第八章常微分方程的数值解

1、第八章第八章 常微分方程的数值解常微分方程的数值解第八章第八章 常微分方程的数值解常微分方程的数值解8.1 引言引言0)(),() 1 (yaybxayxfy )(,)(),()2(0ayyaybxayyxfy nybyyaybxayyxfy)(,)(),()3(000)(),() 1 (yxyyxfy2121),(),(yylyxfyxf8.2 简单的数值方法简单的数值方法一、欧拉（一、欧拉（euler）方法）方法hxyxyxxxyxyxy)()()()()(0101010由由00000)(),()(yxyyxfxy10001),()(yyxhfyxy得得hxyxyxxxyxyxynnnnn

2、nn)()()()()(111),()()(1nnnnyxhfxyxy),()(nnnyxfxy由由得得若记若记11)(,)(nnnnyxyyxy则上式可记为则上式可记为),(1nnnnyxhfyypn+1yoxx0 x1x2xnp0p1p2pny=y(x)xn+1euler方法的几何意义：方法的几何意义： （euler折线法）折线法）例例: 用用euler方法求解常微分方程初值问题方法求解常微分方程初值问题 yyxyxy203002()( ).并将数值解和该问题的解析解比较。并将数值解和该问题的解析解比较。21)(xxxy解析解：解：解：euler方法的具体格式：方法的具体格式：yyhyxy

3、nnnnn122()xn y(xn) yn yn-y(xn)0.00000.20.19230.20000.00770.40.34480.38400.03920.60.44120.51700.07580.80.48780.58240.09461.00.50000.59240.09241.20.49180.57050.07871.40.47300.53540.0624取取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2,15), f(x,y)=y/x 2y2 计算中取计算中取f(0,0)=1. 计算结果如下：计算结果如下：xn y(xn) yn yn-y(xn)1.60.44940.49720.0478

4、1.80.42450.46050.03592.00.40000.42680.02682.20.37670.39660.01992.40.35500.36980.01472.60.33510.34590.01082.80.31670.32460.00793.00.30000.30570.0057由表中数据可以看到，微分方程初值问题的数值解和解由表中数据可以看到，微分方程初值问题的数值解和解析解的误差一般在小数点后第二位或第三位小数上，这析解的误差一般在小数点后第二位或第三位小数上，这说明说明euler方法的精度是比较差的。方法的精度是比较差的。00.511.522.5300.20.40.60.8

5、o : 数值解；数值解； : 准确解准确解 数值解和解析解的图示比较如下：数值解和解析解的图示比较如下：xn, xn+1dxxyxfxyxynnxxnn1)(,()()(1)(,()(,(1nnxxxyxfhdxxyxfnn),(1nnnnyxhfyyxnn)(,()(,(111nnxxxyxfhdxxyxfnn),(111nnnnyxhfyy得得),()0(1nnnnyxhfyy),()(11)1(1knnnknyxhfyy),(),(11)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy1)(1nknyyhl二、梯形方法二、梯形方法dxxyxfxyxynnxxnn1)(,()()(1由由

6、)(,()(,(2)(,(111nnnnxxxyxfxyxfhdxxyxfnn),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy得得),()0(1nnnnyxhfyy),(),(211)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy1)(12nknyyhl),(),(2)(11)1(1knnnnnknyxfyxfhyy由以上分析可以看出，隐式方法的计算比显式方由以上分析可以看出，隐式方法的计算比显式方法复杂，需要用迭代法求解非线性方程才能得出法复杂，需要用迭代法求解非线性方程才能得出计算结果。计算结果。可采用将显式可采用将显式euler格式与梯形格式结合使用的方格式与梯形格式结合使用的方法

7、来避免求解非线性方程。法来避免求解非线性方程。记记),(1nnnnyxhfyy再用梯形格式计算：再用梯形格式计算：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy预测预测校正校正上面两式统称上面两式统称预测校正法预测校正法，又称又称改进的改进的euler方法方法。三、单步法的局部截断误差和精度三、单步法的局部截断误差和精度),(11hyyxhyynnnnn),(1hyxhyynnnnx0开始，考虑每一步产生的开始，考虑每一步产生的误差，直到误差，直到xn，则有误差则有误差nnnyxye)(称为数值方法在节点称为数值方法在节点xn处的整体截断误差。处的整体截断误差。但但en不易分析和计算，故只考虑从不易分析和计算，故只考虑从xn到到xn+1的局部的局部情况。情况。),(,()()(11hxyxhxyxytnnnnnxn+1)(),()()(11pnnnnnhohyxhxyhxyt)(,()()(11nnnnnxyxhfxyxyt)()()(nnnxyhxyhxy)()()(2)()(2nnnnnxyhxyyhxyhxy )()(2)(2322hoxyhyhnn ),(1nnnxx)()2/(2nxyh tn+1o(h2)ynxn其中其中ynxn)()(