第五章数值微积分

1、数值分析上机考试时间改为数值分析上机考试时间改为 2010年年1月月6日日(第第18周周三周周三)上午上午10:05-11:05 在图文信息中心在图文信息中心3号机房号机房定积分计算：用定积分计算：用原函数原函数( (不定积分不定积分) )无法找到原函数无法找到原函数f(x) 怎么办？怎么办？ ( )( )( ),baf x dxf bf a)()(xfxfxxfln1)(xxsin2xe5.1 数值积分公式数值积分公式5.2 数值积分的余项数值积分的余项5.3 复化求积法与步长的选取复化求积法与步长的选取5.4 数值微分法数值微分法 机械求积机械求积 newton-cotes公式公式 代数精

2、度代数精度 gauss求积公式求积公式原理：定积分原理：定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积理论基础：积分中值定理理论基础：积分中值定理f( )=?badxxffi)()()()()(fabfi左矩形左矩形右矩形右矩形中矩形中矩形梯形梯形)()()()(afabfgfia)()()()(bfabfgfib( )( )() ()2cabi fgfba f)()(2)()(bfafabftfi问题问题适当取适当取求积节点求积节点 和和求积系数求积系数a0, , an，计算函数值，计算函数值 f(x0), f(xn), 近似解近似解误差误差 t(f ) - q(f )badxxffi)()(0( )(

3、 )( )niiii fq fa f x,10baxxxn插值型求积公式插值型求积公式: p(x)是是f(x)的一个插值函数的一个插值函数(linear, lagrange, hermite, spline等等)newton-cotes公式公式: 采用等距节点采用等距节点lagrange插值插值( )( )bbaaf x dxp x dxnabhihaxi0( )( )( )( )nbbniaaiii ff x dxl xadxf x000( 1)( )()()!()!n innbbnjiiaaj ij iijjjxxal x dxdxbatj dtxxn i nini, 1 , 0cotes

4、系数系数ci (仅依赖于仅依赖于 n, i)变量代换x=a+th梯形公式梯形公式 (n=1)simpson公式公式 (n=2)cotes公式公式 (n=4)数值稳定性数值稳定性: n8时，时，cotes系数非负系数非负)()(2)()(bfafabftfi( )( )( )4 ()( )62baabi fs ff aff b33( )( )7 ( )32 ()12 ()32 ()7 ( )90424baabababi fc ff affff b0( )()max( )ii nq fbaf x 定义：定义： 若机械求积公式若机械求积公式 对所有对所有幂函数幂函数f(x)=1,x,x2xm准确，则

5、称它具有准确，则称它具有m次次代数精度。代数精度。性质：若具有性质：若具有m次代数精度，次代数精度， 则对所有次数则对所有次数不超过不超过m次的多项式准确。次的多项式准确。代数精度：梯形公式代数精度：梯形公式 (n=1)1次，次， simpson公公式式 (n=2)3次，次，cotes公式公式 (n=4)5次。次。n为奇数时，为奇数时，n阶阶newton-cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n；n为偶数时，为偶数时，n阶阶newton-cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n+1。 ( )( )i fq f例题例题 求求a1, a2及及x2，使求积公式，使求积公式代数精度尽量高代数精

6、度尽量高解：解：得得 a1=1/4, a2 =3/4，x2 =2/3 )()0()(22110 xfafadxxf12122222122( )1111( )1/20( )1/30f xaaf xxaa xf xxaa x 考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式的待定参数达的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为称此类高精度的求积公式为gauss公式公式，而对应节，而对应节点称为点称为gauss点点。一点一点gauss (n=0) (中矩形公式中矩形公式)-1,1上的两点上的两点gau

7、ss公式公式0( )( )( )niiii fq fa f x( )( )() ()2cabi fgfba f)31()31()(11ffdxxfn n次次legendre多项式多项式定理定理5.1 -1,1上上n n阶阶gauss点恰为点恰为n n次次legendre多项式的根。多项式的根。 ) 1(2nnnxdxdngauss点点求积系数求积系数代数精度代数精度002111，1325/9，8/9，5/951/3, 1/33 / 5,0,3 / 51153853( )()(0)()95995gaussf x dxfff三点变换到变换到-1,1一般区间一般区间a,b上的两点上的两点gauss公

8、式公式112)22(22)(dtabbatabfbatabxdxxfba)232()232(2)()(baabfbaabfabdxxffiba引理引理5. 1 （积分中值定理积分中值定理）若）若f(x), g(x)均在均在a,b上连续且不变号上连续且不变号,则存在则存在a,b 使使 左矩形公式余项左矩形公式余项(证明证明: 用用taylor公式公式)中矩形公式余项中矩形公式余项(证明证明: 用用taylor公式公式)babadxxgfdxxgxf)()()()(2()( )( )( )()( )2abgabarff x dxf a baf3()( )( )()()( )224cbgaabbar

9、ff x dxfbaf梯形公式余项梯形公式余项(证明证明: 用积分中值定理用积分中值定理)simpson公式余项公式余项(证明证明: 用积分中值定理用积分中值定理+hermite插值插值)3()( )( ) ( )( )( )212btababarff x dxf af bf 5(4)1( )( ) ( )4 ()( )()( )62902bsabaabbarff x dxf aff bf newton-cotes系列公式余项系列公式余项 gauss系列公式余项系列公式余项 (1)(2)( )( )()(1)!( )( )( )( )() ( )()(2)!2nbanbafx dxnnr fi

10、 fq ffabxx dxnn为奇数为偶数bandxxnffqfifr)()!22()()()()(2)22(复化求积原理复化求积原理定步长梯形法定步长梯形法 nixxbaiidxxfdxxffi11)()()(bxxxan101111( )()( )( )( )2( )22nnniiiiihhtff xf xf af bf x2( )( )()( )12nhi ftfba f ,0,1,ibahxaih inn2阶收敛性定步长定步长simpson法法p119 例例5.13(simpson法精度高法精度高) 121211111( )()( )4 ()6 ( )( )2( )4()6nniiii

11、nniiiihsff xf xf xhf af bf xf x,0,1,ibahxaih inn4(4)( )( )( )( )1802nba hi fsff 4阶收敛性递推关系递推关系逐级计算而在增加新节点时逐级计算而在增加新节点时, 不浪费原先的计不浪费原先的计算量算量, 并且可由并且可由|t2n(f) tn(f)| 控制计算精度。控制计算精度。 niinnxfhftft12)(2)(21)(21xi-1xixi-1/211( )()( )2nniiihtff xf x)(31)(34)(2ftftfsnnn)(151)(1516)(2fsfsfcnnn)(631)(6364)(2fcfc

12、frnnn由|r2n(f) rn(f)| 控制计算精度 )(141)(144)(111ftftftjijjijjji, j i= 1,2,由|tii (f) ti- 1 i-1 (f)| 控制计算精度. 根据被积函数的陡缓自动选择局部步长根据被积函数的陡缓自动选择局部步长 考虑某区间考虑某区间ak,bk, 记记hk= bk ak, 从从a, b开始按开始按 =|0.1(s=|0.1(s2 2-s-s1 1)|)| 检查精度检查精度 ，若满足精度则以若满足精度则以s2为计算结果，否则分成两个为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度

13、用度用 /2。这样重复下去，直至每个分段部分。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度时精度 /2k）不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。一小段积分的总和。 11( ()4 ()()62kkkkkhsf af ahf b2113( ()4 ()2 ()4 ()()12424kkkkkkkkkhsf af ahf ahf ahf b2211()15isss1.52.3753.2550.511.522.5dxx55 . 1ln1这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长simpson法达到该精度，需要调用函数17次。主要原因是自适应步长利用了函数的陡缓自动选择局部步长，变化快的地方细分，变化慢的地方粗分 1 差商法差商法 向前差商向前差商公式公式 向后差商向后差商公式公式 中心差商中心差商公式公式 hafhafaf)()()(hhafafaf)()()(hhafhafaf2)()()(a a+h a-h 中心差商精度比较高中心差商精度比较高)()