第三节数量积及应用举例

1、第三节第三节 平面向量的数量积及平面平面向量的数量积及平面向量的应用举例向量的应用举例基础梳理基础梳理|a a|b b|cos |a a|b b|cos 1. 平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a a和b b,它们的夹角为,把数量 叫做a a和b b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,并规定零向量与任一向量的数量积为 .0 |a a|cos (2)a a在b b方向上的投影设为两个非零向量a a,b b的夹角，则 叫做a a在b b方向上的投影.b b在a a方向上的投影 （3）a ab b的几何意义数量积a ab b等于a a的长度|a|与 |b b|cos的乘

2、积.|a a|cos 0 |a a|b b| a ba b2. 向量的数量积的性质设a a,b b都是非零向量,e e是与b b方向相同的单位向量,是a a与e e的夹角,则(1)e ea a=a ae e= .(2)a ab ba ab b= .(3)当a a与b b同向时,a ab b= .当a a与b b反向时,a ab b= .特别地:a aa a=a a2=|a a|2或|a a|= .(4)|a ab b| |a a|b b|.(5)cosa a,b b= .a a-|a a|b b| b ba a a a(b b) (a ab b)3. 向量数量积的运算律(1)a ab b= (

3、交换律);(2)(a a)b b= = (数乘结合律);(3)(a a+b b)c c= (分配律).a ac c+b bc c 联系 向量问题 向量运算 几何关系 x1x2+y1y2 2211xy 2222xy x1x2+y1y2 =0121222221122x xy yxyxy 4. 平面向量数量积的坐标表示a a=(x1,y1),b b=(x2,y2).(1)a ab b= ；(2)|a a|= ,|b b|= ;(3)a ab b ; (4)若a a与b b夹角为,则cos=(5)若a(x1,y1)，b（x2,y2）,则a、b两点间的距离为|ab|= .5. 平面向量在平面几何中的应用

4、用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的 ,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ;(3)通过 研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成 .222121()()xxyy 3. （2011嘉兴模拟）向量a a的模为10，它与x轴的夹角为150，则它在x轴上的投影为 . 基础达标基础达标1. （教材改编题）边长为2的等边三角形abc中，abbc的值为 .2. （教材改编题）设向量a a=(4,5)，b b=(-1,0),则向量a a+b b与a a-b b的夹角的余弦值为 .-2 4 17175 3 1.解析：|c

5、os1202abbcabbc 2.解析：ab(3,5)，ab(5,5)，cosab，ab4 17174. 如图，在平行四边形abcd中，ac=(1,2)，bd=(-3,2),则adac= .3 3.解析：a在x轴上的投影为|a|cos 15010 .5 3 324.解析：令 则a(2,0)，b(1,2)，所以 b(ab)3.,aba adb ad ac 5. (教材改编题)已知a a=(1,6),b b=(2,k),若a ab b,k= ;若a ab b，则k= . 12 13 解析：若ab，则1k620，k12.若ab，则ab0，126k0，k .13 经典例题经典例题题型一题型一 平面向量

6、的数量积平面向量的数量积【例1】已知a a,b b是非零向量.（1）若a ab b，判断函数f(x)=(x a a+b b)(x b b-a a)的奇偶性；（2）若f(x)为奇函数，证明：a ab b. 解：（1）f(x)=x2a ab b+(b b2-a a2)x-a ab b,a ab b,a ab b=0，f(x)=(b b2-a a2)x.当|a a|b b|时，f(x)为奇函数；当|a a|=|b b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于xr恒成立，所以f(0)=0,即-a ab b=0,又a a,b b是非零向量，故a ab

7、b.变式变式1-11-1已知向量a a=(cosx,sinx),b b=(3,-1),且f(x)=a ab b，求f(x)的最大值. 解：f(x)=a ab b= cosx-sinx=2（ cosx- sinx）,f(x)=2sin（ -x）,f(x)max=2.332123 题型二题型二 模与垂直问题模与垂直问题【例2】（2010广东改编）已知向量a a=(1,1)，b b=(2，5)， c c=(3，x).(1)若|2a a+b b-c c|=1,求实数x的值；(2)若(8a a-b b)c c，求实数x的值. 解：(1)2a a+b b-c c=2(1,1)+(2,5)-(3,x)=(1

8、,7-x).又|2a a+b b-c c|=1, ,(7-x)2=0,x=7.(2)8a a-b b=8(1,1)-(2,5)=(6,3).由(8a a-b b)c c,得18+3x=0,x=-6.2(1(7)1x 变式变式2-12-1已知|a a|=4,|b b|=8,a a与b b的夹角是120.(1)计算|a a+b b|,|4a a-2b b|;(2)k为何值时，(a a+2b b)(ka a-b b)? 解：由已知,a ab b=48-（ ）=-16.(1)|a a+b b|2=a a2+2a ab b+b b2=16+2(-16)+64=48,|a a+b b|= .|4a a-2

9、b b|2=16a a2-16a ab b+4b b2=1616-16(-16)+464=3162,|4a a-2b b|= .(2)若(a a+2b b)(ka a-b b),则(a a+2b b)(ka a-b b)=0,ka a2+(2k-1)a ab b-2b b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.4 316 312题型三题型三 夹角问题夹角问题【例3】（2011台州模拟）在abc中，满足abac，m是bc的中点. 若|ab|=|ac|，求向量ab+2ac与2ab+ac的夹角的余弦值. 解：设向量ab+2ac与向量2ab+ac的夹角为，|ab|=|ac|=a,ab

10、ac,|ab|=|ac|,(ab+2ac)(2ab+ac)=2ab2+5abac+2ac2=4a2,|ab+2ac|= ,同理可得|2ab+ac|= ,cos=2(2)abac 22445abab acaca 5a22(2) (2)445522abacabacaaabacabac 变式变式3-13-1(2011北京模拟)已知非零向量a a,b b满足|a a|=2|b b|,且b b(a a+b b),求向量a a,b b的夹角a a,b b.解：|a a|=2|b b|,b b(a a+b b), b ba a+b b2=0,a ab b=-|b b|2.又cosa,b=又a,b0,a,b=

11、 .2122ba ba bb b 23 易错警示易错警示【例】已知a a,b b均为单位向量，且a ab b,若向量a a+b b与a a+2b b的夹角为钝角，求的取值范围.错解：|a a|=|b b|=1,a ab b=0,(a a+b b)(a a+2b b)=a a2+(2+2)a ab b+2b b2=+2=3.又a a+b b与a a+2b b的夹角为钝角，(a a+b b)(a a+2b b)0,30,0.错解分析 cosa,b0a,b ,本题中a a+b b,a a+2b b为钝角，故须a a+b b,a a+2b b=时的的值舍去.(, 2 正解：a a+b b与a a+2b

12、 b的夹角为钝角，(a a+b b)(a a+2b b)0,即0,且 , .综上，的取值范围为(-,- )(- ,0).12 222链接高考链接高考 1. （2010天津）如图，在abc中，adab,bc= bd,|ad|=1,则acad=( )a.2 b. c. d. b.知识准备: 1. 平面向量的数量积公式; 2. 基底向量表示目标向量. 33333321. d解析：由图可得：acad=(ab+bc)ad=abad+bcad=0+ bdad= (ba+ad)ad= |ad|2= .33332. （2010安徽）设向量a a=(1,0)，b b=（ , ）,则下列结论中正确的是( )a. |a a|=|b b| b. a ab b= c. a a-b b与b b垂直 d. a ab b知识准备: 1. 向量