第十章练习题

1、主要内容主要内容典型例题典型例题第十章微分方程与差分方程第十章微分方程与差分方程习习 题题 课课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4. 4. 线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构相关定理相关定理二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分方程微分方程微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程

2、一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法变量代换法变量代换法常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法降降阶阶作作变变换换基本概念基本概念一阶方程一阶方程n n阶常系数线性阶常系数线性方程方程二阶方程二阶方程一、主要内容一、主要内容差分方程差分方程特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式的形式及特解形式及特解形式代入法代入法特征特征 根法根法待定系数法待定系数法线性方程线性方程解的结构解的结构相关定理相关定理特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式的形式及特解形式及特解形式特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法差分方程

3、解题思路差分方程解题思路一阶方程一阶方程二阶方程二阶方程代入法代入法特征根法特征根法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法1.1.微分基本概念微分基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有独立的任意常数，微分方程的解中含有独立的

4、任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解样的解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题( )d( )dg yyf xx 形如形如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法( )d( )dg yyf xx 分离变量法分离变量法2.2.一阶微分方程的解

5、法一阶微分方程的解法d()dyyfxx 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换d( )( )dyp x yq xx形如形如(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xq当当上述方程称为齐次的上述方程称为齐次的上述方程称为非齐次的上述方程称为非齐次的., 0)( xq当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为( )dp xxyce （用分离变量法）（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为( )d( )d( )dp xxp xxyeq x exc （用常数变易法）（用常数变易法）3.3.可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解

6、法),(xpy 令令特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xpxfp ,py ),(xpy 令令特点特点.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得d( ,).dppf y py d,dpypy . .线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxqyxpy形如形如定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程

7、( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211ycycy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,cc是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211ycycy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程解的结构）二阶非齐次线性方程解的结构: :)2()()()(xfyxqyxpy 形如形如定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解,

8、, 那么那么*yyy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . .二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfypypypynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微

9、分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 特征方程为特征方程为. .二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfq

10、yypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xpexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 iik差分的定义差分的定义.)1()()1()0(:).(11210 xxxxxxxyyyyyyyyyy

11、xfxfffxxfy 也也称称为为一一阶阶差差分分，记记为为的的差差分分，为为函函数数称称函函数数的的改改变变量量，将将之之简简记记为为，列列函函数数值值可可以以排排成成一一个个数数取取非非负负整整数数时时，当当设设函函数数7. 差分方程基本概念xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy 12112122)()()()(,)(即即差差分分的的一一阶阶差差分分的的的的二二阶阶差差分分为为函函数数函函数数.以上的差分以上的差分高阶差分：二阶及二阶高阶差分：二阶及二阶)(),(3423xxxxyyyy 差分：差分：同样可定义三阶、四阶同样可定义三阶、四阶差分方程与差分方程的阶差分方程与差分

12、方程的阶.,2称称为为差差分分方方程程的的函函数数方方程程含含有有未未知知函函数数的的差差分分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxf形式：形式：定义定义1定义定义2.,1的的方方程程，称称为为差差分分方方程程个个以以上上时时期期的的符符号号含含有有未未知知函函数数两两个个或或两两 xxyy)1(0),(0),(11 nyyyxgyyyxfnxxxnxxx或或形式：形式：.称称为为差差分分方方程程的的阶阶大大值值与与最最小小值值的的差差方方程程中中未未知知数数下下标标的的最最差分方程的解差分方程的解.)(该该差差分分方方程程的的解解边边恒恒等等，则则称称此此函函数数为为两两代代入入差差分分方

13、方程程后后，方方程程如如果果函函数数xy 含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解阶数相同的差分方程的解. .差分方程的通解差分方程的通解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件差分方程所附加的条件. .通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解. .初始条件初始条件差分方程的特解差分方程的特解01111 xnxnnxnxyayayayn阶常系数齐次线性差分方程的标准形式阶常系

14、数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式 xfyayayayxnxnnxnx 1111 1 2 .21方程方程阶常系数齐次线性差分阶常系数齐次线性差分所对应的所对应的为为注：注：n 0 xf8.常系数线性差分方程解的结构01111 xnxnnxnxyayayayn阶常系数齐次线性差分方程解的结构阶常系数齐次线性差分方程解的结构 1（ 是任意常数）是任意常数） 定理定理 2 2：如果：如果)(1xy, ,)()(2xyxyn， 是方程是方程(1)(1)的的 n n 个线性无关的特解个线性无关的特解, , 那么那么nnycycycy 2

15、211就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . nccc， 21,定定理理 3 3 设设*xy是是n阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程 的的一一个个特特解解, , xy是是与与( (2 2) )对对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*xxxyyy 是是n阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. . xfyayayayxnxnnxnx 1111 2定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如 而而*1y与与*2y分别是方程

16、分别是方程, , 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . xfxfyayayayxnxnnxnx211111 xfyayayayxnxnnxnx21111 xfyayayayxnxnnxnx11111 迭迭代代法法)0(01为常数为常数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy 9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解.100 xxxxcaycyyay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01ya

17、ayyxxx 特特征征根根法法)0(01为常数为常数 aayyxx 1）变变形形为为方方程程（1 )0(01为常数为常数 ayayxx .1函函数数的的形形式式一一定定为为某某一一指指数数可可以以看看出出，根根据据xxxy ）得）得，代入（，代入（设设1)0( xxy01 xxa 0 a 即即a 特征方程特征方程特征根特征根）的一个解，）的一个解，是（是（于是于是1xxay .1）的通解）的通解是（是（从而从而xxcay 2 )00)(1 xfaxfayyxx为为常常数数，.xxyy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的

18、的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyyy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 型型xpxfn )( 为为方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得设设 xy xpyaynxx 1 .1 次次多多项项式式是是次次多多项项式式，是是且且也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn(1)nnnnxbxbxbxqy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(

19、2) nnnnxbxbxbxxxqy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即综上讨论综上讨论，设设)(xqxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k 型型xpxfnx )( 101， 1类型类型 102， xxxzy 设设代入方程得代入方程得 为为方方程程 2 xpayynxxx 1 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1类型类型. xxxzy 于是于是型型xbxbxf sincos)(21 xbxbayyxx sincos211 差分方程为差分方程为(1)时时当当0sin)(cos22 ad，为待

20、定系数为待定系数令令),(sincos2121bbxbxbyx 代代入入原原方方程程得得到到11sin)(cos2bbab 221)(cossinbabb sin)(cos1211babdb 解解方方程程组组得得 sin)(cos1122babdb xbxbaayxx sincos21 通解为通解为(2)sincos(021xbxbxydx 时，令时，令当当代代入入原原方方程程得得 xbxbxbbxbbaxbbxbba sincossin)sincos(sin)(coscos)sincos(sin)(cos2112122121 的充要条件为的充要条件为注意到注意到0 d 1)12(12,0si

21、n0cosakaka 或或即即 得得为为整整数数，将将上上式式代代入入其其中中 k22112211,bbbbbbbb 或或，故故得得方方程程的的通通解解为为或或由由于于11 aa xkbxkbayxkbxkbxaytxx )12sin()12cos()1()2sin2cos(2121 或或，代代入入得得为为对对应应齐齐次次方方程程一一个个解解设设)0( xxy012 xxxba 02 ba 即即其其根根程程的的特特征征方方程程此此方方程程称称为为对对应应齐齐次次方方,24,242221baabaa .称称为为相相应应方方程程的的特特征征根根.42式式的的符符号号来来确确定定其其通通解解形形现现

22、根根据据ba 11 .二阶常系数齐次线性差分方程的求解如如下下形形式式：，此此时时的的通通解解具具有有与与有有两两个个相相异异的的实实特特征征根根21 ),(212211为为任任意意常常数数aaaayxxx (2)第二种情形第二种情形时时ba42 的的通通解解具具有有如如下下形形式式：，此此时时征征根根方方程程有有两两个个相相等等的的实实特特221a ),()2)(2121为任意常数为任意常数aaaxaayxx (1)第一种情形第一种情形时时ba42 (3)第三种情形第三种情形时时ba42 ,征征根根方方程程有有一一对对共共轭轭的的复复特特 iabiaiabia 2221421421：把把它它

23、们们化化为为三三角角表表示示式式aabbr2224tan, sin,cosrr 则则)sin(cos),sin(cos21 irir )sin(cos)sin(cos2)2(1)1( iryiryxxxxxx 解可以证明解可以证明都是对应齐次方程的特都是对应齐次方程的特)(21)(21)2()1()2()1(xxxxyyiyy 及及有有以以下下形形式式的的通通解解：也也都都是是特特解解故故可可得得具具),()sincos(2121是是任任意意常常数数aaxaxaryxx .xxyy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的

24、和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyyy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（12. 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解即方程为即方程为为常数为常数),()()1(ccxf cbyayyxxx 12.sxkxy 可可设设其其特特解解形形式式为为代代入入原原方方程程得得，即即时时，取取当当,001)kysbaix back 1bacyx 1所所求求特特解解ack 2acxyx 2此此时时有有特特解解，即即时时，取取且且当当22201)kxysabaiiix 221cxyx ，即即取取时时且且当当kxysabaiix

25、, 1,201)代入原方程得代入原方程得此时有特解此时有特解，即方程为，即方程为都是常数都是常数)1,()()2( qccqxfxxxxxcqbyayy 12.的的特特解解设设其其具具有有形形式式为为xsxqkxy ，得得其其特特解解为为取取时时当当0,0)2 sbaqqibaqqcqyxx 2得其特解为得其特解为时，取时，取但但当当1020)2 saqbaqqiiaqcxyqxx 21得其特解为得其特解为时，取时，取但但当当2020)2 saqbaqqiiiaqcxyqxx 41，即方程为，即方程为为常数为常数)()()3(ccxxfn nxxxcxbyayy 12).,()(1010为为待

26、待定定系系数数其其中中的的特特解解设设其其具具有有形形式式为为nnnsxbbbxbxbbxy ; 001) sbai时，取时，取当当; 1201) sabaii时时，取取且且当当. 2201) sabaiii时时，取取，且且当当.,其其特特解解可可确确定定定定特特解解代代入入原原方方程程分分别别就就以以上上情情形形，将将设设二、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为cossind(),dsincosyyyyyxxxyyyxxxxx ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得)

27、,cossinsincos(uuuuuuuuxu sincosd,2 cosuuuxduuux 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2cxuu ,cos2xcuu ,cos2xcxyxy 所求通解为所求通解为.coscxyxy .32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应齐次方通解为对应齐次方通解为,32cxz 一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxcz 设设代入非齐次方程得代入非齐次

28、方程得,)(232xxxc ,73)(37cxxc 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xcxy 利用常数变易法利用常数变易法.212yyy 求通解求通解例例3 3解解.x方程不显含方程不显含d,dpypypy令令代入方程，得代入方程，得2d1,d2pppyy ,112ycp 解得，解得，, 11 ycp1d1,dyc yx 即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc . 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例4 4解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexccy 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy , 1)1( y, 1)31(21 ecc,6)1()(3221xexxcccy , 1)1( y