选89二元函数的泰勒公式

1、一、问题的提出一、问题的提出 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：意义：可用意义：可用n次多项式来近似表达函数次多项式来近似表达函数)(xf，且，且误差是当误差是当0 xx 时比时比nxx)(0 高阶的无穷小高阶的无穷小问题：问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.即即 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一

2、邻域内连续的某一邻域内连续且有直到且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,能否把函数能否把函数),(00kyhxf 近似地表达为近似地表达为00,yykxxh 的的n次多项次多项式，且误差是当式，且误差是当022 kh 时比时比n 高阶的高阶的无穷小无穷小定理定理 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内连的某一邻域内连续且有直到续且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,则有则有二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式)10(),()!1(1

3、),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地,记号记号表示表示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhc 证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由

4、由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnc 利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn将将),()0(00yxf , ,),()1(

5、00kyhxf 及及上面求得的上面求得的)(t 直到直到n阶导数在阶导数在0 t的值的值, ,以及以及)()1(tn 在在 t的值代入上式的值代入上式. .即得即得)1(,),(!1),(! 21),(),(),(00002000000nnryxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnrnn证毕证毕 公公式式)1(称称为为二二元元函函数数),(yxf在在点点),(00yx的的n阶阶泰泰勒勒公公式式, ,而而nr的的表表达达式式)2(称称为为拉拉格格朗朗日日型型余余项项. . 由二元函数的泰勒公式知由二元函数的

6、泰勒公式知, , nr的绝对值在的绝对值在点点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数的某一邻域内都不超过某一正常数m. .于是于是, ,有下面的误差估计式有下面的误差估计式: : )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnmnnmkhnmr 其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,误误差差nr是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. .当当0 n时时, ,公公式式)1(成成为为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.推推论论 如如果果函函数

7、数),(yxf的的偏偏导导数数),(yxfx, ,),(yxfy在在某某一一邻邻域域内内都都恒恒等等于于零零, ,则则函函数数),(yxf在在该该区区域域内内为为一一常常数数. . 在泰勒公式在泰勒公式)1(中中, ,如果取如果取0, 000 yx, ,则则)1(式成为式成为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. .),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. .解解,11),(),(

8、yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 , 0(

9、 f, ,故故,)(31)(21)1ln(332ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxr三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00， cyxfyy ),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2则则),

10、(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac时有极值，时有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值， 当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值. .证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，对于任一对于任一)(),(0100pukyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 设设02 bac, ,即即 . 0),(),(

11、),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数在在)(01pu内内连连续续, ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在点点0p的的邻邻域域)()(0102pupu , ,使使得得对对任任一一)(),(0200pukyhx 有有 . 02 xyyyxxfff)8(注注: :将将),(yxfxx在在点点),(00kyhx 处处的的值值记记为为xxf, ,其其他他类类似似. . 由由)8(式式可可知知, ,当当)(),(0200pukyhx 时时, ,xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且两两者者同同号号. .于于是是)6(式式可可写写成

12、成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 当当kh、不同时为零且不同时为零且)(),(0200pukyhx 时时, ,上式右端方括号内的值为正上式右端方括号内的值为正, ,所以所以f 异于零且异于零且与与xxf同号同号. . 又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数的的连连续续性性知知xxf与与a同同号号, ,因因此此f 与与a同同号号, ,当当0 a时时),(00yxf为为极极小小值值, ,当当0 a时时),(00yxf为为极极大大值值. .)2( 设设02 bac, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定先假定,

13、0),(),(0000 yxfyxfyyxx则则. 0),(00 yxfxy分别令分别令hk 及及hk , ,则由则由)6(式可得式可得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 当当0h时时, ,以上两式方括号内的式子分别以上两式方括号内的式子分别趋于极限趋于极限),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 从而当从而当h充分接近零时充分接近零时, ,两式方括号内的值有两式方括号内的值有相反的符号相反的符号, ,因此因

14、此f 可取不同符号的值可取不同符号的值, ,所以所以),(00yxf不是极值不是极值. . 再证再证),(),(0000yxfyxfyyxx与与不同时为零的情形不同时为零的情形. .不妨不妨. 0),(00 yxfxy先取先取0 k, ,于是由于是由)6(式得式得).,(21002yhxfhfxx 当当h充分接近零时充分接近零时, , f 与与),(00yxfxx同号同号. .但但如如果果取取 ,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy 其中其中s是异于零但充分接近于零的数是异于零但充分接近于零的数, ,则可发现则可发现, ,当当s充分小时充分小时, , f 与与),(00yxfxx

15、异号异号. . 如如此此证证明明了了: :在在点点),(00yx的的任任意意邻邻近近, , f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是极极值值. .)3(考察函数考察函数42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 容易验证容易验证, ,这两个函数都以这两个函数都以)0 , 0(为驻点为驻点, ,且在点且在点)0 , 0(处都满足处都满足02 bac. .但但),(yxf在点在点)0 , 0(处有极小值处有极小值, ,而而),(yxg在点在点)0 , 0(处却没有极值处却没有极值. .1 1、二元函数的泰勒公式；、二元函数的泰勒公式；四、小结四、小结2 2、二元函数的拉格朗日中值公式；、二元函数的拉格朗日中值公式；n3 3、 阶麦克劳林公式；阶麦克劳林公式；4 4、极值充分条件的证明、极值充分条件的证明. .练练 习习 题题的泰勒公式的泰勒公式点点在在一、求函数一、求函数)2, 1(5362),(22 yxyxyxyxf的三阶泰