线性常微分方程组

1、reviewo de 常系数齐次线性的特征解法11( )(1) 0nnnnxa xaxa x1110. nnnnaaa特征根特征根重数重数线性无关解线性无关解 te1 ttkttteee,cos,sintttteeikki1cos,cos,cos,ttktttttetee1sin, sin,sinttktt tttteee11()实()实d o e 常系数非齐次线性的待定系数法11( )(1)( )nnnnxa xaxa xf t( )f tspecial solution ( )x t,( )tp t e polynomrealial,p( ),tp t e, real p real p(o

2、lynomial), ktq t t eqdeg( )deg( ),qpmultiplicity of as an eigenvaluek complex( ), , ktqq t t edeg( )deg( ),qpmultiplicity of k( )costp t et( )sinor tp t et( ), , realp t ( )cos( )sin,kttp ttq tter, ealp qdeg( )deg( ),deg( )deg( ),ppqpmultiplicity of , ki6.线性常微分方程组0111212122212( )( )( )( )( )( )( )(

3、)( )( )( )( )( ) ( )( ), (1.)nnmnmmijm nijm nttatatatatatata tatatata tatda ta tatdta s ds 矩阵解的叠加原理及存在唯一性定理函数可简记为.分别定义其导数和积分为0( ).tijtm nas ds 利用上面的记号,一阶非齐次线性常微分方程组1111122112211222221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnx tat xat xat xf tx tat xat xat xftxtat xat xat xft可以记作(

4、)( ) ( )( ), (1)x ta t x tf tt12( )( )( ),( ),( ) , ( ),ijnn natx tx tx txta t其中t12( )( ),( ),( ) .nf tf tftft( )0,f t 若则得到齐次线性方程组( )( ) ( ). (2)x ta t x t0(i)( ),( )(2),( )( )(2),(ii)( )(1)(1)( ) thm. (thm. )( )( ),( )(2).( )( ),.tttttx tx tttta tf titi 若为齐次线性方程组的解 则也为的解,其中为任意常数.若为非齐次线性方程组的特解,则的任意一

5、个解可以表示为其中为的一个解设矩阵函数和向量值函数在区间 上连续则t120(,), ( )( )( ), ( ).nnx ta t xf tx ti 初值问题在区间 上存在唯一解,(2.2) 由解的叠加原理 齐次线性方程组的解集合是一个线性空间.我们需要知道这个解空间的维数,并求出一组基.为此,需要引入向量值函数线性线性方程组解的结构无关的概念.def. 称向量值函数t111211( )( ),( ),( ) ,nttttt212222( )( ),( ),( ) ,ntttt12( )( ),( ),( ) ,tnnnnntttt12, ,nic cc在区间 上线性相关 若存在不全为零的常数

6、,ti 使得1 12 2( )( )( )0.nnctctct12,.ni 否则 称在 上线性无关t1211121212221212 ( )( ),( ),( ) , ( 1,2, .)( )( )( )( )( )( ) det( )def.( )( ),kkknknnnnnnnittttkntttttttttwronsky 设区间 上有向量值函数称以这些向量值函数为列的行列式为向量值函数的行12( ),( ).nw twt 列式,记作 12 ( ),( ),thm.,( )nttti若向量值函数在区间 上线性12,( )0,.nwronskywtti 相关 则行列式12,pr,oof:,n

7、i 在 上线性相关,则存在不全为零的12, . .,nc ccstti 常数1 12 2( )( )( )0.nnctctct12,nti c cc 于是,是下面线性方程组的非零解.1 112 1211 212 2221122( )( )( )0( )( )( )0 ( )( )( )0nnnnnnnnnctctctctctctctctct12,( )0,.nwtti 故方程组的系数矩阵t1212120120(2) ( )( ),( ),( ) ,(1,2, .)i),.ii) ,( )0,.iii),( )0.(i)(ii)(ii)(iii)thm. . (iiiproof: kkknknn

8、nnttttkniwttitiwt 设齐次线性方程组有 个解则以下条件等价:在区间 上线性相关存在使得即上一定理,显然 只要证0120)(i).,( )0.ntiwt 设存在使得 则方程组1 1102 120101 2102 220201102200( )( )( )0( )( )( )0 ( )( )( )0nnnnnnnnnctctctctctctctctct121 102 2001 12 201 12 2. 0, ( )( )( )0.( )( )( )( ), ( )(2),( )0. ( )0, ( )( )( )0(nnnnnnnc ccctctctx tctctctx tx tx

9、 tctctctt有非零解 即存在不全为 的使得令 由解的叠加原理为齐次方程组的解 且满足初值条件由解的存在唯一性定理,即).i12012012121201212,( ),.(1) ,( )0 ,( )0,. ,.(2) ,( )0 ,( )0,. ,remark: ,nnnnnnnncinntiwtwttiiwtwtti 设为 次齐次线性常微分方程组的 个解则在 上线性相关在.i上线性无关,(2)至此 不难得出的解空间的结构. ( ) 1 ( )( ) ( ), thm.proof (2): .(2),(2)( )( ) , (ka tin nx ta t x ttinnndxta t x

10、xdt为区间 上连续的矩阵函数,则 阶齐次线性常微分方程组的解集合是一个 维线性空间我们要找出的 个线性无关的解 并证明的任意一个解都可以由这 个解线性表出. 设是初值问题012012).,0.,( )1.,knknntkwtiee 的唯一解其中 为中列向量 第 个分量为1其它分量都为 则 由上一定理,在区间 上线性无关.12101202001020010120,( )( ),( ),( )(2). ( )( )( )( )( )( )( ),( )(2)( )( ),( ),( ). ( )( )( )( )( )nnnnx tx t x tx ty tx ttx ttx tty ty tx

11、 tx tx tx ty tx ttx t 其次 设是齐次方程组的一个解令则是方程组的解,且满足初值条件 由解的存在唯一性定理, 2012( )( )( ),( ),nnntx ttx t 即可以由线性表出.t12111212122212(2) ( )( ),( ),( ) , (1,2, .)(2). ( )( )( )( )( )( )( )( )d( )( )(2e .)f.kkknknnnnnnnttttkntttttttttt齐次线性常微分方程组的 个线性无关解称为的一个基本解组 称矩阵 为齐次方程组的一个基本解矩阵(2)( ),(2)( )r( ) .emark: ntx tt c

12、c已知的一个基本解矩阵则的通解可以表示为其中为常向量( )( )0:ttttttttttttteeeeeeee和都例是方程组11. ,01 dxxdt的基本解矩阵 事实上1 11 1,0 10 1000tttttttttttttdddtdteeeeeeeeee( ).( )( ) det(0)10,det(0)10,( )( ),( )( )ttttttt 即的列向量都是方程组的解而的列向量都是的列向量的线性组合,因而也都是的解.又故和的列向量都构成基本解组 而和都是基本解矩阵. ( )( ) ( ) (2). (2),( )(2remar),( )2 k( ):.x ta t x tttn

13、nt t齐次方程组 的基本解组和基本解矩阵都不唯一 这是因为基本解组实际上是的解空间的一组基 而线性空间有不同的基.事实上 设是的一个基本解矩阵为任意一个可逆矩阵 则也是的一个基本解矩阵反之,任给(2)的两( ),( ), . ,( )( ) .ttt tsttt t 个基本解矩阵必存在可逆矩阵（ 由唯一确定）( )(2),(2)( )( ) ,.:(1) ( )( ) ( ),( ),. ( )( ) ( )( ), ntx tt ccx tt u tu tnx ta t x tf t 设为的基本解矩阵则的通解为其中 为中任意常向量是这样一种方法假设的通解为其中为 维向量值函数 待定再将该通

14、解表达式代常数变易组法入方程 (1)( ),(1).u t进而确定从而得到的通解3.常数变易法11( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ).( )(2),( )( ) ( ),( ) ( )( ),( )( ) ( ), (3)( )( )( )t u tt u ta tt u tf ttta ttt u tf tu tt f tttu t 利用常数变易法可得 注意到是的基本解矩阵 即有 即 其中是的逆矩阵.于是, 01( ) ( ), .ttncs f s dsc其中为任意常向量于是有下面的定理:0001011( )(2),(1)( )( )( )( ) ( ),. (1)(

15、 )( )( )( )( )( ) ( ).thm.ttnntttx tt cts f s dscx tx tttts f s ds 设是齐次方程组的一个基本解矩阵则非齐次方程组的通解为 其中为任意常向量 且的满足初值条件的解为 t11011, (0)( 1,1) .01011( )010. ( )( )(0)( )( ) (:0:)0tttttttttttsedxxxdttdxtxdtx ttts f s dstteeeeeeeeee 求解初值问题前面的例子已验证是的一个基本解矩阵由常数变易法得初值问题的解11例1解0200() 2,.00ttttttttsttsttsedsetetedst

16、eeeeeeee01+4. oden以方程组的观点看 阶线性(1)12,nnyx yxyxn记则 阶线性方程( )(1)11( )( )( )0(4)nnnnxa t xat xa t x ( )(1)11( )( )( )( )(5)nnnnxa t xat xa t xf t 可以化为( )(6)ya t y ( )( ).(7)ya t yg t 12101000010 ( ),0001( )( )( )( )nnna tatatata t其中tt12(,) , ( )(0,0,0,( ) .nyy yyg tf t12112112( )(1)(2) ( ), det().det()0o

17、de remar k0.:nnnnnnnnnna taiaaaaaianxa xa xaxa x若为常系数矩阵时也就是说就是原 阶常系数线性的特征方程12121212(1)(1)(1)remark ,(4)(.:)(6)nnnnnnnt 是的解空间的一组基是的基解矩阵1211220120121201 ,(4),(5)( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )(5). ,( ),thm( ),.nnnnntkktknix tctctctx tc ccwsx ttf s dsw sw sws 设是齐次方程在区间 上的一个基本解组 则非齐次方程的通解为 其中为任意常数 而 是的一

18、个特解 这里为,( )( ).nkwronskywsw snk的行列式 而是的第行第 列元素的代数余子式(1)12,(roof4)p:nnyx yxyxn令化 阶微分方程01( )( )( )( ) ( ),tty tt cts g s ds .nc其中为任意常向量 上式中取第一个分量,得11220( )( )( )( )( ),n nx tctctctx t12,nc cc其中为任意常数.12(5)(6)(7). ,(4),n 为方程组因为的基本解组则121212(1)(1)(1)( )nnnnnnt(6). ,(7)是的基本解矩阵 由常数变易法的通解为00001112t12( )( ) (

19、 )( ).,( )0( )( )( )( ) ( )0( )( )( )( ) ( ),( ),( )( )( )ttttttnnts g s dsx tw sw stts g s dsdsw sw sf stw s w sw sf s dw s 下面证明的第一个分量就是定理中的事实上0001,( )( )( )( ).( )ttntkktksw sx ttf s dsw s上式的第一个分量为12(1)12,(4)(5)remar(6)(7).,(4k :)nnnyx yxyxn 令,化 次微分方程为方程组设为的基本解组,则121212(1)(1)(1)( )nnnnnntt12(6).(7

20、) ( )( ) ( ),( )( ),( ),( ) .(7):( ) ( )( ).ny tt u tu tu t ututt u tg t 是方程组的基本解矩阵而的通解必定形如其中代入方程组得 将上式按分量写出来,即1 12 21 12 2(2)(2)(2)1122(1)(1)(1)11220,0, (8)0,.n nn nnnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuf (5),(5)用常数变易法解高阶非齐次线性方程时 设有解1122( )( )( )( )( )( )( ),nnx tu ttu ttutt12( ),( ),( ),(8). (8)nu t u tut其中待定 且满足

21、方程组由中12( ),( ),( ),nnnu t u tut个方程就可以确定 个未知函数(5).从而求出非齐次方程的通解11221122( )( ) ( )( )( ),( ) ( )( )( )0.x tc t x tc t x tc t x tc t x t 回忆第二节中用常数变易法求二阶非齐次方程时曾假设非齐次方程的通解 满足条件 上面的分析说明,这一假设条件是必要的. (9)() ( ),0. (9) 5. tnxaxan nx te rrr设常系数齐次线性常微分方程组 为矩阵 有非平凡解形如 其中为常向常系数齐次线性常微分方程组量,代入的特征得法.方程组, .0,.ttte rae

22、 rerarrara消去得因为所以 为矩阵 的特征值,而 为 的对应于特征值 的特征向量( )(9). ,(9),.tarax te ra 反之,若 为矩阵 的特征值, 为 的对应于特征值的特征向量,则是方程组的解 因此 求解方程组矩阵 的特征值至关重要 det()0(def.9),ia称为方程组的特征方程 它的根称为方程组的特征根.(9)(1,2, ),(1,2, ). ( ) (1,2, )(th9)m. kkkkktan nnr knakntrkne为矩阵,若常系数齐次方程组有 个实的线性无关的特征向量且分别对应于的(不同或相同的)实特征值则为方程组的一个基本解组.12121212 ,(

23、 )(1,2, )(9),( )00., proof: ,(0)det( ,)0. kkknnnnttr knnwronskywttr rrwr rre首先是方程组的 个解.要证它是基本解组,只要证行列式 在处不等于 因线性无关 有 (1,2,),(1,2,)(9)remark:kktar kmmrkmme设 是系数矩阵 的重根,而是与 对应的 个线性无关的特征向量.则 是方程组的 个线性无关的解.这一点与单个齐次线性微分方程的情况有很大区别.()() ,()( cossin,)( sincos),() ( cossinrem)( sincoark:s)(9)ittttittttiaraibraibatbtiatbtraibatbtiatba bteeeeeeee(若是实系数矩阵 的一对共轭复根,是与之对应的这里为向特征向量则 是方程组量的两个线.)( cossin),im()( sincos)(9)re(ttttratbtratbteeee性无关的复解由解的叠加原理, 是方程的两个线性无关的实解.3:35,.5 xaxa解其中例 求t331321231235 . (1,) .10cos5( )cos5sin501sin5sin5( )cos5cos5sin5( ).sin5cos5: ttttairittettetttetctctx tectct有一对复特征根它们对应的