第6章曲线积分与曲面积分

1、 1曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分计算下列曲线积分计算下列曲线积分. 1 . 0,:,)(yayxldsxyxl且且解：解：.xdsxx,yll 0奇函数奇函数是是轴对称轴对称关于关于dsyxdsxyxll )()(34343434;ttsinaytcosax:l 033dtttattadttytxds222222)cossin3()sincos3()()( dttcostsina3 dtttatatadsyxlcossin3)sincos()(04434343434 dtttttacossin)sin(cos304437 tdttttacossin)sin(c

2、os6237044 .adttcostsinadttsintcosa3737372660505 . 0)()(:)(.2222222 xyxayxldsyxl:解解. 0, lydsyyxl是奇函数是奇函数关于关于轴对称轴对称关于关于 llxdsdsyx)( 2cosar sin,cosryrx cossin)(,sincos)(rryrrx 22)sincos()( rrx 2222sinsincos2cosrrrr 22)cossin()( rry 2222cossincos2sinrrrr dyxds)()(22 drr22 2cos)2cos()2cos2sin(22222aaarr

3、dads2cos daaxdsl2coscos2cos44 .2222cos22244aada .2;.1:,0,2,. 32222轴轴的的转转动动惯惯量量关关于于构构件件的的质质量量构构件件求求且且线线密密度度所所围围区区域域的的边边界界曲曲线线为为由由设设xllyxyaxyxxyl 解：解： ldsyxml22.1的质量的质量构件构件dsyxlll22)(123 2202221axdxdsyxal 22222lldsaxdsyxdttatataaa220)cos()sin(cos22 dtta 202cos12 .22sin4cos2cos2220220220222222aadtadtat

4、tt 20022221123axdxdxxdsyxaal .)223(2am dsyxyixllx222.2 轴轴的的转转动动惯惯量量关关于于构构件件dsyxylll222)(123 01222 ldsyxy 2222222lldsaxydsyxydttatataaata2202)cos()sin()cos(2)sin(2 dttadttatt202422024cossin2cos2sin222 dtattt202224cos)cossin2(22 2222024sincossin162tttda .1522sin)sin1(sin16422220242adattt .212224033022

5、23adxxdxxdsyxyaal .)152221(4aix .)0, 0(,. 4222222222逆逆时时针针方方向向轴轴正正向向向向负负向向看看去去为为交交线线从从与与是是其其中中求求xazaxyxazyxdzxdyzdxy 解：解： 20:sincos22222 ttytxaxyxaaa22222222222)sin()cos(azttazyxaaa 代入代入22422224)cos22(sin)cos1(22aztazttaa 2222222sinsin2cos1ttazaztaz 20:sinsincos:2222 taztytxtaaadzxdyzdxy222 dtattatt

6、taaataaa)sin()cos()sin()sin()cos()sin(2222220222222 dtttatttaaaataa)cos()cos()cos( )sin()sin)(sin(22222220222222 .4coscossinsin323212022213413adtttatt 20:sinsincos:2222 taztytxtaaa.,.)4 , 3()2 , 1(),(. 52所所做做的的功功对对质质点点求求力力角角小小于于轴轴的的正正向向夹夹其其与与与与原原点点的的连连线线其其方方向向垂垂直直于于质质点点的的距距离离与与原原点点的的大大小小等等于于质质点点作作用用

7、的的过过程程中中受受变变力力运运动动从从如如图图红红线线所所示示为为直直径径的的半半圆圆周周沿沿以以设设质质点点pfyppffbaabp :解解.443:sin23cos22: yxlab为为直直径径的的半半圆圆周周).,(,),(xyflyxp lxdyydxw 443)sin23)(cos22()cos22)(sin23( d).1(2)cos2)(cos22()sin2)(sin23(443 d .)0 ,()0 , 0(sin:,)ln(.1. 62222的一段的一段至至上由上由其中其中计算下列曲线积分计算下列曲线积分 xyldyyxxxyydxyxil :解解,利利用用格格林林公公式

8、式dyyxxxyydxyxiaolao)ln()(2222 ;)(2222yxyyxy )1()ln(222222yxxyxxyyyxxxyyx .222yxyy aoldyyxxxyydxyx)ln(2222 ddxdyyxyyxyy)(22222 ddxdyy2 ddxdyy2 aoldyyxxxyydxyx)ln(2222dyydxx sin020 0203cos)cos1(31sin31xdxxdx.94 .2)ln(202222 xdxdyyxxxyydxyxao)2(94)ln(22222 ldyyxxxyydxyx.9422 .)0 , 0(1)()1()2 , 2(,cossi

9、n,.2222一一段段的的的的左左半半圆圆至至圆圆周周沿沿是是从从计计算算具具有有一一阶阶连连续续导导数数设设oyxaldyxyxfydxxfxfl :解解 yxfxyxfxqxcoscos yxfyxfypycossin 由由格格林林公公式式l baobldyxyxfydxxfcossin dxdyypxqd )()221()(2 dddxdydxdy dyxyxfydxxfiobbacossin)()221(2 , 00cossin20 dxdyxyxfydxxfob , 00cossin20 dxdyxyxfydxxfob 202cos2cossindyyfdyxyxfydxxfba .

10、42sin2220 yyf.21234)221(4222 i .)3 , 1()43, 4(,)1()2(1,),(. 7222的直线段的直线段至至从从是是其中其中计算计算上有连续导数上有连续导数在在设设baldyxyfyyxdxxyfyyixfl 解：解： ;1) )1(222xyfxyxyfyxyfyyxxqx .2) )2(1(22xyfxyxyfyxyfyyypy ,1:1 ldxyi令令 dyxyfyyxdxxyfyyil)1()1(12222 21iii 14:, 3:,12 xxyli取路径取路径与路径无关与路径无关 dyxyfyyxdxxyfyyil)1()1(122221 d

11、yyxxyxfdxxyyfyl)()1(21 dyyxxyxfdxxyyfyl)()1(21 dxxxxxffxxi3)33(33322142 14:3:1 xxxxyl dxxfxfxx33333314 . 53214 dxx ldxyi11343:345: yyyyxl. 2ln3834113143 dyydxyil. 2ln385 i .,.,:,. 822,20,02,0,02yxqdyyxqdxxyedyyxqdxxyertrdyyxqdxxyexoyyxqtxtxlx求求恒恒有有且且内内与与路路径径无无关关在在曲曲线线积积分分导导数数平平面面上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏在在设设

12、 :解解xxeypxqr 所所以以内内曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关因因为为在在,2 yxedxxedxxqyxqxx )1(,故故 2,0,02,txdyyxqdxxye由由题题中中等等式式左左 2020,02dyytqdxextx 202)1(2dyytet 202)1(22dyytet 2,20,0,txdyyxqdxxye由题中等式右由题中等式右 2020, 20txdyyqdxex 202)12(tdyye 2022tdyyte 22022202)1(2ttdyytedyyte ,2ut 令令 uudyyuedyyue0220)1(2 即即 ueueuu 22:求求导导得得两两

13、边边关关于于 22eyeyy .2)1(,2eyexeyxqyx 故故 .,52.1. 922原点简单闭曲线原点简单闭曲线为逆时针方向的不过为逆时针方向的不过其中其中计算计算lyxydxxdyil :解解 ;522552.12222222yxxyyxxxxq ;5225522222222yxxyyxyxyp ypxq :,由由格格林林公公式式得得不不包包含含原原点点时时当当l . 05225522552222222222222 dxdyyxxyyxxyyxydxxdyldlxyolld .)5 , 2()5 , 4(32:,52.2222的一段的一段至点至点上从点上从点其中其中计算计算baxx

14、ylyxydxxdyil :,由由格格林林公公式式得得包包含含原原点点时时当当l . 05225522552222222222222 dxdyyxxyyxxyyxydxxdylldll . 02:5sin2cos: ttytxl llyxydxxdyyxydxxdy 22225252dttttt 022222sin5sin5cos2cos .102 lxyo2 5 2 5 l lld .)5 , 2()5 , 4(32:,52.2222的一段的一段至点至点上从点上从点其中其中计算计算baxxylyxydxxdyil 10252.222 balyxydxxdy:解解 balyxydxxdyyxy

15、dxxdy22225210252 422255250102xdx 42212525102xdx 42552arctan551125102 x ).5524arctan5522(arctan101102 .),(),(:,),(),(, ),(),(max.1022,mldyyxqdxyxplyxqyxpllyxqyxpmllyx 证明证明上连续上连续在曲线段在曲线段的长度的长度是曲线是曲线设设:证明证明有有系系根根据据两两类类曲曲线线积积分分的的联联,dsyxqyxpdyyxqdxyxpllcos),(cos),(),(),( .),(cos,cos处处的的切切向向量量的的方方向向余余弦弦上上

16、点点为为有有向向曲曲线线弧弧其其中中yxl dsqpdyyxqdxyxpll coscos),(),(:由积分性质得由积分性质得 sincossincoscoscos222 qpqpqp而而.),(,22lyxmqp .coscos),(),(mldsmdsqpdyyxqdxyxplll 所以所以 .2:)(.1:.112222截截下下的的部部分分被被计计算算下下列列曲曲面面积积分分axyxyxzdsxzyzxyi :解解,平平面面对对称称关关于于xoz 0, 0yzdsxyds所以所以axyxdyxz2:2222 dxdydxdyyxyyxxds21222222 xzdsidsxzyzxyi

17、dxdyyxxd222 dxdyyxxd222 .15264cos224cos20302adrda .023.222222 ayxazyxaz所所围围立立体体的的表表面面积积与与:解解.12:2)(342222222ayxdyxazyxazxy 2121 dsdsdss表面积表面积dxdyyxaadsyxaz2222211);(21: xyddxdyyxaas22211rdrradaa 232022201 ).1)121(32222 aa dxdyadsyxaz222231;3: ;311224aa xyddxdyas2231.3112)1)121(322422221aaaasss xxxx.

18、,)(.122222222表表面面的的八八面面体体为为内内接接于于球球面面其其中中计计算算azyxazyxdszyx xxxx dxdyyxadszd22)(324241 dxyxadyyxadxaxaxaa00302031324)(324 4040332413838axadxxaaa 1)(8)(222222 dszyxdszyx解解： .,0 , 0 , 0,122.13222dszyxdzzyxdzyxzyxzyx 求求距离距离的的到平面到平面为点为点处的切平面处的切平面在点在点为为点点的上半部分的上半部分为椭球面为椭球面设设),(,),(:000000zyxnzyx 解解2020200

19、0000042),(22:zyxzyxdzzyyxx 切平面切平面 dszyxzdszyxdz 222421,. 2:, )(211:2222 yxdyxzxy .)(2112;)(21122222yxyyzyxxxz .)(2112;)(21122222yxyyzyxxxz )(24)(4)(24112222222222yxyxyxyxyzxz dxdyyxyxdxdyyzxzds)(24)(41222222 dszyxzdszyxdz 222421,dxdyyxyxyxyxxyd)(24)(4)(4)(2112122222222 dxdyyxyxyxyxxyd)(24)(4)(4)(244

20、122222222 .23412)(4(412032022 drrddxdyyxxyd . 02222.0,123.1422223 aazayaxzyxaadsazyx是球面是球面其中其中证明证明 :证明证明.),(上的最小值上的最小值在在先求先求 zyxf)2222(2222aazayaxzyx azyxzyxl3),( 令令022220221022102212222 aazayaxzyxaylaylaxlzyx .33aazyx 解解之之得得.3),(azyxf上上的的最最小小值值为为在在所所以以 .12433332aaaadsdsazyx 于于是是x .1,2,.15在第四卦限部分上侧在

21、第四卦限部分上侧为平面为平面上连续上连续在在其中其中求求 zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf xx:解解, 1),(: zyxzyxf令令1, 1, 1 zyxfff)1 , 1, 1(:,),( npzyxp点点处处的的法法向向量量为为在在 .31cos,31cos,31cos: 法向量方向余弦分别为法向量方向余弦分别为.31cos,31cos,31cos: 法向量方向余弦分别为法向量方向余弦分别为dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf),(),(2),( dszzyxfyzyxfxzyxfcos),(cos),(2cos),( dszzyx

22、fyzyxfxzyxf31),(31),(231),( dszyx )(31 ds31)(31 a cos)(31da .21)( da .141642:,sin.1622422所截下部分的上侧所截下部分的上侧被柱面被柱面其中其中计算计算 yxzxdzdxyxdydzeyx :解解段段平平面面上上的的投投影影为为一一直直线线在在zox 0sindzdxyx4)2(:22 zydyozyz平面上的投影为平面上的投影为在在 dzdxyxdydzeyx sin224 dydzeyx 224dydzeyzdzy 22)2(44).1(416204202 erdredr .1:,)(.172222222

23、3222的的外外侧侧其其中中求求 czbyaxzyxzdxdyydzdxxdydz :解解 03333332222322223222322221222223222322221222223222322221222223222 zyxzyxzyxdxdydzzyxzyxxzyxzyxzyxxzyxzyxzyxxzyx 23222zyxzdxdyydzdxxdydz 2322223222zyxzdxdyydzdxxdydzzyxzdxdyydzdxxdydz zdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydz331 333334331111 dxdydzdxdydzgauss 公公式式 4 .,cos,cos,cos,00coscoscos.18222222的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦处处在在点点是是之之间间的的部部分分的的下下侧侧及及介介于于平平面面为为锥锥面面其其中中计计算算曲曲面面积积分分zyxhhzzzyxdszyx :解解 dxdydzzyxdszyxga