汽车行驶问题

1、汽车行驶问题问题一：曲率限制的停车问题 一辆汽车静止于a处，要开到与车身垂直的b处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短？ab背景知识 从a点行驶到b点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率k不能太大或者曲率半径r不能太小。（可以以火车转弯的轨道来想象）问题二：汽车绕行rxy(x3,y3) 汽车从a地出发，到河边取水送往b地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)a(x2,y2)bo已知 a,b即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路。问题三：停车问题1psalmbcdqr 如图所示，

2、有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asin,其中，02a，即b距a超过汽车的最小转圈；2、如果|ab|2a 当a距离b较远时，从a行驶到b的最短路径与ab线段维成一个向外凸的区域。否则，如右图所示，汽车最短路径为acdeb曲线。而此区域的凸包aceb明显比acdeb路径短，矛盾。abcde图5 凸包示意图aboca汽车从a要行驶到b，首先要转向，而转向中，以最小半径a转动行驶距离最短，当转到c点时，沿着c切向行驶到b，|bc|是直线最短路径的距离，注意到条件6，汽车不能在aoc内行驶，故|ac|是汽车转向最短路径。 所以，凸曲线（路径）acb就是满足条件的最短路径。其余凸路线必须

3、为于acb以外，其路径长度必定大于acb的长度。2、|ab|2a 从a到b的距离小于汽车最小转动圈的直径时，汽车从a点开始朝同一个方向只是转动时，始终到达不了b(最小转动半径决定）。图6 先转再直行驶图aobyxcabo1图7 b在最小转动圈内（1） 注意到汽车不能倒车，就只有两种方案可选。（1）汽车先朝y正向开到c点，而从c点到b点刚好在最小转动圈上，即可沿着转动圈行驶到b。如图7所示。则行驶路径长度为aaabarcsin23)ab(a|cb|ac|s22 7（2）汽车从a先向左反向沿着最小转动圈行驶至c，c与b恰好位于一个右向最小转动圈上，再沿着次圈行驶到b即可。见图8aaaabba图8

4、汽车先左后右的转圈到达bc根据图示，汽车路径的长度为a)sinabaarcsin(2a)2(|cb|ac|s其中，ab4a4bab2a4arcsos2228可以证明：s s 由此可见，当|ab|2a时，选择图8行驶方式，路经最短，路经有曲率k=-1/a和k=1/a（开始左转向再右转向行驶）两个圆弧构成的路径最优。作业1：停车问题psalmbcdqr 如图所示，有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asin,其中，0/2.第三个圆与这两个圆相切。做圆a，b的另一侧公切线cd。 若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题。（1）车停于p处，车头朝上，要行驶到s处，什么路径最短？（2）汽车停于l处，车头向上，要行驶到m出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒车？（3）汽车停于c，车头朝上，要行驶到p处车头朝上，什么路径最短，如果可以倒车呢？palmbcdqrpalmbcdqrsspsalmbcdqr作业2 停车问题ab12 驾驶一辆车从a处到b处，在a处与a