结构力学课件9位移计算1 虚功原理与结构位移计算

1、2021-11-141第第 九九 章章2021-11-1429-1 应用虚功原理求刚体体系的位移应用虚功原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述一、结构位移计算概述产生位移的原因：（产生位移的原因：（1）荷载）荷载cc1t12tt （2）温度变化、材料胀缩）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差avbv以上都是绝对位移以上都是绝对位移以上都是相对位移以上都是相对位移广义位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便2021-11-143二、虚功原理二、虚功原理 1、实功与虚功、实功与虚功 实功实功是力在自身引起的

2、位移上所作的功。如是力在自身引起的位移上所作的功。如 t11，t22， 实功恒为正。实功恒为正。 虚功虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如是力在其它原因产生的位移上作的功。如t12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。p1p2112212荷载由零增大到荷载由零增大到p1，其作用点的位移也由零增大到，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系，对线弹性体系p与与成正比。成正比。p11p1元功：元功：再加再加p2， p2在自身引起的位移在自身引起的位移22上作的功为：上作的功为：在在12过程中，过程中，p1的值不变，的值不变，12与与p1

3、无关无关dtoabkj位移发生的位置位移发生的位置产生位移的原因产生位移的原因dpdt1111121pdtt2222221pt12112 pt2021-11-1442、计算结构位移的目的、计算结构位移的目的a、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。规定的范围，满足结构的功能和使用要求。b、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。反方向予先采取措施。c、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。供基础。(b

4、)(a)2021-11-1453、位移计算中的基本假定、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；尺寸和叠加法计算其位移；、所有约束为理想约束，即约束力不作功、所有约束为理想

5、约束，即约束力不作功。2021-11-1464、广义力与广义位移、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力s。与位移。与位移有关的因素，称为广义位移有关的因素，称为广义位移。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：t=s1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量pm2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用

6、的截面的转角。3）若广义力是等值、反向的一对力）若广义力是等值、反向的一对力pppttabba这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。表示表示ab两点间距的改变，即两点间距的改变，即ab两点的相对位移。两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶）若广义力是一对等值、反向的力偶 mabmm a b这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。表示表示ab两截面的相对转角。两截面的相对转角。bappt)(bap pbammt)(bam m2021-11-147三、虚功原理应用1、求静定结构的未知约束力例题9.1评讲单位位移法步骤：单位位移法步骤：）去掉与拟

7、求力相应的约束，并代以拟求力）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；2）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。虚位移方程并求解。3）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。2021-11-148ababc1c?p=1abcab1r2、虚力原理、虚力原理已知已知1c求求虚

8、功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态abr0bpar110cr1111cab小结：小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程；）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移2021-11-1493、支座位移时静定结构的位移计算、支座位移时静定结

9、构的位移计算（1）c点的竖向位移点的竖向位移c（2）杆）杆cd的转角的转角l3l 23labcdabcd13132abcd1l 21l2l 23已知位移已知位移ac求求:cac 03111dccacc31 02112aclacl 21 所得正号表明位移方所得正号表明位移方向与假设的单位力方向向与假设的单位力方向一致。一致。求解求解步骤步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得）解方程得kkcr 定出方向。定出方向。（2）建立虚功方程）建立虚功方程01kkcr2021-11-1410dbaaamaabadm1aaabmiiamsin1虚功方

10、程：虚功方程：01dmmdmmbaiibaqdq1aqsin1q01dqqdqq 例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面b处由于某种原因处由于某种原因产生相对转角产生相对转角d ，试求，试求a点在点在ii方向的方向的位移位移 。m 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面b处由于某种原因处由于某种原因产生相对剪位移产生相对剪位移d ，试求试求a点在点在ii方向方向的位移的位移 。q2021-11-1411 例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面b处由于某种原因产生轴向位移处由于某种原因产生轴向位移d 试求试求a点在点在方向的位移方向的位移 。nbabaii nnba 1nn由平衡条件：由平衡条件：cos1n

11、虚功方程：虚功方程：01dnndnn 当截面当截面b同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dndqdmnqmd2021-11-14129-2 9-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 变形体的位移计算变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径推导位移计算公式的两种途径由变形体虚功原理来推导；由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导由刚体虚功原理来推导局部到整体局部到整体。一、局部变形时的位移计算公式一、局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddrii ddsddsddrds

12、r1（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位移。2021-11-1413dsrdsddsddsddsdddriiddsddsddrds 1q,n,m（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：续基本思路：设续基本思路：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面b左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的形式出现，形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。dq

13、dndmdqnm或或ds)qnm(d2021-11-1414二、结构位移计算的一般公式二、结构位移计算的一般公式iids)qnm(d一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：ds)qnm(d如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：ds)qnm(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kkcrds)qnm(2021-11-1415kkcrds)qnm(适用范围与特点：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式

14、普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。2021-11-1416位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。kkcrds)qnm(1c2cdsds1t2tkk 11r2rdsddsdddsdsdsmdsndsq外虚功：外虚功：kkecr1

15、w内虚功：内虚功：dsqnmwi变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和wi ，等于荷载在位等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和we 。即：即：dsqnmcrkk12021-11-1417三、位移计算的一般步骤三、位移计算的一般步骤:1c2c1t2tkk 11r2r实际变形状态虚力状态kkcrds)qnm(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2) 求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力kr.q.n.m表达式表达

16、式;(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。kr.q.n.m2021-11-14189-3 9-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。ds)qnm(重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。、一、计算步骤一、计算步骤（1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。pppq.n.m（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变

17、，其表达式由材料力学知gaqkeaneimpppk-为截面形状系数为截面形状系数1.29101aa(3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式dsgaqqkdseanndseimmppp2021-11-1419二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1 1）梁与刚架）梁与刚架dseimmp（2 2）桁架）桁架ealnndseanndseannppp（3 3）拱）拱dseanndseimmpp2021-11-1420q2l2lacbav(a) 实际状态实际状态xp=1acb2l2l(b) 虚设状态虚设状态ac段段2lx00np0mp0qp0nxm1qcb段段lx2l0n

18、p2p2lx2qm2lxqqp0n xm1qx例例1. 试计算悬臂梁试计算悬臂梁a点的竖向位移点的竖向位移cei,av。1）列出两种状态）列出两种状态的内力方程：的内力方程：2021-11-1421ac段段2lx00np0mp0qp0n xm1qcb段段lx2l0np2p2lx2qm2lxqqp0n xm1q2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算avac段段2lx0在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。cb段段lx2lllpp2l2ldxgaqqkdxeimml2lpm2l2leidx2lx2qxdxeimm ei3

19、84ql7192l7ei2q442021-11-1422cb段段lx2l0np2p2lx2qm2lxqqp0n xm1ql2lpm2l2leidx2lx2qxdxeimm ei384ql7192l7ei2q44 l2lpq2l2lga20ql3gadx2lxq12 . 1dxgaqqkga20ql3ei384ql724qm设为矩形截面设为矩形截面 k=1.22021-11-14233）讨论）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。gaqleiqlqm20338472424223. 83847203galeieiqlgaqlmq设材料的泊松比设材料的泊松比 ,

20、 由材料力学公式由材料力学公式 。 313812ge设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，则有，则有,12bhi ,bha3代入上式代入上式22283. 11213823. 823. 8lhlhgaleimq%32. 7,51%;83. 1,101mqmqlhlh时当时当2021-11-14242p2ppm/nqp4qlp 1111.51.5-4.74-4.42-0.9pn10.50.5-1.58-1.58001.51.5n2p2p例例2 计算屋架顶点的竖向位移。计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25ladcefgb2021-11

21、-14251111.51.5-4.74-4.42-0.9pn10.50.5-1.58-1.58001.51.5nealnnpcaddcde材料杆件pnnlaealnnpealnnp钢筋砼钢ceaeegccaepl97. 1ccaepl81. 3ssaepl63. 0ssaepl13. 1ssccceaeapl13. 181. 32abcdefgp74. 458. 1l263. 0p42. 458. 1l263. 0cacaccaepl84. 1p95. 00l088. 0ca75. 00p50. 10l278. 0sa0p50. 450. 1l278. 0sa3p00. 3

22、50. 1l222. 0sa2ssaepl50. 02021-11-1426pp=1例例3：求图示曲杆（：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移圆弧）顶点的竖向位移。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载虚拟荷载虚拟荷载3）位移公式为）位移公式为ds=rddds钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构g0.4e矩形截面矩形截面,k=1.2,i/a=h2/1212001ddmnd4001dmqd2=dmnari2412=ddmqrhgareik 可见剪切变形和轴向变形可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形计。但对于

23、深梁剪切变形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2）实际荷载）实际荷载h101r如如2121rhsinprmpcospqpsinpnpsinrmsinn cosqdsgaqkqdseanndseimmppp2022023cossindgakprdeapreiprgakpreapreipr4443qnm2021-11-1427pl/2l/2eiabx1x2例例4：求图示等截面梁：求图示等截面梁b端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载m=1积分常可用图形相乘来代替2）mp 须分段写须分段写)20(2)(lxpxxmp)2(2)()(lxlxlpxmp)0()(lxlxxmlpbd

24、xeimm0llldxeilxxlpdxeilxpx2201)(2)(1)(2eipl1622021-11-14289-5 9-5 图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例kidseimmkiceidxmmei1peiydxeimm0ayei01axtgei01wbakdxxmtgei1bakmdxxtgmeii1是直线直线kidxeimm直杆直杆mimi=xtgyxmkdxxy0 x0注注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）ei=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至

25、少有一个是直线。竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积面积a与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， ay0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。2021-11-1429几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3a=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线a=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线a=hl/3二次抛物线二次抛物线a=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线a=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线a=h

26、l/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点2021-11-1430当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：方法：a）曲杆或）曲杆或 ei=ei（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求位移；b）当）当ei分段为常数或分段为常数或pl/2l/2eiabm=11/2pl/4eipllpleib162142112ql2/2mmpmpp=1lmlqabeiqlllqleib843231142例：求梁例：求梁b点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁b点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4m、mp均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。

27、2021-11-1431ppaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。papampp=13a/4meipapaaaapaeiaa24232222232213432a/2a/2paaaei343211pl/2l/2c例：求图示梁例：求图示梁c点的挠度。点的挠度。mpplcp=1l/2ml/6l6eipl123=pleic212=deipl4853pl65lleiyc22210a5pl/6？2021-11-1432非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3a1a2y1y2bcadbdacl226dc323bl2dc332al2yy

28、dxmmki2211aamimk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。否则取负。s = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）326492021-11-1433s = 9/6（262+203+6302） = 9s=9/6（262243+6342） =15s = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）23692021-11-1434labdch+bah232dchl226bcadbdaclsb)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线

29、形 e=3.3 1010 n/ m2 i=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85ei=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 n m2例：例： 预应力钢筋混凝土墙板单预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。点起吊过程中的计算简图。已知：板宽已知：板宽1m，厚，厚2.5cm，混凝土，混凝土容重为容重为25000n/m3，求，求c点的挠度。点的挠度。q=625 n/m2.2m0.8mabc解：解：q=2500010.025625 n/ m2021-11-1435折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85ei=3.6465

30、 104nm2200378p=10.8mpmq=625n/m2.2m0.8mabc1y13cmm2 . 01026 . 03 .534 . 0555533. 02206465. 313y32y22202 . 2200211w533. 08 . 0321y)(85. 01332211yyyeicwww5552 . 2378322w4 . 08 . 0212y3 .538 . 0200313w6 . 08 . 0433y2021-11-1436p=111ly1y2y3m23ly3221yly12832323qllqlw42212321qllqlww8321232432414222eiqllqllq

31、llqlei1332211myyyeiwww1n0nqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2mp122bnp=ql/2np=0900193434832101222122423lhbhmnlhbhlalieiqleaql2122pneaqlealqlealnn2021-11-1437求求abab两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189mpp=1p=163mei-7563322318ei6436363112639632ei618336318263626616kn2kn/m2kn/m 6m3m3mabei常数常数9 9 9 99992021-11-14384kn4kn.m2kn/m1

32、2kn.m4m4meiab求求b5kn12844mpkn.m1mkn.mqlleib1eiqllqllllqleibv241128323223211422ql2/83ql2/2mplm求求b点竖向位移。点竖向位移。5 . 04181425 . 082645 . 085 . 0122641eib75. 04432ei3202021-11-14395m5m5m5m5m2kn/m7kn10knabgcdef15kn50kn.m253510201kn2kn10101020ahei11255056101255023102352541210125252310 12101010131012102010231

33、031875 .ei1594102.m求求a点水平位移。点水平位移。2021-11-1440p=1mpql2/2 ll/2a b2eieil/2m求求b点的竖向位移。点的竖向位移。eiql256174lllqlei25 .023232212lqllqllqllqllei8222822265 .0212222lqleilb432831122eiqlllqleib843231142ylqleib283312102lq？ql2/8l/2？ql2/32y02021-11-1441求dvppp4m3=12m3mabdc5p8pp=15/34/30000000000eappppeadv3280434853

34、55313113p2021-11-1442llpllpdxeimmdxeimm1111llplpdxeimmdxeimm11201llplpdxeimmdxeimm11201llpdxmmmei1211lpdxmmei011mpmpxqll1m1m1m22021-11-1443例：试求等截面简支梁例：试求等截面简支梁c截面的转角。截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8mp11/54/51=qllqll125853225252122lqleic2183212eiql100333m2021-11-14442-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。、图示虚拟的广义单位力状态，可

35、求什么位移。abp=1/lp=1/lp=1/lp=1/lllc abp=1/ lp=1/llabp=1/ lp=1/ ll（ ）ab杆的转角ab连线的转角ab杆和ac杆的相对转角2021-11-14459-6 9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算静定结构由于温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h23）微段的变形）微段的变形 dsdat0ds = at/h=0 dit=mn

36、httwawa0d=dsmhtdsntaa0 d=ditdshtmdstnaa0该公式仅适用于静定结构该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2dskkcrdsnqm222hththt/ )(1221012tttdshdsttdsd/ /)(/122021-11-1446例例9-11 9-11 求图示刚架求图示刚架c c点的竖向位移。各杆截面为矩形。点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa01010cp1p11amnthtnmc0wwt10010t520100a5haa315ah231022021-11-14479-7 9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动而产生的位

37、移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以00，00，00。代入代入得到：得到：kkiccr仅用于静定结构仅用于静定结构abl/2l/2h1 10ay1bhx0by1ahx弧度hacr0ay1bhx0by1ahx0ay1bhx0by1ahx0ay1bhx0by1ahx0ay1bhx0by1ahx0ay1bhx0by1ahxkkcrdsnqm2222021-11-1448应用条件：应用条件：1)1)应力与应变成正比应力与应变成正比; ; 2) 2)变形是微小的。变形是微小的。 即即: :线性变形体系。线性变形体系。p1p2f1f2n1 m1 q

38、1gakqeimean2022222gakqeimean1011111n2 m2 q2一、功的互等定理一、功的互等定理dsgaqkqeimmeann121212fw1221 dsgaqkqeimmeann212121pw2112功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的位移上作的功的功w12等于状态等于状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的功的位移上作的功w21。即：。即： w12= w219-7 9-7 互等定理互等定理2021-11-1449二、位移互等定理二、位移互等定理p1p2 位移互等定理位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载：在任一线性变形体系中，由荷载p1所引起的与荷载所引起的与荷载p2相相应的位移影响系数应的位移影响系数21 等于由荷载等于由荷载p2所引起的与荷载所引起的与荷载p1相应的位移影响系数相应的位移影响系数12 。或者说。或者说,由