42空间解析几何

1、14.2 空间解析几何空间解析几何4.2.2 空间曲线及其方程空间曲线及其方程4.2.1 空间曲面及其方程空间曲面及其方程4.2.3 二次曲面二次曲面24.2.1 向量及其线性运算向量及其线性运算2、平面及其方程、平面及其方程1、曲面方程的概念、曲面方程的概念31. 曲面方程的概念曲面方程的概念求到两定点求到两定点a(1,2,3) 和和b(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得化简得即即说明说明: 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 ab 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程

2、, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxm,bmam 则轨迹方程轨迹方程. (1) 曲面与方程曲面与方程4定义定义 0),(zyxfszyxo如果曲面如果曲面 s 与方程与方程 f( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 s 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 f( x, y, z ) = 0 叫做叫做曲面曲面 s 的方程的方程, 曲面曲面 s 叫做叫做方程方程 f( x, y, z ) = 0 的图形的图形.两个基本

3、问题两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面不在曲面 s 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 5 m0 m r设设),(zyxm是球面上任一点，是球面上任一点， ，rmm |0根据题意有根据题意有，即即rzzyyxx 202020)()()( .)()()(2202020rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为.2222rzyx 以下给出几例

4、常见的曲面以下给出几例常见的曲面.222yxrz表示上表示上(下下)球面球面 .解解例例6例例 研究方程研究方程042222yxzyx解解: 配方得配方得5, )0, 2, 1(0m此方程表示此方程表示:说明说明: 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面. 表示怎样表示怎样半径为半径为的球面的球面.0)(222gfzeydxzyxa球心为球心为 一个一个球面球面, 或或点点 , 或或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx7定义定义 一条平面曲线一条平面曲线(2) 旋转曲面旋转曲面

5、绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. 该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如 :8建立建立yoz面上曲线面上曲线c 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为, ),(zyxm当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111czym若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 c: ), 0(111zym),(zyxm1221,yyxzz则有则有0),(22zyxf则有则有该点转到该点转到0),(zyfozyxc9思考思考：当曲线当曲线 c 绕绕 y 轴旋

6、转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？0),(:zyfcoyxz0),(22zxyf10例例 求求 yoz 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线2zy 成的旋转曲面的方程。成的旋转曲面的方程。解解: 绕绕 z 轴旋转时轴旋转时, 将将 y 改换成改换成22xy，即得，即得，222zxy绕绕 z 轴旋转所轴旋转所xyzo22zxy- - 旋转抛物面旋转抛物面.11例例 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解: 在在yoz面上直线面上直线l 的方程为的方程为cotyz 绕绕z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为cot2

7、2yxz)(2222yxazcota 令令xyz两边平方两边平方l), 0(zym12xy例例 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线12222czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: 绕绕 x 轴旋转轴旋转122222czyax绕绕 z 轴旋转轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为z13xyz(3) 柱面柱面引例引例. 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222ryx解解:在

8、在 xoy 面上，面上，表示圆表示圆c, 222ryx222ryx沿曲线沿曲线c平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间故在空间222ryx过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示表示圆柱面圆柱面oc在圆在圆c上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxmlm1m),(zyxm点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,14xyzxyzol定义定义 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 c 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. 表示表示抛物柱面抛物柱面,母

9、线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线. z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byax z 轴的轴的平面平面.0 yx 表示母线平行于表示母线平行于 c(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于c 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.xyzoo15xzy2l一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的

10、曲线面上的曲线 l2. 母线母线( , )0f x y 方方程程表表示示( , )0g y z 方方程程表表示示( , )0h z x 方方程程表表示示xyz3lxyz1l16从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxf，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线c.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y17zyxo0mn(1)

11、平面的点法式方程平面的点法式方程),(0000zyxm设一平面通过已知点设一平面通过已知点且垂直于非零向且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam称称式式为平面为平面 的的点法式方程点法式方程,求该平面求该平面 的的方程方程.( , , ),m x y z 任任取取点点),(000zzyyxx法向量法向量.量量, ),(cban nmm000nmmmm0则有则有 故故n 称称为为平平面面的的2. 平面及其方程平面及其方程18例例 求过点求过点1(2)1(6)(3)0 xyz5xyz即即0m解解: 利用点法式得平面方程利用点法式得平面方程0(2,6,3)m(1,1,1)n 的平面方程

12、的平面方程. n且垂直于向量且垂直于向量19kji例例 求过三点求过三点1,m 又又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1m2m3m解解: 取该平面取该平面 的法向量为的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面的平面 的方程的方程. 利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程的方程346231nn3121mmmm20此平面的此平面的三点式方程三点式方程也可写成也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点过三点)3,2, 1(),(kzy

13、xmkkkk的平面方程为的平面方程为说明说明:21,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解22(2) 平面的一般方程平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 以上两式相减以上两式相减 , 得平面的点法式方程得平面的点法式方程此方程称为此方程称为平面的一般平面的一般0dzcybxa任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数,000zyx则则0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa显然方程显然方程与此点法式方程等

14、价与此点法式方程等价, )0(222cba),(cban 的平面的平面, 因此方程因此方程的图形是的图形是法向量为法向量为 方程方程.23特殊情形特殊情形 当当 d = 0 时时, a x + b y + c z = 0 表示表示 通过原点通过原点的平面的平面; 当当 a = 0 时时, b y + c z + d = 0 的法向量的法向量平面平面平行于平行于 x 轴轴; a x+c z+d = 0 表示表示 a x+b y+d = 0 表示表示 c z + d = 0 表示表示 a x + d =0 表示表示 b y + d =0 表示表示0dczbyax)0(222cba平行于平行于 y

15、轴轴的平面的平面;平行于平行于 z 轴轴的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.,), 0(icbn24设平面为设平面为, 0 dczbyax由平面过原点知由平面过原点知, 0 d由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解25例例 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解: 因平面通过因平面通过 x 轴轴 ,0ad故故设所求平面方程为设所

16、求平面方程为0zcyb代入已知点代入已知点) 1,3,4(得得bc3化简化简,得所求平面方程得所求平面方程03 zy26当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax时时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为平面方程为 pozyxrq分析分析:利用三点式利用三点式 按第一行展开得按第一行展开得 即即0ax yzab0a0c(3) 平面的截距式方程平面的截距式方程27设平面为设平面为, 0 dczbyax将三

17、点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距28外一点外一点,求求),(0000zyxp0dzcybxa例例 设设222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解:设平面法向量为设平面法向量为),(1111zyxp在平面上取一点在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d .0p, 则则p0 到平面的距离为到平面的距离为01prjppdn

18、nnpp010p1pnd, ),(cban (点到平面的距离公式点到平面的距离公式)29(5) 两平面的夹角两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为则两平面夹角则两平面夹角 的的余弦余弦为为 cos即即212121ccbbaa222222cba212121cba两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角常为锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 302特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),

19、(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n31例例 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz 解解(1)222222|1 2( 1) 12 1|cos1( 1)2211 1cos2 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.3 (1)260,250 xyzxyz 32(2)2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 例例 研

20、究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260,250 xyzxyz 解解33(3),1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行但不重合两平面平行但不重合解解例例 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)2

21、60,250 xyzxyz 34)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260,250 xyzxyz 解解35因此有因此有例例 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为,020cba即即ca2的法向量的法向量,0cba

22、ccab)()0(0) 1() 1() 1(2czcycxc约去约去c , 得得0) 1() 1() 1(2zyx即即02zyx0) 1() 1() 1(zcybxa)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和和则所求平面则所求平面故故, ),(cban方程为方程为 n21mmn且且36xyzo0m例例 解解: 设球心为设球心为求内切于平面求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成与三个坐标面所构成则它位于第一卦限则它位于第一卦限,且且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程为因此所求球面方程为000zyx633331,

23、),(0000zyxm四面体的球面方程四面体的球面方程.从而从而)(半径r2222)633()633(633)633(zyx374.2.2 空间曲线及其方程空间曲线及其方程2、空间直线及其方程、空间直线及其方程1、空间曲线方程的概念、空间曲线方程的概念38(1) 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxgzyxf2sl0),(zyxf0),(zyxg1s例如例如,方程组方程组221235xyxz 表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 c. xzy1oc21. 空间曲线方程的概念空

24、间曲线方程的概念39又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线c. 022222xayxyxazyxzao40zyxo(2) 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程将曲线将曲线c上的动点坐标上的动点坐标 x, y, z 表示成参数表示成参数 t 的函数的函数:称它为称它为空间曲线的空间曲线的 参数方程参数方程.)(txx 例如例如,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos2, 当当时时bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz m41例例 将下列曲线化为参数方程表示

25、将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为故所求为得所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t42(3) 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 c 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则c 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 c 为为消去消去 x 得得c 在在yo

26、z 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得c 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程0),(0),(zyxgzyxf,0),(yxh00),(zyxh00),(xzyr00),(yzxtzyxcc43zyxc1o例如例如,在在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为222200 xyyz 1) 1() 1(1:222222zyxzyxc44zxyo1c又如又如,所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为:上半球面上半球面和锥面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在在 xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线)(34:2222yx

27、zyxzc二者交线二者交线.0, 122zyx所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域 .452. 空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo01111dzcybxa02222dzcybxa1 2 l因此其一般式方程因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，(不唯一不唯一)46),(0000zyxm(2) 空间直线的点向式空间直线的点向式(对称式对称式)方程方程故有故有说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为设直线上的动点为 则

28、则),(zyxmnyy0pzz0此式称为直线的此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程也称为点向式方程)直线方程为直线方程为s已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxm),(zyxm例如例如, 当当0,0,mnp时时和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms smm/047(3) 空间直线的参数方程空间直线的参数方程设设得参数式方程得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz048例例 用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: 先在直线上找一点先在直线上找一点. 3102380 xyzxyz 30310yzyz再求直线的方向向量

29、再求直线的方向向量1,3yz 令令 x = 1, 解方程组解方程组, 得得交已知直线的两平面的法向量为交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点 .(1,1,3) 故故.s1(1, 3,1),n )3, 1,2(2n21ns,ns21nns49故所给直线的故所给直线的对称式方程为对称式方程为参数式方程参数式方程为为110 1 37xtytzt t110 x 11y 37z 解题思路解题思路: 先找直线上一点先找直线上一点;再找直线的方向向量再找直线的方向向量.(10,1,7)21nns131213ijk 50例例 用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点

30、先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量再求直线的方向向量2,0zy令令 x = 1, 解方程组解方程组,得得是直线上一点是直线上一点 .)2,0, 1(故.s12snn)3, 1,4(312111kji51故所给直线的故所给直线的对称式方程为对称式方程为参数式方程参数式方程为为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点先找直线上一点; 再找直线的方向向量再找直线的方向向量.(4, 1,3)s (1,0,2)例例 用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线043201 zyxzyx522l1l(4) 空间直线间的夹角空间

31、直线间的夹角 则两直线夹角则两直线夹角 满足满足21, ll设直线设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取通常取锐角锐角)的方向向量分别为的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s53特别有特别有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss54例例 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: 直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为13411:1zyxl0202:2z

32、xyxl cos22从而从而4的方向向量为的方向向量为1l的方向向量为的方向向量为2l) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 55当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时,规定其夹角规定其夹角线所夹锐角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角;l (5) 空间直线与平面的夹角空间直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时,设直线设直线 l 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足.2222222cbapnmpcnbma直线和

33、它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn56特别有特别有:l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: 取已知平面的法向量取已知平面的法向量124xyz则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为2340 xyz直的直线方程直的直线方程. 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. 231 垂垂 (2, 3,1)n n例例 求过点求过点(1, 2 , 4) 且与平面且与平面57特别有特别有:l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx则直线的对

34、称式方程为则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程直的直线方程. 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. 132垂垂 ) 1,3,2(nn例例 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面58解解: 直线直线 l 的方向向量是：的方向向量是：222222|2 155 ( 9)3 5|sin25315( 9)5 则直线与平面的夹角正弦是则直线与平面的夹角正弦是159562xyz的位置关系的位置关系. 平面平面 s 的法向量：的法向量：和平面和平面 s ： (15,9, 5)n 例例 讨论直线讨论直线 l :216253xyz(2, 5, 3)l 0 于是夹角为于是夹角为 0。所以直

35、线与平面平行或直线在平面内。所以直线与平面平行或直线在平面内易证易证( 0, 2, 16 ) 在直线上，也在平面上，所以直线在在直线上，也在平面上，所以直线在平面内。平面内。594.2.3 二次曲面二次曲面2、椭球面、椭球面1、椭圆锥面、椭圆锥面3、双曲抛物面、双曲抛物面4、椭圆抛物面、椭圆抛物面5、单叶双曲面、单叶双曲面6、双叶双曲面、双叶双曲面60二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程0 321321232221 dzcycxcyzbxzbxybzayaxa所表示的曲面称为所表示的曲面称为二次曲面二次曲面，其其中中iiba ,不不全全为为零零。 二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式标系后，可以化成如下几种标准形式. 611. 椭圆锥面椭圆锥面22222( ,)xyza bab为为正正数数zt 在在平平面面上上的的截截痕痕为为椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经椭圆锥面也可由