无穷级数习题课

1、主要内容主要内容典型例题典型例题第十一章第十一章 无穷级数无穷级数习习 题题 课课常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数正正项项级级数数交交错错级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径r r泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数一一般般项项级级数数泰勒级数泰勒级数0)(xrn为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容1.1.常数项级数审敛法：常数项级数审敛法：正项级数正项级数交错级数交错级数一般项级数一般项级数 1. 若若 则级数收敛则级数收敛. 2. 当当 的极限不为零，则级数发散的

2、极限不为零，则级数发散. 3. 按基本性质按基本性质 4. 充要条件充要条件 5. 比较法比较法 6. 比值法比值法 7. 根值法根值法 4.莱布尼茨莱布尼茨 定理定理4. 绝对收敛绝对收敛ssnnun时，时， 2.2.函数项级数的收敛域与和函数函数项级数的收敛域与和函数 4. 4.幂级数展开式（泰勒级数与麦克劳林级数）幂级数展开式（泰勒级数与麦克劳林级数）3.3.幂级数的收敛性及其运算性质幂级数的收敛性及其运算性质 展开方法：展开方法：a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )b.间接法间接法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfa

3、nn 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛域内收则级数在收敛域内收b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxx

4、x 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nn

5、n.1limaunnn ,1101时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnl

6、nlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn( )ln(),f xxxx 1),1(011)( xxxf,), 1(上单增上单增在在,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收敛域为收敛域为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs

7、.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(

8、1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x一一、 选选择择题题: :1 1、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) 11nn； ( (b b) ) 11nnn； ( (c c) ) 1321nn； ( (d d) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) 11)45( nn； ( (b b) )11)54( nn； ( (c c) )111)45()1( nnn

9、； ( (d d) ) 11)5445(nn. .测测 验验 题题3 3、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( )( ) (a) (a) 1222) !(nnn； (b) (b) 1!3nnnnn； (c) (c) 22sin1nnn； (d) (d) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和数列、部分和数列 ns有界是正项级数有界是正项级数 1nnu收敛的收敛的 ( ( ) ) (a)(a)充分条件；充分条件； (b) (b)必要条件；必要条件； (c)(c)充要条件；充要条件； (d) (d)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 . .5 5、设、设a为非零常数为非零常数, ,

10、则当则当( )( )时时, ,级数级数 1nnra收敛收敛 . . (a) (a)1 r； (b) (b)1 r； (c) (c)ar ； (d) (d)1 r. .6 6、幂级数、幂级数 11)1()1(nnnnx的收敛区间是的收敛区间是( ).( ). (a) (a) )2 , 0(； (b) (b) )2 , 0； (c) (c) 2 , 0(； (d) (d) 2 , 0. .7 7、若幂级、若幂级 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为:1r 10r; ; 0nnnxb的收敛半径为的收敛半径为:2r 20r, ,则幂级数则幂级数 0)(nnnnxba的收敛半径至少为的收敛半径至少为(

11、)( ) (a)(a)21rr ； (b) (b)21rr ； (c)(c) 21,maxrr； (d) (d) 21,minrr . .8 8、当、当0 k时时, ,级数级数21)1(nnknn 是是( )( ) (a) (a)条件收敛；条件收敛； (b) (b)绝对收敛；绝对收敛； (c) (c)发散；发散； (d) (d)敛散性与敛散性与值无关值无关k. .9 9、0lim nnu是是级级数数 1nnu收收敛敛的的( ( ) ) ( (a a) )充充分分条条件件； ( (b b) )必必要要条条件件； ( (c c) )充充要要条条件件； ( (d d) )既既非非充充分分又又非非必必

12、要要条条件件 . .1 10 0、幂幂级级数数 1)1(nnxnn的的收收敛敛区区间间是是( ( ) ) ( (a a) ) )1,1( ； ( (b b) ) 1,1( ； ( (c c) ) )1,1 ； ( (d d) ) 1,1 . .二、二、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: : 1 1、 1222) !(nnn； 2 2、 1223cosnnnn . .三、判别级数三、判别级数 11ln)1(nnnn的敛散性的敛散性 . .四、求极限四、求极限 )2(842lim312719131nnn . .五、五、 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: :1 1、 153nnnnxn； 2 2、 122nnnxn. .六、六、 求幂级数求幂级数 1)1(nnnnx的和函数的和函数 . .七、七、 求数项级数求数项级数 12!nnn的和的和 . .八、八、 试将函数试将函数2)2(1x 展开成展开成的幂级数的幂级数x. .测验题答案测验题答案一、一、1 1、b b； 2 2、b b； 3 3、c c； 4 4、c c； 5 5、d d； 6 6、c c； 7 7、d d； 8 8、a a； 9 9、b b； 10 10