传染病的随机感染模型

1、传染病的随机感染模型问题提出人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者） ，任何两人之间 的接触是随机的， 当健康人和病人接触时健康人是否被感染也是随机 的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎么样估计 平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？ 模型假设我们不对传染病的感染机理和人群的接触状况做具体分析， 而提 出如下的一般化假设：1. 人群只分析任何健康人两类，病人数和健康人数分别记为 i 和 s ，总数 n 不变，即：i+s=n2. 人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同的概率，每 人每天平均与m人接触。3. 当健康人与一病人接触是，健康人被感染的概率为 。这里

2、涉及到 4 个独立参数 n、 i 、m、 。其中 n 和 i 通常是知道 的，m和 也可以根据数据或经验获得。模型分析 建模的目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数 n、i 、m、 的关系，为此显然只需知道一健康人每天被感染的概率， 而健康人只要至少被一名病人接触并感染， 这个健康人即被感染， 所 以先要求出一健康人被一名指定病人接触并感染的概率。 这个概率可 由一健康人被一名指定病人接触的概率乘以接触时感染的概率得到。模型构成记假设2中任何两人接触的概率为p,这就是一健康人与一名指定病人接触的概率。由两两接触的相互独立性，一健康人每天接触的 人数服从二项分布，根据假设2这个分布的平

3、均值是 m利用二项分 布的基本性质并注意到人群总数为 n，我们有(1)m (n 1) p于是(2)再记一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为pi，则由假设3及（2）式得PiP m（ 3）n 1为求出一健康人每天被感染的概率（也就是至少被一个病人感染的概率）P2，我们利用概率论中常用的计算对立事件概率的方法得mP2 1 （1 P1）i 1 （1）i（ 4）n 1健康人被感染的人数也服从二项分布，其平均值，即健康人每天平均被感染人数，显然为（并利用（1）式）s P2 (n i)P2（5）均方差为.SP2（1P2） P2（1P2）（n i）（6）为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行简化。

4、因为通常n m, n 1，取（4）式右端展开级数的前两项,P21(1minmin(7)最后得到mi(n i) n(8)1 P2n mi,(n i)p2mi(n i)(9)（8）式给出了健康人每天平均被感染人数和n、i、m 的关系，（9）式可看作对平均值 的相对误差的度量。模型解释由（8）式可以看出，健康人每天平均被感染的人数 与人群中 每人每天平均接触的人数 m以及接触时被感染的概率 成正比，并且 随着人群总数n增加而增加，这都符合常识的。至于 与病人数i的 关系，（8）式表明当i很小或很大（甚至接近n）时 都很小，而当i号 时 最大，这个结果合理吗？思考！为了有一个直观的了解，给出几组数字结果。设m 20, 0.1，对于不同的i，计算和/，见下表：i与、/的计算结果i0.1 n0.05 n0.01 n0.18 n0.95 n0.0198 n随着i的增加，增加而相对误差/减少；当丄固定而n变大时，/n也减少。比如当i=0.05n, n=10000 时能以95%的置信区间给出，每 天平均被感染的人数为950,相对误差约为6%左右。评注这个模型完全建立在对于人群之间的接触、感染这样一些随机事件的概率假设的基础上，虽然看来这些假设与实际情况有差异， 但是 在对传染病的传染没有掌握进一步