第八章第4节空间曲线及其方程29395

1、1第一节、向量及其线性运算第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第三节、曲面及其方程 第第8 8章章 本章内容：本章内容：第二节、数量积第二节、数量积 向量积向量积 混合积混合积* *第八章第八章 空间解析几何空间解析几何 与向量代数与向量代数第四节、第四节、空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程第六节、空间直线及其方程2空间曲线及其方程第四节一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影四、小结四、小结3一、空间曲线的一般方程一、空

2、间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线, ,其一般方程为方程组其一般方程为方程组 0),(0),(zyxgzyxf2sl0),(zyxf0),(zyxg1s例如例如, ,方程组方程组 632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线l.l.xzy1ol2交线交线l l上的任一点上的任一点),(zyxm由于它既在曲面由于它既在曲面s s1 1上，又在上，又在s s2 2上，故其坐标同时满足上，故其坐标同时满足上面两个方程即满足方程组。上面两个方程即满足方程组。4又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线l. l.

3、022222xayxyxazyxzao又如又如, ,方程组方程组 325222zzyx表示球心在原点，半径为表示球心在原点，半径为5 5的球面的球面半径为半径为4 4。与平面与平面 的交线，它是在平面的交线，它是在平面3 z 上的一个圆，圆心为（上的一个圆，圆心为（0,0,30,0,3）3 z5 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程6 动点从动点从a点出点出发，经过发，经过t时间，运动到

4、时间，运动到m点点 a mm m在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxm tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo7螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距, 2 8例例2. 2. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: : 6321)1(22zxyx 0)2(22222xayxyxaz解

5、解: : (1) (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , , txcos tysin )cos26(31tz (2) (2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx 故所求为故所求为得所求为得所求为txaacos22 tyasin2 tazcos2121 )20( t)20( t9三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 0),(0),(zyxgzyxf:投影曲线投影曲线xyzo.,垂足所构成的曲线垂足所构成的曲线上各点向坐标面作垂线上各点向坐标面作垂线从曲线从曲线c准线准线投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线10zyxc1o例如例如

6、c c 在在xoyxoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 002222zyyx ) 2(1) 1() 1() 1 (1:222222zyxzyxc（1 1）（）（2 2）得）得)3(1yz 将（将（3 3）代入（）代入（1 1）整理得）整理得11:投影曲线方程的求法投影曲线方程的求法设空间曲线的一般方程设空间曲线的一般方程 0),(0),(zyxgzyxf消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxh曲线关于曲线关于xoy 面面 的的投影柱面投影柱面空间曲线在空间曲线在xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线 00),(zyxh12类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义

7、空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyr 00),(yzxt面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 0),(0),(zyxgzyxf13例例3 3 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx14所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线

8、在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z15交线方程为交线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,例例416（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx 0222zyxxzy17补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面18例例5.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线

9、为 , )(3,4:2222yxzyxzc, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去19面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyc . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在xoy. 122 yx20空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf )()()(tzztyytxx 00),(zyxh 00),(xzyr 00),(yzxt21p37 p37 题题1 1 (2)ozyxo121 x2 y(1)224yxz 0 xyxzyo2答案答案: :22(3)zxyo oaoa222azx 222ayx 23p37 p37 题题2 (1)2 (1)ozy15 xy32 xy15 xy32 xy24yz2x3思考思考: :by 对平面对平面交线情况如何交线情况如何? ?,3时时当当 b交线情况如何交线情况如何? ?,3时时当当 bp37 p37 题题2(2)2(2)19422 yx3 y25p37 p37 题题 7 7 022zaxyx 0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao263748p 习题习题p37 3，4，5（1），6, 8作业作业27思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面z