优仕德个性教育个性化辅导方案---立体几何知识点汇总

1、优仕德个性教育个性化辅导方案辅导科目：数学 本次课时：授课教师：林鸿毅 已上课时：年级：高三 剩余课时：学生姓名：苏铭琳课题立体几何知识点汇总授课时间：月曰时备课时间：月日教学目标掌握立体几何中的基本知识跟方法重点、难点空间想象能力跟方法的应用课前检查作业完成情况：优口良口 中口 差口 建议:教学内容立体几何知识点整理（文科）直线和平面的三种位置关系:1. 线面平行2.线面相交二平行关系:1.线线平行:方法一：用线面平行实现。l /:I U 0 沖丨 m o( c 0 = m方法三：用线面垂直实现。I / m若 I _ . ,m _ :，则 I /m。方法四：用向量方法:若向量I和向量m共线且

2、I、m不重合，则l/m。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。I /m ' m u g 戸 I otI <z aJ方法二：用面面平行实现。:/ -R 二 I/。I -|方法三：用平面法向量实现。若n为平面:的一个法向量，n _ I且I二：，则I / :。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。l /I'用线面平行实现。m/ mn-口 士口亠 ：'/ :方法I, m二.且相父I', m'二：丄且相交I / :m / g« / PI, m u B且相交.垂直关系: 1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。I 丄 AC、I丄AB：I _ -AC 一

3、 AB = AAC, AB 二:-方法二：用面面垂直实现。P IIct丄B:-"：=mI _m,I2. 面面垂直:方法一：用线面垂直实现。P tI1丄aI u PJA方法二：计算所成二面角为直角。3. 线线垂直:方法一：用线面垂直实现。上m7方法二：三垂线定理及其逆定理。方法三：用向量方法：若向量丨和向量m的数量积为0，则丨_ m。三夹角问题。（一）异面直线所成的角：（1）范围:(0：90（2）求法:方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交,找到夹角。步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）余弦定理：cos 日=a2 +b2 -c22abb（计算结果可能是其补角）方法二：向量法。转

4、化为向量的夹角（计算结果可能是其补角）：cos 日=AB ACAB AC（二）线面角于0,连结A0,则A0为斜线PA在面内的射影,（1）定义：直线l上任取一点P （交点除外），作P0_PAO （图中二）为直线I与面所成的角。范围：0,90当V -0时，丨二：Z或l / :当二=90时，丨_ ：（3）求法：方法一：定义法。步骤1作出线面角，并证明。步骤2:解三角形，求出线面角。（三）二面角及其平面角（1）定义：在棱I上取一点P,两个半平面内分别作I的垂线（射线）m、n,则射线m和n的夹角二为二面角范围：0 ,180（3）求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。步骤

5、2:解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1:如图，若平面 POA同时垂直于平面和1，则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。步骤2:解三角形，求出二面角。方法三：坐标法（计算结果可能与二面角互补）。步骤一：计算步骤二：判断二与：:ni % 的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1 .点面距。方法一：几何法。步骤1:过点P作PO.lt于0,线段PO即为所求。步骤2:计算线段P0的长度。（直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法 ）2. 线面距、面面距均可转化为点面距。3. 异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。m与平如图，m和n为两条异面直线，n二：；且m ：，则异面直线 m

6、和n之间的距离可转化为直线 面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。如图，AD是异面直线 m和n的公垂线段， m/m'，则异面直线 m和n之间的距离为:d 二 c2a2 -b2 _2abcosr高考题典例 考点1点到平面的距离 例1如图，正三棱柱 abc _ABG的所有棱长都为2 , D为CC1中点.(I)求证： AB丄平面ABD ； ()求二面角 a_ad_b的大小;(川)求点C到平面ABD的距离.解答过程(I)取BC中点0 ,连结AO ABC为正三角形，.A0丄BC T正三棱柱abc _AiBiCi中，平面ABC丄平面BCC ,.AO丄平面BCCiB 连结B1

7、O ,在正方形BBCiC中，O,中点，.BQ 丄 BD ,. ABi 丄 BD 在正方形 ABBi A中，AB丄AB ,. ABi丄平面 ABD D分Ci另U为BC, CCi的于F ,连结AF ,(H)设ABi与A B交于点G，在平面Ai BD中，作GF丄A D由(I)得 AB丄平面A BD . AF丄Ai D , . / AFG为二面角 A-A D -B的平面角.在厶AA D中，由等面积法可求得 AF =4 5，5又：AG AB - 2，, sin/AFG 二 AG=22 AF 4 55所以二面角 a-AD -B的大小为arcsin " 0 4（川） ABD 中，BD 二A D =

8、 5, A B =2 2, Sabd 二 6 , Sbcd = i在正三棱柱中， A到平面BCC Bi的距离为 3 设点C到平面A BD的距离为d 由 Va .cd 7 BD，得 i $ bcdL.3 JsBDd， d 二BCD = 233Ai BD点C到平面Ai BD的距离为2考点2异面直线的距离例2已知三棱锥S-ABC ,底面是边长为 4.2的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.解答过程：如图所示，取 BD的中点F，连结EF，SF，CF ,.EF 为 BCD 的中位线，.EF / CD, CD /面 SEF CD平面SEF的距离即为两

9、异面直线间的距离 又；线面之间的距离转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，BC =4 2,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,.CD =2、6,EF 二 1 CD26,DF = J,SC =2Vshf = 1 1 EF DF3 2SC162 233 23在 Rt SCE中，SE=、SC2 CE2 =2 3在 Rt SCF 中，SF h SC2 CF224 2 =$30又；EF = .6,. S sef -31由于 V2EF3 'S SEFh，即-3h =直3，解得332、332晶故CD与SE间的距离为3考点3直线到平面的距离例3.如图，在棱长为2的正方体 AC

10、1中，G是AA的中点，求BD到平面GBiDi的距离.解答过程：解析一；BD /平面GB1D1 ,1思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解-BD上任意一点到平面 GBiDi的距离皆为所求，以下求点0平面GB.| D1的距离，B1 D - AiC1, B1D - AiA , B1 D -平面 A ACC1,又 B1D1 -平面GBQ1-平面A| ACC GB1D1，两个平面的交线是O1G ,作°H OiG于H，则有OH 平面GBi Di，即OH是O点到平面GBi Di的距离.在：Oi OG 中，S oqg =2 Oi O AO-2. OH 當1 Il又 S -Oi

11、OGOH OiG3 OH2 2即BD到平面GBiDi的距离等于2 63解析二 BD /平面GBiDi,.BD上任意一点到平面 GBiDi的距离皆为所求，以下求点 B平面GBiDi的距离.设点B到平面GBiDi的距离为h，将它视为三棱锥 B - GBiDi的高，则Vb _GBiDi =VDi _gbbi，由于 S GBiDiJ 2、2 .3=6,2VDi _GBBih 二 4v'63即BD到平面GBD的距离等于2.63(II)求异面直线 AO与CD所成角的大小.所以求线面距离关键是小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离 选准恰当的点，转化为点面距离 本例

12、解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距考点4异面直线所成的角 例4如图，在Rt AOB中， OAB = n，斜边AB = 4 . Rt AOC可以通过RtA AOB以直线AO为轴旋转得6到，且二面角B-AO-C的直二面角.D是AB的中点.(I)求证：平面COD _平面AOB；解答过程：(I)由题意，CO AO, BO A0, - BOC是二面角B-AO-C是直二面角，CO BO，又AOlBO =O , CO 平面 AOB ,又CO 平面COD .平面COD 平面AOB .(II)作DE 0B，垂足为E，连结CE (如图)，则DE / AO ,.CDE是异面直线 AO与CD

13、所成的角.在 Rt COE 中，CO 二 BO =2 , OE=1BO=1， CE = CO2 OE2 = 5 2又 DE 二1 AO = 3 在 RtCDE 中,tanCDE = CE =、5 = 15 .2DE 733.异面直线AO与CD所成角的大小为arctan3小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法同时要特别注意异面直

14、线所成的角的范围：'o三1.1，2考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥S - ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC_底面ABCD .已知/ ABC =45）, AB = 2 ,BBC =2 *2, SA 二 SB 二 3 .（I）证明SA_BC ； （n）求直线SD与平面SAB所成角的大小. 解答过程：（I）作SO丄BC ,垂足为O,连结AO ,由侧面SBC丄ABCD，得SO丄底面ABCD .因为SA二SB，所以AO二BO ,又Z ABC =45：,故 AOB为等腰直角三角形，AO丄BO,由三垂线定理，得 SA丄BC.（n）由（I）知 SA丄BC，依题设AD / BC ,

15、故 SA丄 AD，由 AD 二 BC =2- ；2 , SA = “3 , AO 二 2 , 得 SO=1 , SD=1. SAB 的面积 sJasa2_1aB2连结 DB，得 DAB 的面积 S2 =ABLADsin135 =22设D到平面SAB的距离为h，由于 Vab2 YI2 丿= Vsbd，得lS, nSOSa，解得 h = J23 3设SD与平面SAB所成角为则sin -，h =鼻22 .SD 佑 11 所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin-丝.11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造一

16、一作出斜线与射影所成的角，证明一一论证作出的角为所求的角，计 算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面所成的角的值考点6二面角例 6.如图，已知直二面角_ PQ 一 一：，A PQ , B , C 一：，CA 二 CB ,BAP =45，直线CA和平面所成的角为30 .( I)证明BC丄PQ(II)求二面角B-AC-P的大小.Q过程指引：(I)在平面一：内过点C作CO丄PQ于点0 ,连结0B .因为：丄一：，：门1 =PQ，所以CO丄：，又因为CA二CB，所以0A = 0B .而.BAO =45：，所以.ABO =45： , AOB =90：,从而BO丄PQ，又CO丄PQ , 所以

17、PQ丄平面OBC 因为BC 平面OBC，故PQ丄BC .(II)由(I)知，BO 丄 PQ，又：丄 1门 1 二 PQ ,BO ,所以BO丄过点O作OH丄AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH丄AC 故.BHO 是二面角B - AC - P的平面角.由(I)知，CO丄，所以 CAO是CA和平面所成的角，贝U . CAO =30：,不妨设 AC =2，则 AO =、3 , OH 二 AO sin 303 .2在 Rt OAB 中, ABO=/BAO=45：,所以 BO = AO 二 3 ,于是在 Rt BOH 中,tan-BH =2 .故二面角 BACP 的大小为 arctan2 .OH V

18、32小结：本题是一个无棱二面角的求解问题解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角无棱二面角棱的确定有以下三种途径： 由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小考点7利用空间向量求空间距离和角垂足为H ,例7.如图，已知 ABCD -A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA上，点F在CC1上，且AE二FC1 =1 .(1) 求证：E, B, F , D1四点共面；2(2) 若点 G 在 BC上, BG ，点 M 在 BB1 上, G