该该邻邻域域中中任任意意给给定定在在的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义在在设设,)()(limlim0000存在存在如果极限如果极限xxfxxfxyxx ,)(,)(00点点的的导导数数在在此此极极限限为为点点可可导导在在则则称称xxfxxfy .)d)(d,dd,

6、()(0000表表示示或或或或或或用用xxxxxxxxfxyyxf .)(0处处不不可可导导在在点点，则则称称若若极极限限不不存存在在或或无无穷穷大大xxf)()()(lim)(0000对对称称式式xxxfxfxfxx 另另一一等等价价定定义义式式oxy)(xfy t0 xm)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxmxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 2.导数的几何意义：导数的几何意义：说明0,.x1.1.点点导导数数的的本本质质是是极

7、极限限值值，反反映映函函数数在在的的变变化化率率 它它反反映映了了函函数数随随自自变变量量的的变变化化而而变变化化处处的的快快慢慢程程度度点点2注意变量符号选择的不同注意变量符号选择的不同,有有 导数的等价定义：导数的等价定义：xxfxxfxfx )()(lim)(0000 hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 步骤步骤00(1)()();yf xxf x 求求增增量量00()()(2);f xxf xyxx 算算比比值值00(3)()lim.xyfxx 求求极极限限例例12( )(2).f xxf 1 1 ) ) 求求函函数数的的解解

8、: :00(2)(2)(2)limlimxxyfxffxx 220(2)2limxxx 0 x2004()limlim(4)4xxxxxx 2( )ln(3).f xxf ) ) 求求函函数数的的解解: :00(3)(3)(3)limlimxxyfxffxx 0ln(3)ln3limxxx 0ln(1)3limxxx 03limxxx 13 ln(1) (0)xx x例例2:求下列极限求下列极限0( )()1)( )limxf af axf ax 已已知知存存在在，求求0000()()()limxf xxf xfxx 解：原式解：原式( )fa 0()( )limxf axf ax 0000(

9、2)()2,()33limxf xxf xfxx 2 2 ) ) 已已知知则则：000(2)()2()32limxf xxf xx 解解：原原式式02()3fx 23 0()1fx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx (2 )(2 )3)(2 )limxafxfafaxa 已已知知存存在在，求求(2 )(2 )=2=22limxafxfaxa 解解：原原式式2(2 )fa0( )4)(0)0,(0)limxf xffx 已已知知存存在在，求求 解解：原原式式0( )(0)0limxf xfx (0)f 切切线线方方程程：法法线线方方程程：(1)kf 111lim1xxx 1

10、 (1)1kf 1(1)20yxxy 11yxyx11limxx 解解1( )(1)lim1xf xfx 例例3 3： 求曲线求曲线 在在(1,1)(1,1)点处的切线方程和法线方程。点处的切线方程和法线方程。1yx 右导数右导数 左导数左导数0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx +0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx 000()()();fxafxfxa分分段段函函数数在在分分界界点点的的导导数数要要求求左左右右导导数数。000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfx

11、xfxxfxfxxx 分段点处可导分段点处可导性讨论性讨论21sin,0(0)00,0 xxyyxxx 例例：若若求求，判判断断时时是是否否连连续续。01limsin0 xxx2001sin0( )(0)(0)limlimxxxf xfxyxx 解解：(0)0f 2001lim( )limsin0 xxf xxx0lim( )(0)xf xff(x) 在在 x=0 连续连续011/1/xy.0处不可导处不可导在在 x不存在，不存在，0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxxxx1sinlim1sinlim00 1sin,0(0)0 ,0 xxyyxx 练练：若若求求解解),0()0( f

12、fxxxxfxx 00lim00lim)0(例例. . xxxxfxx 00lim00lim)0(, 1 , 1 .0)(点不可导点不可导在在因此因此 xxxfxyoxy 可导直观的几何意义：光滑可导直观的几何意义：光滑0( )f xxx在在未必可导。未必可导。函数在一点连续函数在一点连续,判断判断f(x)=|x|在在x=0处的可导性和连续性。处的可导性和连续性。00( ),f 000lim( )lim|,xxf xx00( )lim( ),xff x连续。连续。.)(,)()(,)(0000点未必可导点未必可导在在点连续点连续在在但但点必连续；点必连续；在在则则点可导点可导在在xxfxxfx

13、xfxxf不连续必定不可导！不连续必定不可导！xy2xy 0 xy 处不可导处不可导在在0 x补充：连续函数不可导例子：补充：连续函数不可导例子：000lim)0(220 xxfx。处的可导性处的可导性在在例：例： 00,0,)(2xxxxxxf00(0)lim10 xxfx 连续不可导的各种图示连续不可导的各种图示011/1/xyxyoxy0 xoxy2xy 0 xy 某点的导数某点的导数 定义定义 几何意义几何意义 分段函数分段点按照定义进行可导性的分段函数分段点按照定义进行可导性的讨论讨论( ),( ).yf xif xi 如如果果函函数数在在开开区区间间内内的的每每点点处处都都可可导导

14、 就就称称函函数数在在开开区区间间内内可可导导.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfix或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 0()( )( )limxf xxf xfxx 即即注意注意001()( ).xxfxfx 2 导函数导函数( (瞬时变化率瞬时变化率) )是函数平均变化率的逼近函数是函数平均变化率的逼近函数. .四、导函数定义四、导函数定义11(log1.( )02.().()3.()ln .().14.(ln ).5.(sin )cos .(co).ls )ns

15、inaxxxxcxxraaaeexxxxxxxxa 基本初等函数的导函数：基本初等函数的导函数：例:( )()( ).f xc cfx 1 ) 求1 ) 求函函数数为为常常数数 的的导导数数解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxccx 0.( )0.c 0()( )( )limxf xxf xfxx 即即22( )( ).f xxfx ) ) 求求函函数数的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 200222()limlim()xxx xxxxxx 22()xx 1(.)nnxnx ()x 12()x 121122xx 1( )x 1()x

16、221xx 220()limxxxxx 10()x 910 x1()x 011x 3( )( ).(0,1 )xxf xefxxex ) ) 求求函函数数的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 001limlimxxxxxxxeeeexx 0limxxxxeex ()lnxxaaa(3 )x ()xxee 3 ln3x4( )ln( ).f xxfx ) ) 求求函函数数的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 0ln()lnlimxxxxx 01ln()limxxxx 0limxxxx 1x 1(ln)xx 1(log)lnaxxa ln(1) (0)xx x222( )sin( ).(sinsincossin)f xxfxababab 5 5 ) ) 求求函函数数的的解:00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 0sin()sinlimxxxxx 0222sinlim cos()cosxxxxxx (sin )cosxx (cos )sinxx 02cos()sin22lim 2xxxxx 0( ).c 1(.)nnxnx ()lnxxaaa ()xxee 1(ln )xx (sin )cosxx (cos )