高中数学：11正弦定理1课件必修五

1、a ab bc c 设点设点b b在珠江岸边，点在珠江岸边，点a a在对岸那边，为了测量在对岸那边，为了测量a a、b b两两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量角器）点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量角器）正弦定理abc3c2c1cbc的长度与角a的大小有关吗?三角形中角a与它的对边bc的长度是否存在定量关系?在rtabc中,各角与其对边的关系:caa sincbb sin1sinc不难得到:ccbbaasinsinsincbaabccc在非直角三角形abc中有这样的关系吗?acbacb正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.ccbbaasinsinsin即

2、(1) 若直角三角形,已证得结论成立.badcadcbsin,sin所以ad=csinb=bsinc, 即,sinsinccbb同理可得,sinsinccaaccbbaasinsinsin即：dacbcb图1过点a作adbc于d,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立ccbadsinsin ）（且ccbbaasinsinsin仿(2)可得d(3) 若三角形是钝角三角形,且角c是钝角如图2, 此时也有cadb sin交bc延长线于d,过点a作adbc，cacbb图2小结小结:构造直角三角形来解次这一问题。构造直角三角形来解次这一问题。acbcbda向

3、量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.证明：bacabccabsabcsin21sin21sin21bacdabcaabcahs21而cbbcadhasinsincabbacsabcsin21sin21同理bacabccabsabcsin21sin21sin21haabcsabcsin21证法3:aasinbbsinccsin（2r为为abc外接圆直径）外接圆直径）2r思考求证:证明：证明：oc/cbacbarccrccccccba2sin2sinsin,90rccbbaarbbraa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆o,过b作直径bc/,连ac

4、/,剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题： 已知两角和一边，求其他角和边. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.ccbbaasinsinsin定理的应用例 1在abc 中，已知c = 10, a = 45。, c = 30。求 a , b .解： 且 105c)(a180 bccbbsinsin b = cbcsinsin=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角ccaasinsina = cacsinsin=21030sin45sin10bacbc)26(5a在abc中，已知 a=75，b= 45

5、，c= 求a ， b.23在abc中，已知 a=30，b=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434 3233ba练习例 2 已知a=16， b= ， a=30 .求角b，c和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理bbaasinsin得231630sin316sinsinaabb所以60,或120当 时60c=90.32cc=30.16sinsinacac316当120时b16300abc1631616,16 2,45abbacc变式：已知求 ， 及sinbsinaba性质：已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其

6、他边和求其他边和角角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，b=30.b=90，c=60，c= 313(2) b=40，c=20，c=45.练习注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意两解的情况)正弦定理：abc111sinsinsin222abcsabcbcaacbsinsinsinabcabc2r已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?