第8章多元函数积分法

1、第九章第九章 重积分及重积分及 曲线积分曲线积分 第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用一、曲顶柱体的体积一、曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.),(yxfz d柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.xzyodm如右图的立体，底是如右图的立体，底是xoy面上的有界闭区域面上的有界闭区域d，侧面是以侧面是以d的边界曲线为准线，的边界曲线为准线，而母线平行于而母线平行于z轴的柱面，顶是轴的柱面，顶是曲面曲面z=f(x,y)。当点当点(x,y)在在d上变动时

2、，高上变动时，高f(x,y)也随着变动。也随着变动。利用与求曲边梯形面积类似的办法来求曲顶柱体利用与求曲边梯形面积类似的办法来求曲顶柱体的体积。的体积。（1）分割）分割 用一曲线网把闭区域用一曲线网把闭区域d分成分成n个小闭个小闭 区域区域则原来的曲顶柱体被分为则原来的曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体。个小曲顶柱体。12,n（2）近似代替）近似代替 以以 为底的小曲顶柱体可近似地为底的小曲顶柱体可近似地看作以看作以 为高的平顶柱体。为高的平顶柱体。i,iif （3）求和）求和 11,nniiiiiivvf 则则 为曲顶柱体体积。为曲顶柱体体积。01lim,niiiif （4）取极限）取极限令每个小

3、闭区域直径中的最大值令每个小闭区域直径中的最大值（记为（记为 ）趋于）趋于0 xzyod),(yxfz i),(ii二、二重积分二、二重积分 1、对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.（1）当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积）当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积2、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义（2）当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积

4、的）当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值；负值；（3） 当被积函数有正也有负，则二重积分等于当被积函数有正也有负，则二重积分等于xoy面上方的柱体体积减去面上方的柱体体积减去xoy面下方的柱体体积。面下方的柱体体积。在直角坐标系下用平行于在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区坐标轴的直线网来划分区域域d d，则面积元素为则面积元素为故二重积分可写为故二重积分可写为xyoddxdy( , )( , )ddf x y df x y dxdy3、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质1,ddkf x y dkf x y d性质性质2,dddf x yg x y df x y dg

5、x y d性质性质3二重积分在闭区域上有可加性。二重积分在闭区域上有可加性。12,dddf x y df x y df x y d（与定积分有类似的性质）（与定积分有类似的性质）性质性质4在闭区域在闭区域d上上f(x,y)=1， 为为d的面积。的面积。1dddd几何意义几何意义： 高为高为1的平顶柱体的体积在数值上等于的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。柱体的底面积。性质性质5在闭区域在闭区域d上上 ,f x yg x y则则,ddf x y dg x y d性质性质6m、m是是f(x,y)在在d上的最大值和最小值，上的最大值和最小值，则有，则有ds,dmf x y dm性质性质7（中值

6、定理）（中值定理） 设设f(x,y)在闭区域在闭区域d上连续，上连续， ，则在，则在d上至少存在一点上至少存在一点 ，使使ds, ,df x y df 一、利用直角坐标计算一、利用直角坐标计算设设 ，则，则 等于以等于以d为底，为底，以曲面以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积。为顶的曲顶柱体体积。,0f x y ,df x y d现用现用 ， 来表示来表示底面区域底面区域d。 ， 在在a,b均连续。均连续。 12xyxaxb 1x 2xa0 xbzyx),( yxfz)(1xy)(2xy0 xab201000,xxa xf xy dy下面用元素法求曲顶柱体体积下面用元素法求曲顶柱体体积a0

7、 xbzyx),( yxfz)(1xy)(2xy0 xab再在再在a,b上取一点上取一点 ,用同样方法得用同样方法得到另一曲边梯形到另一曲边梯形.0 xdx红色曲边梯形面积为红色曲边梯形面积为在在a,ba,b上取一点上取一点 ，作平行于，作平行于yozyoz的平面，的平面，它截得曲顶柱体所得截面是一个以区间它截得曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底，曲线为底，曲线为曲边的曲边梯形。为曲边的曲边梯形。 12xyx0 x0,zf xy以曲边梯形为底的薄柱体体积以曲边梯形为底的薄柱体体积,即体积元素为即体积元素为20100,xxdvf xy dy dx则以则以dv作为被积表达式的定积分即为曲顶柱体作为

8、被积表达式的定积分即为曲顶柱体体积体积20100,bxaxvf xy dydx .),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 将上式中将上式中 一般化一般化,得到得到二次积分公式二次积分公式0 x 21( , ),bxaxdf x y df x y dy dx 当给出的积分区域当给出的积分区域d为为则则 12yxycyd 21,dycydf x y dxdydyf x y dx)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d 若积分区域若积分区域d可用可用 , 表示表示也可用也可用 , 表示表示,则则 2211( )( ),( , ),bxdyaxcydf x y

9、ddxf x y dydyf x y dx 12xyxaxb 12yxycyd由此可见由此可见,二次积分的积分次序可以调换二次积分的积分次序可以调换. - -xdyyxfdx1010),(例例1 改变改变 的积分次序的积分次序例例2 计算计算 ，其中，其中d由直线由直线y=1、x=2及及y=x所围成的三角形闭区域。所围成的三角形闭区域。dxyd例例3 计算计算 ，其中，其中d是由是由x轴、轴、y轴轴及抛物线及抛物线 所围成的在第一象限内的所围成的在第一象限内的闭区域。闭区域。223dx y d21yx - 可以看出，可以看出，x-型与型与y-型公式的选取很重要，主要型公式的选取很重要，主要是由

10、积分区域是由积分区域d的特点来定。的特点来定。 但是这也不能绝对化，还要顾及到被积函数，应但是这也不能绝对化，还要顾及到被积函数，应尽量使求积过程简单。尽量使求积过程简单。例例4 计算计算 ，其中，其中d是由抛物线是由抛物线 及直线及直线y=x-2所围成的闭区域。所围成的闭区域。dxyd2yx例例5 计算计算 ，其中其中d与上例相同与上例相同.sin(1)1dyxidx-例例6 求两个半径相等的直交圆柱面所围成立体的求两个半径相等的直交圆柱面所围成立体的体积。体积。二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分根据二重积分定义根据二重积分定义01,lim,niiiidf x y df 1

11、、用从极点发出的一族射线和以极点为中心的一、用从极点发出的一族射线和以极点为中心的一族同心圆把闭区域族同心圆把闭区域d分成分成n个小闭区域。个小闭区域。ox二重积分直角坐标到极坐标的转换公式二重积分直角坐标到极坐标的转换公式,cos ,sinddf x y dxdyfd d 只要把只要把x,y换成换成 ， dxdy 换成换成 即可。即可。cossind d dxdy 称为直角坐标系中的面积元素，称为直角坐标系中的面积元素， 称为极坐标系中的面积元素。称为极坐标系中的面积元素。d d 2、极坐标系中二重积分的计算、极坐标系中二重积分的计算（1）设极点在闭区域）设极点在闭区域d外，且区域外，且区域d用用 表示。表示。 12 ox 1 2 2 1 21cos , sincos , sindfd ddfd （2）极点在闭区域的边界上）极点在闭区域的边界上 d 0 0cos , sincos , sindfd ddfd （3）极点在区域）极点在区域d内内 d 0 02 200cos , sincos , sindfd ddfd 例例1 试导出极坐标计算闭区域试导出极坐标计算闭区域d的面积公式。的面积公式。例例3 计算计算 ，其中闭区域，其中闭区域d为为22xydedxdy-222xya例例2 课本第课本第145页第页第3题。题。-2-1012-2-1012-2-10