第十章1曲线积分

1、曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的曲面积分的概念，给出计算

2、方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍中心内容，此外还要介绍 green 公式、公式、gauss公式公式 和和 stokes 公式，这些公式揭示了存在于公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。各种积分之间的某种联系。重点重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法green公式、公式、gauss 公式公式曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件难点难点第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算基本要求基本要求 正确理解曲线积分和曲面积分概念正确理解曲线积分和曲面积分概念熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算

3、方法掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、性质、计算方法上的异同性质、计算方法上的异同掌握第二型曲线积分与路径无关的条件掌握第二型曲线积分与路径无关的条件牢固掌握牢固掌握green公式及其成立条件公式及其成立条件牢固掌握牢固掌握 gauss 公式及其成立条件公式及其成立条件对弧长的曲线积分及其计算对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量. sm oxyab1m2m1 imim1 nml),(ii 分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.

4、),(1 niiiism 近似值近似值取极限取极限.),(lim10 niiiism 精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinlmmmllyxfxoyl并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l.),(lim),(,),(,),(,010

5、niiiillsfdsyxfdsyxflyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的积分弧段积分弧段被积函数被积函数积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( ldsyxm 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 ldsyxflyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 )

6、,(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121llll 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 ldsyxflyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数4.性质性质 .),(),(),(),()1( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换换：换弧微元：换弧微元定限定限：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积