清华大学微积分高等数学课件第12讲泰勒公式的应用

1、2021-11-141复习复习：p80121预习预习: p1241332021-11-142二、泰勒公式应用举例二、泰勒公式应用举例第十二讲第十二讲 泰勒公式的应用泰勒公式的应用一、复习一、复习2021-11-143:)(0点点的的泰泰勒勒公公式式在在 xxf)()(!)()(! 2)()()()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxrxpxfnnnnn )()()(00 xxxxxrnn 之之间间与与介介于于xxxxnfxrnnn010)1()()!1()()( 一、复习一、复习2021-11-144)0()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1(

2、)(2之之间间与与在在xxnfxnfxfxffxfnnnn 注意注意 .)(,00幂幂展展开开的的就就用用点点的的泰泰勒勒公公式式xxx )()()!1()()(!)()(! 2)()()()(010)1(00)(200000之之间间与与在在xxxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnn 00 x2021-11-145 五个常用函数的五个常用函数的泰勒泰勒公式（麦克劳林公式）公式（麦克劳林公式）12)!1(!1!211 nnxxnexnxxe 12212153! )12()12(sin! )12()1(!5!3sin kkkxkkkxxxxx )(!1!2112nnxxoxnxxe )

3、(! )12()1(!5!3sin212153kkkxokxxxxx 2021-11-14622242! )22()1(sin! )2()1(!4!21cos kkkxkkkxxxx )(! )2() 1(!4!21cos12242 kkkxokxxxxnxxxxxnn 132)1(32)1ln( 11)1)(1()1( nnnnx )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 2021-11-147112)1 (! ) 1()() 1(!) 1() 1(!2) 1(1)1 ( nnnxnnxnnxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx 2021-11-148

4、)()1(11132nnnxoxxxxx 1 )(! ! )2(! ! )32()1(211121nnkkkxoxkkxx 21 )(! ! )2(! ! )12()1(211112nnkkkxoxkkxx 21 2021-11-149 求未定型极限求未定型极限 确定无穷小量的阶确定无穷小量的阶二、泰勒公式应用举例二、泰勒公式应用举例 近似计算：近似值、近似公式近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 局部应用局部应用 区间区间应用应用皮亚诺型余项皮亚诺型余项拉格朗日型余项拉格朗日型余项2021-11-1410200000)(!2)()()()(xxxfxxxf

5、xfxf nnxxnxf)(!)(00)( 有有时时当当,00 xnnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 两两个个公公式式的的误误差差分分别别为为时时当当,)()1(mxfn 110! ) 1()(! ) 1()( nnnnxnmxrxxnmxr和和（一）近似公式（一）近似公式 弃去余项，得近似公式弃去余项，得近似公式2021-11-14110)()1(0 xexfxnxxnxxe!1!2112 例如：例如：1)!1()( nnxnexr 误差误差!1!2111ne )!1(3)( nxrn误差误差2021-11-1412! ) 12() 1(!5!3sin1215

6、3 kxxxxxkk0sin)()2(0 xxxf2) 12(sin! ) 12()(122 kkxxrkk误差误差! ) 12()(122 kxxrkk例如：例如：xx sin 要使误差小于要使误差小于0.001，问公式的适用范围？，问公式的适用范围？101817. 0001. 063 xx2021-11-1413.10,14 使使误误差差不不超超过过的的值值近近似似计计算算数数例例e! ) 1(!1! 21111 nenex 令令.10?4 nrn才才可可以以使使误误差差问问：取取解解nxxnxxe!1!2112 410! )1(3 nrn7, n只只需需取取经经试试算算!71!2111

7、e7182. 2718254. 2000198. 0001389. 0008333. 0041667. 0166667. 05 . 2 多取两位！多取两位！2021-11-1414似似上上用用一一个个三三次次多多项项式式近近在在区区间间例例41, 0231)1 ()( xxf令令)(34!21311)1(22231xrxxx .,13并并估估计计误误差差xx )10()1(3 !3741)(310332 xxxr其其中中得得取取的的展展开开式式利利用用,31,)1( x解解2021-11-1415所所以以32392311xxxxx 41, 0 x误误差差为为310432)1(3!374)(xx

8、xxr 3431000068. 0413 !374 2021-11-1416利利用用四四阶阶近近似似公公式式例例 36sin3xxx ?,0001. 0,sin问问公公式式的的使使用用范范围围若若要要求求精精确确到到时时近近似似计计算算x仍仍然然从从误误差差估估计计入入手手0001. 01201!51! 5)cos(5554 xxxxr 解解4129.0 x解解得得利利用用四四阶阶近近似似公公式式即即,6sin3xxx .0001. 05 .234129. 0,sin误误差差可可小小于于限限制制角角度度时时计计算算 xx2021-11-1417)sin()(cos11lim4222022xex

9、xxxx 求极限求极限例例)(42121114422xoxxx 解解（二）求未定型极限（二）求未定型极限)(241211cos442xoxxx )(2114422xoxxex 利用皮亚诺型余项泰勒公式利用皮亚诺型余项泰勒公式 2021-11-1418)sin()(cos11lim222022xexxxxx 254241122354810)()(limxxoxxxoxx )()(lim542354810 xoxxoxx 2522524258220)(1 )(1)(1 1lim442422xxoxxoxoxxxxxxx 121 2021-11-1419)1ln()13()1(11lim5320 x

10、exxxxx 求极限求极限例例)(31113232xoxx 解解)(1xoxex 利用皮亚诺型余项泰勒公式利用皮亚诺型余项泰勒公式 2320320)3(ln) 1(11lim)1ln() 13() 1(11limxexxxexxxxxxx 232310)()(lim3ln1xxoxxxoxx 3ln32)(lim3ln1222320 xxoxx2021-11-1420)1ln()13()1(11lim:31320 xexxxxx 将将题题目目改改为为思思考考23132031320)3(ln) 1(11lim)1ln() 13() 1(11limxexxxexxxxxxx 23132310)()

11、(lim3ln1xxoxxxoxx 0)(lim3ln1220 xxox2021-11-1421331320)1(11lim:xexxxx 将将题题目目改改为为思思考考331320) 1(11limxexxxx 32033132310)(lim)()(limxxoxxoxxxoxxx 做不出来了！做不出来了！322213132310)()(limxxoxxxxoxx 61)(lim333610 xxoxx2021-11-1422.311)(,0,6阶阶无无穷穷小小是是对对于于时时使使当当确确定定常常数数例例xbxaxexfxbax 即即要要求求根根据据题题意意 ,0)(lim30 axxfx解

12、解时时当当0 x1)1)(1()( bxaxexfx)(1)(1 ()(!31!21133322332xxbxbbxaxxxxx 2021-11-142322)21()1()(xbabxbaxf 021012 babba)0121)(lim(21,2130 xxfbax.)(,0,21,21的的三三阶阶无无穷穷小小量量为为时时当当则则所所以以取取xxfxba )()61(3332xxbab 2021-11-1424例例7 证明不等式证明不等式 :2, 0sin2 xxx证证xxxf 2sin)( 研研究究函函数数余余项项泰泰勒勒公公式式展展开开成成三三阶阶带带拉拉格格朗朗日日在在20 x0)2

13、( f 2)2( f1)2( f0)2( fxxfsin)()4( 2021-11-142542)2(sin241)2(21)2(22sin)( xxxxxxf42)2(sin241)2(21)2(2xxx 2)2(21)2(2xx 0)2)(2(21 xx 2,0sin2 xxx即即2021-11-1426)()()(4)(,),(,0)()(,)(82afbfabfbabfafbaxf 使使得得一一点点内内至至少少存存在在则则在在且且上上二二阶阶可可导导在在设设例例得得勒勒公公式式拉拉格格朗朗日日余余项项的的一一阶阶泰泰处处展展开开成成带带和和分分别别在在将将,)(bxaxxf 证证)1()(!2)()()()(21axfaxafafxf )2()(!2)()()()(22bxfbxbfbfxf 2021-11-1427得得两两式式、代代入入取取,)2()1(,2bax 21)2(!2)()2)()()2(abfabafafbaf )2,(1baa 22)2(!2)()2)()()2(bafbabfbfbaf ),2(2bba 2021-11-1428于于是是得得由由于于,0)()( bfaf21)2(!2)()()2(abfafbaf 22)2(!2)()()2(abfbfbaf 4)(2)()()()(221abffafbf 4)(2)(