第2讲数量积与向量积

1、第二节第二节 两向量的数量积与向量积两向量的数量积与向量积 一一物物体体在在常常力力f作作用用下下沿沿直直线线从从点点1m移移动动到到点点2m，以以s表表示示位位移移，则则力力f所所作作的的功功为为 cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.1、定义、定义一、两向量的数量积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;a

2、bba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa , 0 .|cos|2aaaaa 证证10i ij jk ki jj kk i (3),cos|)4(baba,|cosbaba,321kajaiaakbjbibb321设设 ba)(321kajaia)(321kbjbib,kji , 0 ikkjji, 1| kji332211babababa2、数量积的坐标表示、数量积的坐标表示. 1 kkjjii数量积

3、的坐标表达式数量积的坐标表达式232221232221332211cosbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为0332211bababa解解ba )1(2)4()2(111 . 9 232221232221332211cos)2(bbbaaabababa,21 .43 322aijk493bijk例例2 证明向量和向量互相垂直。) 1, 1 , 1 (cbcab 与例例3 已知三点a（2,1，2），b（1，2，2）,求向量的数量积。向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac

4、 (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.二、两向量的向量积二、两向量的向量积1、向量积的概念、向量积的概念关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa 0,i ijjkkijkjki kij 对于基本单位向量，有kbjbibbkajaiaa321321,设设 ba)(321kajaia)(321kbjbibk

5、babajbabaibaba)()()(122131132332向量积的坐标表达向量积的坐标表达式式2、向量积的坐标表示、向量积的坐标表示向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示321321bbbaaakjibaba/332211bababa规定分母为零时，分子也为零。规定分母为零时，分子也为零。 例例3 设， ,求。1, 2,0a 2,1, 3b ab) 1, 3 , 2(),1 , 4 , 0(),3 , 2, 1 (cba例例4 已知三角形的顶点求三角形的面积。解解321321bbbaaakjibac211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjabc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd向量的