第十章第6节高斯公式

1、1第六节第六节 高斯公式高斯公式green 公式dxdyypxqdgauss 公式stokes 公式lqdypdx推广推广把区域上的积分与边界上的积分的联系起来2一一. 高斯高斯 ( gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成 , 的方向取外侧 , 在 上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式dxdydzzryqxprdxdyqdzdxpdydz dsrqpcoscoscos 高斯 ( gauss ) 公式 dxdydzzrrdxdy 只证函数 p( x, y, z ), q ( x, y, z ), r ( x, y, z )3),(:),(:2211yxzz

2、yxzz证明证明: 设yxdyxyxzzyxz),(, ),(),(:21zyxyxd231321dxdydzzrdzzryxzyxz),(),(21yxddxdyyxryxr) ,() ,(),(2yxz),(1yxzrdxdy yxddxdyyxr) ,(),(2yxz),(1yxzyxddxdyyxryxr ) ,() ,(),(2yxz),(1yxz又所以dxdydzzrrdxdy yxddxdyyxddxdyyxr) ,(rdxdy312 04类似可证类似可证dxdydzzrrdxdy dxdydzyqrdxdyqdzdxpdydz dxdydzzryqxpdzdxq dxdydzx

3、pdydzp 三式相加，即得所证gauss公式：若是如图所示区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干个区域， 在在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 ,故仍有5gaussgauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos(dsrqp 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯高斯 ( gauss ) 公公式式56二、简单的应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxd

4、yyx)()( 其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. .xozy113解解, 0,)(yxrqxzyp 7, 0, 0, zryqzyxp dxdydzzy)(原式原式 dzddz )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113dzzdd 301020)sin( 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式78使用使用guass公式时应注意公式时应注意:1.1.rqp,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ;2 2. .是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件; ;3.3

5、.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. .高斯高斯 ( gauss ) 公式公式892例例dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(223231.2222上半球面取下侧上半球面取下侧是是rzyx :解解.)(02221取上侧取上侧：作辅助面作辅助面ryxz 11111dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(2232311dxdydzyy)(12233421r 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式9101dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(2232131dxdyyxxyd22 ddr 020332r 1133421r 332r 334r 高斯高斯 ( gau

6、ss ) 公公式式1011xyzoh 高斯高斯 ( gauss ) 公公式式1112xydxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyd)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上使用高斯公式上使用高斯公式在在 11高斯高斯 ( gauss ) 公公式式12222:hyx13dvzyx)(21)coscoscos(222dszyx.214h xyzo h 1 xyddszyx1)coscoscos(2221222dxd

7、yzdzdxydydzxdhdh02220)(高斯高斯 ( gauss ) 公式公式130)(2dvyxzdv2dzzddhh020214 112222)coscoscos(dszdszyx xyddxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dszyx)coscoscos(222421h 4h .214h xyzoh 1 xyd高斯高斯 ( gauss ) 公式公式1415例4. 求3222()ix zx dydzx yzdzdxx z dxdy其中 为曲面21,222zyxz的上侧解: 做辅助面1:1z取下侧1:),(22yxdyxyxi11dxdydzdxdyx )(2xyd) 1(20

8、d10d221dz202cosd 103 d416三、通量与散度流量的概念流量的概念设速度场dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( sdv,rqpv 其中其中,dxdydzdxdydzsd.称为有向曲面元称为有向曲面元171、通量的定义设设有有向向量量场场kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为rdxdyqdzdxpdydzsda的电通量的电通量单位时间通过单位时间通过为电场强度为电场强度如如,esdei的磁通量的磁通量单位时间通过单位时间通过为磁感应强度为磁感应强度,b

9、sdbi18极限极限vsdamv lim存在存在, , 2. 2. 散度的定义散度的定义: :vsdamv lim 处的通量强度处的通量强度反映了在点反映了在点),(zyx高斯高斯 ( gauss ) 公公式式2019散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式sdadvzryqxp)(sdavdvzryqxpv11)(sdavzryqxp1),()( sdavzryqxpm1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,zryqxpadiv20:说明说明、散散度度是是一一数数量量。1),(zyxfu 、梯度：、梯度：2kzfjyfixfzyxgradf),(向量向量6例例kxzjxyieaxy)sin()cos(2adiv求求:解解zryqxpadiv)cos()sin(22xzxzxyxyexy高斯高斯 ( gauss ) 公公式式2221236611p习题)2(3),3(2),4 , 2( 1曲曲面面取取上上侧侧。轴轴旋旋转转所所得得绕绕）（：，其其中中）（计计算算补补充充作作业业zxayezdxdyzyzdzdxxzdydzy0,01242 22思考与练习思考与练习1. 设 为球