第一讲函数极限连续

1、温州大学城市学院温州大学城市学院 n试试 卷卷 结结 构构 试卷总分：150分 考试时间：150分钟n试试 卷卷 内内 容容 比比 例例 1. 函数、极限和连续 约20% 2. 一元函数微分学 约35% 3. 一元函数积分学 约30% 4. 无穷级数、常微分方程 约15%高等数学（二）专升本考试高等数学（二）专升本考试 温州大学城市学院温州大学城市学院 高等数学高等数学( (二二) )历年比例历年比例一、函数、极限和连续一、函数、极限和连续二、一元函数微分学二、一元函数微分学三、一元函数积分学三、一元函数积分学四、无穷级数四、无穷级数五、常微分方程五、常微分方程20052006200718%1

2、1%21%47%33%32%23%25%15%7%18%19%5%13%14%200824%29%32%7%8%200911%38%37%7%7%温州大学城市学院温州大学城市学院 试卷题型比例试卷题型比例n选择题 约15%n填空题 约25%n计算题 约40%n综合题 约20%试题难易比例试题难易比例n容易题 约40%n中等难度题 约50%n较难题 约10%温州大学城市学院温州大学城市学院 一一、函函数数第第一一部部分分函函数数、极极限限、连连续续1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值及函数值. y = f (x)因变量因变量对应法则对应法

3、则自变量自变量 my yf x ,xa xa 值域值域定义域定义域温州大学城市学院温州大学城市学院 题型一：求定义域题型一：求定义域例例 1 求下列函数的求下列函数的定义域定义域. 2111;2sinln1 ;13arcsin3 ;43arctan;yxyxxxyxyxx 练练: 函数函数 的定义域是的定义域是_. 1lg2yx (2007年高数一年高数一)温州大学城市学院温州大学城市学院 2、会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单、会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。的分段函数图像。 1,12.,1, 12xfxx例例若若确确定定函函数数的的定定义义域域，并并作作出

4、出函函数数图图形形. .3、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。性，会判断所给函数的类别。温州大学城市学院温州大学城市学院 定义定义 函数函数 y=f(x) ，其定义域，其定义域 d关于原点对称关于原点对称.(2) 若若 f (-x)= - -f (x), 则称则称 y=f(x) 为为奇函数奇函数.(1) 若若 f (-x)=f (x), 则称则称 y=f(x) 为为偶函数偶函数;n 函数的函数的奇偶性奇偶性例例 3 判别下列函数的判别下列函数的奇偶性奇偶性. 111 ;2.2xxaayx xxy 偶偶+ +偶偶=

5、 =偶，奇偶，奇+ +奇奇= =奇，奇，偶偶* *偶偶= =偶，奇偶，奇* *奇奇= =偶，偶偶，偶* *奇奇= =奇奇温州大学城市学院温州大学城市学院 nf (x1) f (x2) , 则称则称 y= f (x)在区间在区间 (a, b)内是内是增函数增函数. 若函数若函数 y= f (x), 对于区间对于区间 (a, b) 内的任意内的任意两点两点 x1 f (x2) , 则称则称 y= f (x)在区间在区间(a, b)内是内是减函数减函数.n 函数的函数的单调性单调性温州大学城市学院温州大学城市学院 增函数增函数减函数减函数xyoabxyoabn 函数的函数的单调性单调性 若函数若函数

6、 y=f (x) 在区间在区间 (a, b) 内内增加增加或或减少减少, 则则称此区间为称此区间为 f (x) 的的单调区间单调区间.温州大学城市学院温州大学城市学院 n 函数的函数的周期性周期性定义定义 若对于函数若对于函数 y= f (x), 存在一个常数存在一个常数t , 对于对于x在定义域内的一切值在定义域内的一切值, 都有都有 成成立立, 则称则称 y=f(x) 是是周期函数周期函数, t为函数的为函数的周期周期. 0t f xftx 通常所说的通常所说的周期周期是指是指 t 的最小正值的最小正值.例如例如, 函数函数 y=sin x, y=cos x 的周期是的周期是2 函数函数

7、y=tan x, y=cot x 的周期是的周期是 例例 4 下列各函数中哪些是周期函数下列各函数中哪些是周期函数? 1cos2 ;21cos4 ;3cos .yxyxyxx温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 函数函数 y=sin xn 函数的函数的有界性有界性有界函数有界函数sin1x 温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 函数函数 y=cos xn 函数的函数的有界性有界性有界函数有界函数cos1x 温州大学城市学院温州大学城市学院 定义定义 设函数设函数 y=f (x) 在在 (a, b) 内有定义内有定义, 若存在常若存在常数数m0, 使对于使对于 (a, b) 内的任何内的任何

8、 x , 有有| f (x) | m 成立成立. 则称则称 y=f (x)在在(a, b)内内有界有界. xyo ab mm否则否则, 称称f (x)在在(a, b)内内无界无界.几何意义几何意义:f (x)的图形夹在两平的图形夹在两平行直线行直线 y = m 之间之间.温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 函数函数1yx 15在在 内内无界无界 , 00, 在在 内内无界无界.10,5在在 内内有界有界,1,5 温州大学城市学院温州大学城市学院 例例 5 (2008年高数二年高数二)函数函数 f(x)=x3 sin x 是是 ( )a.偶函数偶函数 b. 奇函数奇函数 c. 周期函数周期函

9、数 d. 有界函数有界函数练练: (2008年高数一年高数一)函数函数 f(x)=(x2+1) cos x 是是 ( )a.奇函数奇函数 b. 偶函数偶函数 c. 有界函数有界函数 d. 周期函数周期函数 题型二：判断函数的性质题型二：判断函数的性质温州大学城市学院温州大学城市学院 11( )( )yf xxfyyfx反反函函数数： 题型三：求反函数题型三：求反函数4. 了解函数了解函数y=（x）与其反函数）与其反函数y=-1（x）之间的）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。函数。 温州大学城市学院温州大学城市学院 ( ),( )

10、, ( )yf u uxyfx复复合合函函数数：则则1155fxfx例例8. 函数函数f(x)的定义域为的定义域为0, 1, 则函数则函数 的定义域是的定义域是_. 题型四：复合函数运算题型四：复合函数运算5. 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。掌握复合函数的复合过程。 (2006年高数一年高数一)温州大学城市学院温州大学城市学院 6. 掌握基本初等函数的简单性质及其图象掌握基本初等函数的简单性质及其图象 函数表达式 反三角函数反三角函数 三角函数三角函数 对数函数对数函数 指数函数指数函数 幂函数幂函数 常数函数常数函数

11、函数名称函数名称 xy ( (为为实实数数) ) xay ( (a0 0, ,a1 1, ,a为为常常数数) ) y= =xalog ( (a0 0, ,a1 1, ,a为为常常数数) ) y=xsin, y=cosx, y=tan x, y=cot x y=secx, y=cscx 温州大学城市学院温州大学城市学院 初初等等函函数数：由由基基本本初初等等函函数数经经过过有有限限次次四四则则运运算算或或复复合合并并能能用用一一个个解解析析式式表表示示的的函函数数. .7. 了解初等函数的概念。了解初等函数的概念。 8. 会建立简单实际问题的函数关系式。会建立简单实际问题的函数关系式。 温州大学

12、城市学院温州大学城市学院 二、极二、极 限限1. 理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （1）. 数列极限的概念数列极限的概念limnnaa nana 或或有有极限极限的的数列数列称为称为收敛数列收敛数列没有没有极限极限的的数列数列称为称为发散数列发散数列温州大学城市学院温州大学城市学院 000( )( )( )xxf xf xxf xx当当时时，函函数数的的极极限限是是否否存存在在与

13、与函函数数在在点点处处是是否否有有定定义义无无关关，极极限限值值也也不不一一定定等等于于在在 处处的的函函数数值值. .2( ).xf xa（ ）函函数数极极限限的的定定义义：当当自自变变量量 按按某某种种规规律律变变化化时时，对对应应的的函函数数值值的的一一种种变变化化趋趋势势, ,无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xaf xf xalim( )lim( )lim( )xxxf xaf xf xa温州大学城市学院温州大学城市学院 由观察得出的常见函数的极限：由观察得出的常见函数的极限：00limxxxx0limxxcc0

14、sinlim0 xx1lim0 xxe0loglim1xax01limxxlimxcc0limxxe0limxxelimxxelim arctan2xxlim arctan2xx温州大学城市学院温州大学城市学院 (1) 单调递增有上界的数列必有单调递增有上界的数列必有极限极限;(2) 单调递减有下界的数列必有单调递减有下界的数列必有极限极限;2、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。1nn 10 xa223a445a112a33412n x0121a141a218a3116a41lim02nn lim11nnn 温州大学城市学院温州大学城市学

15、院 (4) lim( ),lim ( ),1 lim ( )( )lim( )lim ( ).(2)lim ( )( )lim( ) lim ( ).( )lim( )(3)0lim.( )lim ( )f xag xbf xg xf xg xabf xg xf xg xa bf xf xabg xg xb极极限限的的四四则则运运算算法法则则：若若：则则（ ）当当时时，(3) 夹边定理夹边定理: 若若 且且,nnya za,nnnyxz 则则.nxa0( ), ( ),( )( )( ),lim ( )xxf xa g xag xh xf xh xa若若且且则则温州大学城市学院温州大学城市学院

16、 3. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。会运小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。会运用等价无穷小量代换求极限。用等价无穷小量代换求极限。在在某某个个变变化化过过程程中中，以以零零为为极极限限的的变变量量，称称为为此此变变化化过过程程中中的的无无穷穷小小量量. .(1) 定定义义：在在某某个个变变化化过过程程中中，绝绝对对值值无无限限变变大大的的变变量量，称称为为此此变变化化过过程程中中的的无无穷穷大大量量；例例:

17、 在在 时为时为无穷大量无穷大量. 1x0 x x 在在 时为时为无穷小量无穷小量. 1x温州大学城市学院温州大学城市学院 (2)( )1( )( )1( )f xf xf xf x关关系系：在在某某个个变变化化过过程程中中，若若为为无无穷穷大大量量，则则为为此此变变化化过过程程中中的的无无穷穷小小量量；若若为为无无穷穷小小量量，则则为为此此变变化化过过程程中中的的无无穷穷大大量量. .3（ ）无穷小量的性质.00( )( )( )lim( )( )xxabcf xaf xaxx有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界变量的积仍是无穷小量；是时的无穷小量。201sin1limco

18、s, lim,limsinxxxxxxxxx温州大学城市学院温州大学城市学院 ,0lim若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,)(o,lim若若若若, 1lim若若,0lim c,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作4（ ）无无穷穷小小量量的的比比较较：温州大学城市学院温州大学城市学院 (5) 极限极限计算中的计算中的等价无穷小等价无穷小替换替换x 定理定理 设设 时时, 11,.xxxx 11limlimx

19、xxxxx 则则常见的常见的等价无穷小等价无穷小: 当当 时时,0 x sin ,xxtan ,xxarcsin ,xxarctan,xx ln 1,xx 21cos,2xx 1,1 ln,xxexaxa 11,xx 温州大学城市学院温州大学城市学院 4. 掌握两个重要极限掌握两个重要极限0sin lim1xxx (1) 101lim 1lim 1etxxttx (2)0sinlim1 101lim 1lim 1e 温州大学城市学院温州大学城市学院 常常见见的的求求极极限限的的方方法法：lim( ),lim ( ),1 lim ( )( )lim( )lim ( ).(2)lim ( )( )

20、lim( ) lim ( ).( )lim( )(3)0lim.( )lim ( )f xag xbf xg xf xg xabf xg xf xg xa bf xf xabg xg xb一一、极极限限的的四四则则运运算算法法则则：若若：则则（ ）当当时时， 2 limarctan_1xxxx 题型五：极限的计算题型五：极限的计算温州大学城市学院温州大学城市学院 00101110110limnnnmnmmmxamnba xa xaxamnb xb xbxbmn二二、22323.lim_1xxxx22915. lim25xxxxx 23324. lim_2xxxx7. 11258lim.58nn

21、nnnn 求极限求极限6. lim1212xxxxx温州大学城市学院温州大学城市学院 三三、利用等价无穷小替换求极限、利用等价无穷小替换求极限.当当0 x时时sin,tan,arcsin,arctanxxxxxxxx1,ln(1),(1)1,xexxxxx 211 cos,1ln .2xxxaxa 00320032sin1cos8.1 lim.2 lim,sin11sintan3lim4 limcos1111sin1为为正正常常数数nmxxxxxxn mxxxxxxxx 温州大学城市学院温州大学城市学院 四、洛必达法则求极限四、洛必达法则求极限00型型， 型型：30sin9. lim_xxxx

22、201110.lim(cot )_xxxx2 2、再用洛必达法则、再用洛必达法则. .温州大学城市学院温州大学城市学院 0sin1(1)lim1. (2)lim(1).xxxxexx五五、两两个个重重要要极极限限: :2120lim(1 sin )x xxx11. 计算练练: (2006高数一高数一)123lim6xxxx 计算计算六、六、 夹边定理夹边定理 2221111 lim.2nnnnnn 2221112 lim242nnnnn 温州大学城市学院温州大学城市学院 1 (2006高数一高数一)当当x0时时, 与与x不是等价无穷小量的是不是等价无穷小量的是 ( )(a) sinx-x2 (

23、b) x-sin2x (c) tanx-x3 (d) sinx-x 题型六：无穷小量的判定题型六：无穷小量的判定2 (2008高数二高数二) 当当x0时时, secx-1是是 的的 ( )(a) 高阶无穷小高阶无穷小 (b)低阶无穷小低阶无穷小(c) 同阶但不是等价无穷小同阶但不是等价无穷小 (d) 等价无穷小等价无穷小 22x温州大学城市学院温州大学城市学院 练练: (2006高数二高数二)当当x0时时, f(x)=x-sinx是比是比 x2 的的 ( )(a)高阶无穷小高阶无穷小 (b) 等价无穷小等价无穷小 (c) 同阶无穷小同阶无穷小 (d) 低阶无穷小低阶无穷小练练: (2007高数

24、二高数二)当当x0时时, (1-cosx)2是是 sin2x 的的 ( )(a)同阶但不是等价无穷小同阶但不是等价无穷小 (b) 等价无穷小等价无穷小 (c) 高阶无穷小高阶无穷小 (d) 低阶无穷小低阶无穷小温州大学城市学院温州大学城市学院 1. 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数一点函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数一点连续与极限存在的关系。连续与极限存在的关系。三三、连连续续0( )yf xx函函数数在在点点 处处连连续续的的定定义义(1). 设函数设函数(x)在在 x0的某邻域内有定

25、义的某邻域内有定义,在在 x0 处处给给x一个增量一个增量 x, 0 ,0.xy 当时 有即则称函数则称函数(x)在在 x0 处连续处连续. 称称 x0 为连续点为连续点. 0000limlim ()()0.xxyf xxf x oxy0 xy=(x)yx0 xx0f x0f xx温州大学城市学院温州大学城市学院 00(2)lim( )() .xxf xf x三三要要素素：1.1.有有定定义义；2.2.极极限限存存在在；3.3.极极限限值值等等于于函函数数值值. .0000lim( )(),lim( )()xxxxf xf xf xf x左左连连续续：右右连连续续：结论结论: 函数函数(x)在

26、在x0 处连续的充要条件是处连续的充要条件是(x)在在 x0 处既左连续又右连续处既左连续又右连续. 3 判判断断分分段段函函数数在在分分段段点点处处是是否否连连续续：11cos( )011.111xxf xxxxxx例例1 1：判判断断在在处处连连续续性性温州大学城市学院温州大学城市学院 2 . 理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。连续性求极限。 若函数若函数(x)在开区间在开区间 (a , b) 内的每一点都连内的每一点都连续续, 则称函数则称函数(x)在开区间在开区间 (a , b) 内连续内连续; 若函数若函数(x)在开区间在开

27、区间 (a , b) 内连续内连续, 且在左端且在左端点点 a右连续右连续 , 在右端点在右端点 b 左连续左连续 , 则称函数则称函数 (x) 在闭区间在闭区间a , b 内连续内连续. 设函数设函数(x)在区间在区间 i 内连续内连续, 则称则称i为函数为函数 (x) 的连续区间的连续区间. 若函数若函数(x)在其定义域内连续在其定义域内连续, 则称函数则称函数 (x) 是是连续函数连续函数.温州大学城市学院温州大学城市学院 00003( )( )( ( )uxxyf uuxyfxx若若函函数数在在点点 处处连连续续，且且函函数数在在对对应应的的点点）处处连连续续，则则复复合合函函数数在在

28、点点 处处也也连连续续。函函数数在在一一点点连连续续的的性性质质. . 0001( )( )( )( ),( )( ),( )( ),( ()0)( )f xg xxf xg xf xg xf xkf xg xxg x若若和和都都在在点点 处处连连续续，则则在在点点 处处也也连连续续。(2) 设函数设函数 y = (x)在某个区间上单调且连续在某个区间上单调且连续, 则其反函数则其反函数y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续在相应区间上亦单调且连续. 4 初初等等函函数数在在其其定定义义区区间间内内都都是是连连续续的的. .温州大学城市学院温州大学城市学院 例例: 2arcsinln 1

29、xyxx的连续区间为的连续区间为_例例: 322336xxxf xxx 求函数求函数的连续区间的连续区间, 032lim, lim,lim.xxxf xf xf x 并求极限并求极限 200sin1 lim25;2lim ln;例：xxxxxx 1, 00, 1 温州大学城市学院温州大学城市学院 00( )( )f xxxf x函函数数在在点点 处处不不连连续续，则则称称点点 为为函函数数的的间间断断点点。 0001lim( )lim( )xxxxf xf xx若若和和都都存存在在，点点 称称为为第第一一类类间间断断点点； 0 xf x若若 为为函函数数的的一一个个间间断断点点：0002lim

30、( )lim( )xxxxf xf xx（ ）当当和和中中至至少少有有一一个个不不存存在在时时，点点 称称为为第第二二类类间间断断点点。000000lim( )lim( )lim( )lim( )xxxxxxxxf xf xxf xf xx时时， 称称为为可可去去间间断断点点；第第一一类类间间断断点点时时， 称称为为跳跳跃跃间间断断点点。0000lim( )( )xxf xxxxf xx 时时， 称称为为无无穷穷间间断断点点；第第二二类类间间断断点点时时，振振荡荡无无极极限限， 称称为为振振荡荡间间断断点点。3.会求函数的间断点及确定其类型。会求函数的间断点及确定其类型。 温州大学城市学院温州大学城市学院 题型七：判断函数的连续性题型七：判断函数的连续性. .21(1)21,1(1)( ),11xexxf xaxbxx 1, 1. 1. 设设函函数数_,_ab当当时时, ,( )1f xx 函函数数在在点点处处连连续续1( 11), 02. ( )0_, 0 xxxf xxaxax在处连续，则温州大学城市学院温州大学城市学院 2sin(1)xxyexx3. 3. 函函数数的的连连续续区区间间是是_ 5. 求函数求函数231)(22xx