33泰勒公式00503

1、返回第三节第三节泰勒公式泰勒公式）中值定理）中值定理泰勒（泰勒（一一taylor.泰勒公式泰勒公式二二.简单应用简单应用三三.问题：计算机或计算器是如何计算问题：计算机或计算器是如何计算y=lnx, y=ex, y=sinx, y=arcsinx的值的？的值的？泰勒公式是用多项式逼近一般函数的方泰勒公式是用多项式逼近一般函数的方法之一，对数表、三角函数表都是利用法之一，对数表、三角函数表都是利用这个方法算出来的。这个方法算出来的。 )(xf 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfnnxxnxf)(!)(00)( 阶导数阶导数有有)1( )( nxf)()(0nnxxoxr 误差

2、误差返回第三节第三节 泰勒公式泰勒公式1. 若若f (x)在在x0可微可微,则在则在x0附近附近.)()()()(1000 xpxxxfxfxf (1)且且 (1)()(001xfxp )()()2(001xfxp )(o )()(011xxxpxfr 误误差差0 xy y=f (x)y=p1(x)x0m问题问题:误误差差 )()()(xpxfxr 可可估估计计返回-4-3-2-101234-100102030405060 xey xy 1返回第三节第三节 泰勒公式泰勒公式1. 若若f (x)在在x0可微可微,则在则在x0附近附近.)()()()(1000 xpxxxfxfxf (1)且且 (

3、1)()(001xfxp )()()2(001xfxp )(o )()(011xxxpxfr 误误差差0 xyy=p2(x) y=f (x)y=p1(x)x0m问题问题:误误差差 )()()(xpxfxr 可可估估计计返回2. 考虑考虑2020102)()()()(xxaxxaaxpxf ).()()2(002xfxp ).()()3(002xfxp 220212!2)(),(2)(axpxxaaxp 而而!2)(),(),(020100 xfaxfaxfa 即即2000002)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxp 故：故：(2)(o)()()(2022xxxpxfxr 误差误差)

4、.()()1(002xfxp 且且y=p2(x)0 xy y=f (x)x0m!2)(),(),(022021020 xpaxpaxpa 得得返回-4-3-2-101234-100102030405060 xey xy 12211xxy 返回-6-4-20246-50050100150200250300350400450 xey xy 12211xxy 3261211xxxy 43224161211xxxxy 返回-4-3-2-1012340102030405060 xey 10 n返回nnnxxaxxaxxaaxpxf)(.)()()()(0202010 且：且：)()(00 xfxpn .

5、)()(0)(0)(xfxpnnn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn .!)(,.,!2)( ),( ),( 0)(020100nxfaxfaxfaxfann 解解得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)(. )(!2)()()()(00)(200000 (3)(o)( 0nnxxxr 误误差差 )()(xpnnnan!)(0)(nxpann !)(0)(nxfn nnnanxp!)(0)( 即即返回一、泰勒一、泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理中值定理中值定理泰勒泰勒)(taylor),( 0bax 设设阶导数，阶导数，内具有内具有在在)1(

6、),( )( nbaxf有有则对则对),( bax )(xf 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(xrn 其中其中 )(xrn10)1()()!1()( nnxxnf ) (0之间之间、在在xx 返回证证)(xf 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(xrn )(xrn10)1()()!1()( nnxxnf 欲证欲证即即 10)()(nnxxxr)!1()()1( nfn )(xrn)(xf200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)( ,

7、, )( 00上上或或在在则则xxxxxrn阶导数阶导数具有具有1 n返回 )(xrn200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)( , , )()()( 0010上上或或在在、故故xxxxxxxfxrnn ,1 阶导数阶导数具有具有 n内，内，或或且在且在),( ),( 00 xxxx0)()( xfk两函数两函数)(xrn及及10)( nxx在以在以0 x及及x为端为端点的区间上满足柯西中值定理的条件点的区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得 )(xrn)(xf)(xf )(0 xf )(00 xxxf )(xrn)(xf )(0 xf )(0 x

8、rn0 )(0 xrn 0 )(0 xrn 0 0)(0)( xrnn返回 10)()(nnxxxr100100)()()()( nnnnxxxxxrxr 10)()(nnxxxr)!1()()1( nfn )(1 nr nxxn)(1(0 返回 10)()(nnxxxr100100)()()()( nnnnxxxxxrxr 10)()(nnxxxr)!1()()1( nfn )(1 nr nxn)(1(01 ) (01之间之间、在在xx nnnnxxnxnxrr)(1()(1()()(000101 1022)()1()( nnxnnr xnnnxr)!1()()1() (012之间之间、在在

9、x 返回 xnnnxr)!1()()1( )(xrn200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xf)()()1()1(xfxrnnn .)!1()()1( nfn 返回 10)()(nnxxxr100100)()()()( nnnnxxxxxrxr 10)()(nnxxxr)!1()()1( nfn )(1 nr nxn)(1(01 ) (01之间之间、在在xx nnnnxxnxnxrr)(1()(1()()(000101 nnxnnr)()1()(022 xnnnxr)!1()()1() (012之间之间、在在x .)!1()()1( nf

10、n 1 x0 x 2 0 x 0 x 返回 10)()(nnxxxr100100)()()()( nnnnxxxxxrxr 10)()(nnxxxr)!1()()1( nfn )(1 nr nxn)(1(01 ) (01之间之间、在在xx nnnnxxnxnxrr)(1()(1()()(000101 nnxnnr)()1()(022 xnnnxr)!1()()1() (012之间之间、在在x .)!1()()1( nfn 1 x2 0 x ) (0之间之间、在在xx 返回 nkkknxxkxfxp000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似

11、似多多项项式式 )(xrn10)1()()!1()( nnxxnf ) (0之间之间、在在xx nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)(. )(!2)()()()(00)(200000 二、泰勒二、泰勒(taylor)公式公式返回拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()()!1()()(010)1(之之间间与与在在xxxxnfxrnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxr又又.)()(0nnxxoxr 即即返回注意注意: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉

12、氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf )()()!1()()(010)1(之之间间与与在在其其中中xxxxnfxrnnn 返回)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(maclaurin(maclaurin) )公式公式返回)(xf 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfnnxxnxf)(!)(00)( 10)1()()!1()( nnxxnf 泰勒泰勒(taylor)公式公式

13、) (0之间之间、在在xx )(xf 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(0nxxo 返回三、简单的应用三、简单的应用解解, 1)1(,1)(1 fxxxf1)1() 1()!1()()( nnnxnfxr 1)2(12)1()1()1()1()1(1 1 nnnnxxxxx )(xf 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxfnnxxnxf)(!)(00)( 10)1()()!1()( nnxxnf ) (0之间之间、在在xx .11)(阶阶泰泰勒勒公公式式处处的的在在求求nxxxf 例例1, 1)1(,)(2 fxxf,

14、2)1(,)2)(1()(3 fxxf)1()1()(!)1( )()2)(1()( nnnnxnxnxf!)1( !)1()1( )1()(nnfnnn 1)2(1)1()!1()!1()1( nnnxnn 1)2(1)1()1( nnnx ) 1(之之间间和和在在x 返回三、简单的应用三、简单的应用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式, ,得得?! 212 nxxxenx).10()!1(1 nxxne返回由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估计误差)0( x设设!1! 21

15、11, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( nern1)!1()( nxnxnexr 1)!1( nxxne).10( .10718282. 2106 ，其其误误差差不不超超过过时时，可可算算出出当当en返回) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式的的求求例例nxxf sin)( 3 解解)()(xfn)2sin( nx , 0)0( f, 1)0( f, 0)0( f, 1)0( f xsinx3! 31x 5! 51x )!12() 1(12 mxmm)(12 mxom=0,1

16、,2, 0)0()2( mf,)1()0()12(mmf 2sin)0()( nfn 即即返回xysin xy 返回xy xysin ! 33xxy o返回xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 返回xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o返回xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回 )!12()1(! 5! 3sin1253nxxxxxnn返回 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式返回解解)(! 2114422xoxxex )(! 4!