无穷小量的比较07

1、1/33) (,0 00 )1()()(lim),()( . 1则则有有定定义义，在在若若 xxxfxgaxfxfx的第一类间断点的第一类间断点是是)(0 .xgxa 的第二类间断点的第二类间断点是是)(0 .xgxb 的连续点的连续点是是)(0 .xgxc .0)( .有关有关的连续性与的连续性与在在axxgd d内有界。内有界。在区间在区间) ()2)(1()2sin()( . 22 xxxxxxf).3 , 2.( );2 , 1.( );1 , 0.( );0 , 1-.(dcbaacontinuity of function二、等价无穷小在求极二、等价无穷小在求极限中的应用限中的应用

2、一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较3/331.11.1、问题的提出、问题的提出一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较4/331.11.1、问题的提出、问题的提出无穷小的和、差、积仍为无穷小无穷小的和、差、积仍为无穷小. .无穷小的商是什么？无穷小的商是什么？引例引例: :.,2 ,02都都是是无无穷穷小小时时当当xxxx 趋向于零的趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. .结论结论: :x10.50.10.010.001002x210.20.020. 00200 x210.250.010.00010.000001005/331.11.1、问题的提出、问题的提出一、无穷小量的比较一、无穷小量的

3、比较1.21.2、两个无穷小的关系、两个无穷小的关系6/331.21.2、两个无穷小的关系两个无穷小的关系: :);(;, 0lim)1( o 记作记作高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比则称则称若若.个无穷小量个无穷小量为同一变化过程中的两为同一变化过程中的两设设、;,lim)2(低低阶阶的的无无穷穷小小量量是是比比则则称称若若 ;),1 , 0(lim)3(同阶无穷小量同阶无穷小量与与则称则称若若 cc;, 1lim)4( 记为记为是等价无穷小量；是等价无穷小量；与与则称则称若若 定义：定义：7/331.21.2、两个无穷小的关系两个无穷小的关系: :22lim)1(0 xxxxxxsin

4、lim0, 1 ).0( sinxxx引例：引例：是同阶无穷小是同阶无穷小与与时，时，在在xxx200lim)2(20 xxx的高阶无穷小的高阶无穷小是是时，时，在在xxx20)0( )( 2 xxox或或8/33例例1 1比比较较试试将将下下列列无无穷穷小小与与时时当当xx,0解：解：xx 11)1()1ln()2(x xxsin)3()1()4(2 xx)11(2lim11lim) 1 (00 xxxxxxxxx 1 )0( 11 xxxxxxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim)2( )0( )1ln( xxx1 9/33xxxxxxxxsinlimsinlim)3(00 的低

5、阶无穷小的低阶无穷小是是时，时，在在xxxxsin0例例1 1比比较较试试将将下下列列无无穷穷小小与与时时当当xx,0解：解：xx 11)1()1ln()2(x xxsin)3()1()4(2 xx) 1(lim) 1(lim)4(020 xxxxxxx0 的的高高阶阶无无穷穷小小是是时时，在在xxxx)1(02 10/331sincos1lim20 xaxx例例2 2解：解：._)0( sincos12 axxax则则若若由题意知：由题意知：即即xaxxaxxx22020sin2sin2limsincos1lim xxxaxx22220sin)2()2(2sin2lim xxxxax2222

6、0sin)2(2sin21lim a21 1 21 a2111/331)1(lim11lim00 ntnxtntnxx例例3 3证：证：. 11,0 :nxxxn 时时证证明明txn 11 令令1)1( ntx则则1!2)1(1lim20 ntttnnnttn10!2)1(1lim ntttnnnn11 nn. 11,0nxxxn 时时12/331.11.1、问题的提出、问题的提出一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较1.21.2、两个无穷小的关系、两个无穷小的关系二、等价无穷小在求二、等价无穷小在求极限中的应用极限中的应用2.12.1、等价无穷小因子、等价无穷小因子替换法替换法13/33.li

7、mlimlimlim, 有有存存在在的的情情况况下下则则在在极极限限在在同同一一变变化化过过程程中中设设定定理理证证 lim)lim( )lim( .lim 注意：注意： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限价无穷小代换，而不会改变原式的极限2.12.1、等价无穷小因子替换法、等价无穷小因子替换法 lim)lim( )lim( .lim 14/33.)()(lim)()(lim)()(lim)()(lim, 1xgxfxgxfxgxfxg

8、xf 则则有有在在同同一一变变化化过过程程中中设设推推论论替换方法：替换方法：要么替换整个分子（分母），要么替要么替换整个分子（分母），要么替换分子（分母）中的因子换分子（分母）中的因子).(lim)(lim , 2xfxf 则则有有在在同同一一变变化化过过程程中中设设推推论论证证:)(lim)(limxfxf )(limxf 15/33常用的几个等价无穷小常用的几个等价无穷小: :,0时时当当 xxxxxxxxxarctan ,arcsin ,tan ,sin )1(;111 )5(xnxn ;21cos1 ) 2(2xx ;1 ) 3(xex ;)1ln( )4(xx )0(1)1 ( m

9、mxxm);1, 0(ln1 aaaxax16/33注意：注意：不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .无穷小代换原则：无穷小代换原则：乘除可以替换，加减不能单乘除可以替换，加减不能单项替换，项替换，只能总体代换只能总体代换!2.12.1、等价无穷小因子替换法、等价无穷小因子替换法反例：反例：30sintanlimxxxx .sin,tan,0 xxxxx时时当当 30limxxxx 原式原式. 0 解解30)cos1(tanlimxxxx 原式原式.21 错解错解 33021limxxx 17/331.11.1、问题的提出、问题的提出一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较1.21.2

10、、两个无穷小的关系、两个无穷小的关系二、等价无穷小在求二、等价无穷小在求极限中的应用极限中的应用2.12.1、等价无穷小因子、等价无穷小因子替换法替换法2.22.2、等价无穷小因子、等价无穷小因子替换法应用举例替换法应用举例18/33例例1 1解解: :xxxxxx00limsin)1ln(lim xxxsin)1ln(lim0 xxxxx)1ln( sin,0 时时1 例例2 2解解: :xxxexxx21lim111lim00 111lim0 xexxxxxexx2111 1,0 时时2 19/33例例3 3xxxxarcsinsin)1(lim0 解：解：.arcsin,sin,0 xx

11、xxx时时当当 xxxxxxxx)1(limarcsinsin)1(lim00 . 1 )1(lim0 xx例例4 4解解: :xxxxxx53lim5tan3sinlim00 xxx5tan3sinlim053 20/33例例5 5xxxcos12tanlim20 22021)2(limxxx . 8 例例6 6xxexxcos1)1ln(lim0 解：解：xxexxcos1)1ln(lim0 . 2 例例7 7)1(lim1 xxex解：解：)1(lim)1(lim1xxexxxx . 1 20)(21limxxexx )00( 型型)0(型型 21/33例例8 8解解: :20021si

12、n21lim1cos1sin1limxxxxxxxx 1cos1sin1lim0 xxxx1 例例9 9解解: :由题意知：由题意知：xaxxcos11)1(lim3120 ._,cos11)1(0312 axaxx则则时，时，若若2202131lim xaxx 1 a32 23 a23)00( 型型22/33例例1010)cos1(cos1lim40 xxxx 解：解：)cos1(1cos11lim)cos1(cos1lim4040 xxxxxxxx 注：有些问题先恒等变形创造条件，再替换。注：有些问题先恒等变形创造条件，再替换。)00( 型型20)(21)1(cos41limxxxx 22

13、0212141limxxx 41 23/33例例1111xxxexcos1120)1(lim 解：方法解：方法1 1xexexxxxxxxxexexcos1120cos112022)1(lim)1(lim )1(型型 2e 22221120)1(limxexexxxxxex 方法方法2 2xxxexcos1120)1(lim 22021limxexxxe 2e xexxxecos1)1ln(lim20 24/33例例1212xxx2cos124lim20 解：解：xxxxxx2cos1)1)41(1(2lim2cos124lim2020 )00( 型型81 220)2(21)41(212lim

14、xxx 25/33一、关于求极限的几个要注意的问题一、关于求极限的几个要注意的问题1.1.先判断极限类型，根据不同类型采取不同的方法；先判断极限类型，根据不同类型采取不同的方法；2.2.求极限之前，要尽可能简化极限表达式。求极限之前，要尽可能简化极限表达式。常用方法有：常用方法有：(1)(1)先先“替换替换”等价无穷小的因子；等价无穷小的因子；(2)(2)对极限为非零常数的因子，可以用其极限值对极限为非零常数的因子，可以用其极限值进行进行“置换置换”。例如：例如：xxexxsin)cos2(1lim20 xexxsin31lim20 3232lim0 xxx26/33注意注意: 不是因子（加减

15、的情形），不能不是因子（加减的情形），不能“置换置换”!例如：例如：2201sincoslimxxxx 11sin1lim220 xxx )1cossin(lim1sincoslim2220220 xxxxxxxxx 21211 27/33例例1 1)1ln()cos1(1cossin3lim20 xxxxxx )00(解：解：)1ln()cos1(1cossin3lim20 xxxxxx xxxxx 21cossin3lim20 xxxxxxx 21coslim2sin3lim200 xxxxxx1cos2lim23lim00 23023 28/33例例2 2)2ln(cos)tan(sin

16、)13)(cos1(lim20 xxxxx )00(解：解：)2ln(cos)tan(sin)13)(cos1(lim20 xxxxx )12cos1ln()tan(sin)cos1()13)(cos1(lim20 xxxxxx)12(cos23ln221lim20 xxxxx220)2(213ln21limxxx 43ln 29/33例例3 3._)(lim, 211sin)(1lim030则则若若xfexxfxxx 解：解：11sin)(1lim30 xxexxf)00(xxxfx3sin)(21lim0 )(lim610 xfx 2 12)(lim0 xfx1230/33二、含参变量极限

17、表示的函数二、含参变量极限表示的函数参变量：参与某种运算的一个变量，简称参量。参变量：参与某种运算的一个变量，简称参量。且当参变量取不同数值时，计算结果也不相同。且当参变量取不同数值时，计算结果也不相同。一般计算结果可表示为参变量的函数。一般计算结果可表示为参变量的函数。处理方法：运算时，将参变量暂时看成常数。处理方法：运算时，将参变量暂时看成常数。例例1 1)(,)1(lim)(tfxtttftxx求求已知已知 极极限限变变量量：x参参变变量量：t2)1(lim)(ttxxxtttf 解解：2tte 31/33例例2 2) )(,11lim)(2xfxxxfnn则则设设 1 )1( x. 1

18、. ;0.1. ;. xdxcxba有有间间断断点点有有间间断断点点；有有间间断断点点不不存存在在间间断断点点xxxxfnn 111lim)(21 )2( x011lim)(2 nnxxxf1 )3( x11111lim)1( , 12 nnfx0)1(1)1(1lim)1( 12 nnfx32/33例例2 2) )(,11lim)(2xfxxxfnn则则设设 . 1. ;0.1. ;. xdxcxba有有间间断断点点有有间间断断点点；有有间间断断点点不不存存在在间间断断点点 1 01 11 01 1)(xxxxxxfbxy01 1)(xfy 33/33作业：作业：第第8080页页 3(2)(

19、4)(5)(7)3(2)(4)(5)(7). . 34/33一、基本概念：一、基本概念：).,(axfaxf.a ；xfxfaxf. a ；xfxfaxf.xxxxxxxxx0)()(lim3)(lim)(lim)(lim2)(lim)(lim)(lim1000 000 ;xxxxxxxxx什么时候解题要分别考虑单侧极限？什么时候解题要分别考虑单侧极限？35/33,sin1lim ,lim0 xxeeeexxxxxx 0,0/sin01)( xxxxxxxf （1 1）指数函数，绝对值函数以及偶次根式函数通常）指数函数，绝对值函数以及偶次根式函数通常要分别考虑两个单侧极限是否存在；要分别考虑两

20、个单侧极限是否存在； （2 2）如果是分段函数的分界点，而且在分界点的两）如果是分段函数的分界点，而且在分界点的两侧函数表达式不同，则要分别考虑左极限与右极限。侧函数表达式不同，则要分别考虑左极限与右极限。例如例如36/334 4、无穷小量与无穷大量的概念与性质、无穷小量与无穷大量的概念与性质5 5、连续函数的概念、连续函数的概念0lim ),()(lim)(0000 yxfxfxxfxxxx处处连连续续在在 价价无无穷穷小小概概念念高高阶阶、低低阶阶、同同阶阶、等等量量互互为为倒倒数数非非零零无无穷穷小小量量与与无无穷穷大大仍仍为为无无穷穷小小无无穷穷小小与与有有界界变变量量乘乘积积37/337 7、函数