第八单元无穷级数

1、第八单元第八单元 无穷级数无穷级数主要内容主要内容学习要求学习要求典型例题典型例题2常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径r r泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容3.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns1 1、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审

2、敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当+ l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当+ l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;40lim(lim)nnnnnulnu ,则级数发散则级数发散;设设 为正项级数为正项级数,1nnu1p limpnnn u如果有如果有, ,使得使得存在存在, ,则级数则级数收敛收敛.1lim(

3、)nnnuu +数或设设 为正项级数为正项级数,1nnu则则 11时级数发散时级数发散; ; =1时失效时失效. .lim()nnnu+数或设设 为正项级数为正项级数,1nnu则则 11时级数发散时级数发散; ; =1时失效时失效. .5定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . )1()1(111nnnnnnuu 或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 + +nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, , 且其和且其和1us , , 其余 项其余 项nr的

4、绝对值的绝对值1+ + nnur. .)0( nu其中其中3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法6定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法75 5、幂级数、幂级数,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.nnnxa 0定义定义: : 正数正数r称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级

5、数的收敛区间收敛区间.1lim(lim)nnnnnnaaa+(1)当当0时时,1r(2)当当 =0时时,r=+ (3)则当则当 =+ 时时,r=00 na定理定理 如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数,设设 0nnna x形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数.00()nnnaxx86 6、傅里叶级数、傅里叶级数傅里叶级数是指傅里叶级数是指三角级数三角级数其中其中1( )cos,(0,1,2,)1( )sin,(1,2,)nnaf xnxdxnbf xnxdxn01(cossin)2nnnaanxbnx+收敛定理收敛定理设设f(x)是以是以2 为周期的周期函数为周期的周期函数.如果它满足

6、条件如果它满足条件: 在一个周期在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值并且至多只有有限个极值点点,则则f(x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,并且并且(1)(1)当当x是是f(x)的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于f(x);(2)(2)当当x是是f(x)的间断点时的间断点时,级数收敛于级数收敛于002()();f xf x+(3)(3)当当x= 时时,级数收敛于级数收敛于002()().ff+9012cosnnaanx+傅氏级数傅氏级数01 2(, ,)nbn称为余弦级数称为余弦级数如果如果f(x)为偶函数为偶函数, 1sinn

7、nbnx傅氏级数傅氏级数0(0,1,2,)nan称为正弦级数称为正弦级数如果如果f( (x) )为奇函数为奇函数, , 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数10二、学习要求理解付立叶级数的概念，知道付立叶级数的收理解付立叶级数的概念，知道付立叶级数的收敛定理，掌握求付立叶系数的公式。敛定理，掌握求付立叶系数的公式。理解常数项级数收敛的定义及性质，熟知几何理解常数项级数收敛的定义及性质，熟知几何级数与级数与p-级数的敛散性级数的敛散性, 掌握级数收敛的必要掌握级数收敛的必要条件及敛散性的判别法：正项级数的比较法，比条件及敛散性的判别法：正项级数的比较法，比值法，根值法以及交错级数收敛的判别法，绝

8、对值法，根值法以及交错级数收敛的判别法，绝对收敛与条件收敛。收敛与条件收敛。理解幂级数的概念，掌握幂级数的收敛半径与理解幂级数的概念，掌握幂级数的收敛半径与收敛区间及和函数的计算方法收敛区间及和函数的计算方法. 会把函数展为幂会把函数展为幂级数级数.11三、典型例题分析三、典型例题分析例例1 1解解判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性2110011111112231) ; 2) ; 3) (); 4) ; 5) sin; nnnnnnnnnnnn+10112113316) ; 7) ( )() ; 8) (cos).()nnnnnnn n+l). 是是p-级数级数, p=21, 收敛收敛.

9、2). 是是p-级数级数, p=1/21, 发散发散.3). 是两个几何级数是两个几何级数(等比级数等比级数)之和之和,公比分别为公比分别为1/21, 1/31,两个几何级数均两个几何级数均 收敛，收敛，其和收敛其和收敛.12111 (cos).nn收收敛敛4).一般项一般项 原级数原级数发散发散.12,nnun+10 lim,nnu不满足收敛的必要条件不满足收敛的必要条件,发散发散.5).11sin1 lim1, 1nnnnn发发散散，11 sinnn发发散散. .6).11(1)1 lim1, 1nnn nnn+发发散散，11 (1)nn n+发发散散. .7).122133 , (nn1

10、, 2nnnnn nn nnn收收敛敛,绝,绝对对收收敛敛. .2).111221( 1)111111 |, , 21( 1) nnnnnnnnnnnn+发发散散, 又, 又收收敛敛, 且, 且条条件件收收敛敛. .3).111( 1) 222!2 |, lim | limlim01,!(1)!12( 1) 2 !nnnnnnnnnnnnnannnannn+收收敛敛, , 且且绝绝对对收收敛敛. .14例例3 3 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域( (区间区间) )解解112112111) (); 2) ; 3) ; ()nnnnnnnxxnxn nn+222211311()4) ;

11、5) . !nnnnnnxxnn+1).1 (21)nnnx+的的收收敛敛域域为为(-1, 1).(-1, 1).2).123lim | lim1, 1 .21nnnnanran+1(1) lim | lim1, 1 .(1)nnnnan nran n+1( 1)1(1)nnxn n 当当时时，收收敛敛，1( 1) (21)nnn + 当当x = 1,发散发散.11 ()nnxn n的收敛域为的收敛域为 1,1.153).11 2nnnxn的的收收敛敛域域为为 - -2 2, , 2 2) ). . 4).2121 !nnnxn的的收收敛敛域域为为(-, +).(-, +). + + 1121

12、 lim | lim, 2 .2(1)2nnnnnnanran+1111( 2)( 1)222nnnnnxnn 当当时时，=为=为交交错错级级数数，1!(23)123 lim |limlim0, .(1)!(21)121nnnnnannnrannnn+ + + +11121222nnnnxnn当当时时，=, 发=, 发散散. .11111( 1) lim, 222(1)2nnnnnnn+=0,级=0,级数数收收敛敛. .165).22122221313 lim |limlim, 9 .193133nnnnnnnnnnanrnan+ + + + + 设设y=(x 1)2,22129190.9 l

13、imlim10,3313. nnnnnnnnyynnn由由于于当当时时，级级数数发发散散， 213= . nnnyn原原式式21 | 9 . 3nnnyyn当当时时级级数数收收敛敛 即即2221(1) |2|924, . 3nnnxxxn当当或或时时 级级数数收收敛敛221(1) 3nnnxn的的收收敛敛域域为为(2, 4).(2, 4). 17例例4 4 求下列幂级数的在收敛区间内的和函数求下列幂级数的在收敛区间内的和函数解解1021211) (); 2) .nnnnnxnxn+1). 设设01021211( )(),(, ),nnnnnns xnxnxxx+ 011 ,nnxx11022n

14、nnnnxxnx2212211()()xxxx02()nnxx02 ()nnxx121()xx2212111111 ( ),(, ).()()xxs xxxxx+ 182). 设设121( ),nnnxs xn112 22211( )() () , , )nnnnxxxs xxnn 001222222 ( )ln |ln |lnln |xxxs xdxxxxx +则则21( ).nnnxxs xn11221()nnx111112222121()nnxxx121 0( )ln | .0( ).22xs xxs xxx当当时时，当当时时， 122 00 22102ln |, - , )( , ),

15、 ( ), .xxxs xx192)另解另解 1112211( )()nnnnnxxs xxnn10( ). 02xs xx当当时时，当当时时，001112212()xxxdxdxxxx110011222211()()()()xxnnnnxxxxddxx011222ln |ln | .xxxxx 20例例5 5设设f(x)为以为以2 为周期的连续函数为周期的连续函数.1).写出其付立叶展开式写出其付立叶展开式,以及系数表达式以及系数表达式;2).设设f(x)为奇函数时其系数表达式如何为奇函数时其系数表达式如何;3).设设f(x)为偶函数时其系数表达式如何为偶函数时其系数表达式如何.解解01(

16、)(cossin),(,)nnnf xaanxbnxx+ +1).01( ),af x dx11 2 3( )cos,(, , .)naf xnxdx n11 2 3( )sin,(, , .)nbf xnxdx n2).00 1 2 3,(, , , .)nan11 2 3( )sin,(, , .)nbf xnxdx n3).01 2 3,(, , .)nbn01( ),af x dx11 2 3( )cos,(, , .)naf xnxdx n21的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以内展开成内展开成将函数将函数 + + 1212)11(2)(nnxxxf例例6 6解解,)11(2)(是偶函数是偶函数 + + xxxf + + 100)2(12dxxa, 5 + + 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn22 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k,