第六节对坐标的曲面积分

1、第六节第六节对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧（非封闭曲面）（非封闭曲面）（封闭曲面）（封闭曲面）决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .有向曲面的有向曲面的侧侧是由曲面是由曲面法法向量的指向向量的指向决定的决定的. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题）分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题）面面在在xo

2、ys ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxys.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xys)( 曲曲面面 s 分别是曲面在点（分别是曲面在点（x,y,z)x,y,z)的法线向量与的法线向量与x x，y y，z z轴正向的夹角轴正向的夹角类似地有：类似地有：yzs)(0cos,)(0cos, 00cos,)(yzyz0cos,)(0cos, 00cos,)()(xzxzxzs,其中其中二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (

3、1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域a a, ,求求单单位位时时间间流流过过a a的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .av0n aavnvava 0cos 流量流量( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxrjzyxqizyxpzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxrzyxqzyxp都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间

4、间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo xyzo is ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小块小块is ( (is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(nisnviii ,),(),(),(),(krjqipvviiiiiiiiiiiii

5、 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiisnv1iiiiiiiiiniiiiisrqp cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiispdydzzyxp10)(,(lim),( nizxiiiisqdzdxzyxq10)(,(lim),( 常用的形式是组合形式常用的形式是组合形式:dxdyz

6、yxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 对坐标的曲面积分存在的充分条件对坐标的曲面积分存在的充分条件:当当),(),(),(zyxrzyxqzyxp在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .对坐标的曲面积分的物理意义对坐标的曲面积分的物理意义:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( rkqjpiv的稳定的密度为的稳定的密度为1 1的不可压缩流体在单位时间内流向的不可压缩流体在单位时间内流向 指定侧的流量指定侧的流量表示流速为表示流速为性质性质: 2121. 1rdxdyqdzdxpdydzrdx

7、dyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydz dxdyzyxrdxdyzyxrdzdxzyxqdzdxzyxqdydzzyxpdydzzyxp),(),(),(),(),(),(. 2 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(即即计算时把曲面积分化成二重积分：计算时把曲面积分化成二重积分：一。将曲面一。将曲面 投影到投影到xoyxoy坐标面上；坐标面上；二。将被积函数中的二。将被积函数中的z用曲面方程用曲面方程 代替。代替。),(yxzz 如果如果 是曲面的下侧，则有：是曲面的下侧，则有：例：教材例：教材 p.203 2. xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr)

8、,(,),(四、计算法四、计算法则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .（前侧为正，后侧为负）（前侧为正，后侧为负）（右侧为正，左侧为负）（右侧为正，左侧为负）例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0, 0 yx的的部部分分. .解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz

9、,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxydddxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyddxdyyxxy22122/010221sincos2rdrrrd152五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyd, , 函函数数),(yxzz 在在xyd上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxr在在上上连连续续. .xyd),(yxfz xyzodsn如果设曲面过点如果设曲面过点(x,y,z)(x

10、,y,z)的法线向量与的法线向量与x,y,zx,y,z轴正向的轴正向的夹角分别为夹角分别为,则有：则有：dxdydsdzdxdsdydzdscos,cos,cos所所以以dszyxrdxdyzyxr cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) )dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系为两类曲面积分之间的联系为dszyxpdydzzyxpcos),(),(dszyxqdzdxzyxqcos),(),(dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( dsrqprdzqdypdxll)coscoscos(与

11、两类曲线积分之间的联糸：与两类曲线积分之间的联糸：相比较，两者有什么不同？相比较，两者有什么不同？两类曲面积分之间的联系：两类曲面积分之间的联系：dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 复合形式复合形式应如何计算？应如何计算？ 逐个计算当然可以，但要将曲面投影在三个不逐个计算当然可以，但要将曲面投影在三个不同的坐标面上，比较麻烦。同的坐标面上，比较麻烦。注意到：注意到：dxdydsdzdxdsdydzdscos,cos,cos0cos且当且当时，（时，（因此有：因此有：22222211cos,1cos,1cosyxyxyyxxzzzzzzzz0cos时变号）时变号）

12、dxdyzdzdxdxdyzdydzyx,dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),(dxdyzyxrzyxqzzyxpzyx),(),(),(这样可将三个曲面积分简化成一个曲面积分统一计算这样可将三个曲面积分简化成一个曲面积分统一计算同理还有：同理还有：dzdxzyxryzyxqzyxpyzx),(),(),(dydzzyxrxzyxqxzyxpzy),(),(),(原式原式例例 2 2 计计算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋转转抛抛物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之间间的的部部分分的的下下侧侧. .解：原式解：原式= dxdyzxxz)(2.8 dxdyyxyxxxxyd)(21)(41222222=xyddxdyyxx)(21222=rdrrrd)21cos(2202022=例：例：p.203 3.（3）例：例：p.203 3.（4）对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，一般不用变量对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，一般不用变量的奇偶性和区域的对称