第四章 解析函数的级数表示

1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 主讲：李茂华主讲：李茂华宁波大学理学院宁波大学理学院 二零零九年九月二零零九年九月 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件2021-11-142参考用书参考用书2021-11-143 目目 录录2021-11-144 本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛朗级数. 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无穷级数部分的复习，并在对此中进行学习2021-11-1454.1 复数项级数4.

2、2 复变函数项级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数本章小结v 思考题2021-11-146一、复数列极限一、复数列极限 定义： 000 (1,2,)nnnzxiynzxiy设为一复数列，又为一确定复数，00( )0nnnnzz如果对任意给定，相应地能找到一个正数，当时，有成立，0 nzzn 则称 为复数列当时的极限，记作：0lim,nnzz .nzz或称复数列收敛于定理1：0000lim lim.limnnnnnnnxxzzzzyy复数列收敛于 ，即的充要条件是2021-11-147证明：必要性 0limnnzz已知，000,()().nnnnnnxiyxiy 当时，有0000()()nnnn

3、xxzzxxi yy0lim,nnxx0lim.nnyy同理可得：充分性 00lim,limnnnnxxyy已知，000, ()22nnnnnnxxyy 当时，都有，00000()()(),nnnnnzzxxi yyxxyy0lim.nnzz2021-11-148 例1下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.1(1)(1),innzen(2)cos,nznin13(3)() .6nniz解：1(1)(1)innzen1(1)(cossin)innn11(1)cos,(1)sin,nnxynnnnlim1,lim0,nnnnxy1(1)innzen收敛，lim1.nnz且有(2)cosnzni

4、n1()2nnn eecoshnn21()(1)22nnnnneene e21limlim(1),2nnnnnznee .nz所以复数列发散2021-11-14913(3)()(cossin)6nninnnizr ernin1 310166ir而，lim0,nnrlimcos0, limsin0nnnnrnrnlim0.nnzlim0lim(cossin )0lim0,)nnnnnnzziz(若，即：反之也成立2021-11-1410定义： 11 nnnnnzxiyz（） 设复数列，称为无穷级数；12(2)nnszzz为复数项级数的部分和；1nnnsz(3)若部分和数列收敛，则称级数收敛，li

5、mnnss且称为级数的和，1.nnnsz如果数列不收敛，则称级数发散 例12| 11nzzzz当时，判断级数是否收敛？解：11211( )111nnnnzzszzzzzzz 部分和11|limlim0,1|1|nnnnzzzz1lim0,1nnzz111limlim(),111nnnnzszzz1.z 二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念 2021-11-1411定理2：11nnnnxy实数项级数和都收敛.1nnz复数项级数收敛的充分必要条件是证明：12nnszzz1212()()nnxxxi yyy,nni11nnnnnnxy和分别为实数项级数和的部分和，1 nnns由定理 可知数列有极

6、限的充要条件是，有极限存在，11.nnnnxy即和都收敛12nnx说明：定理 将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题，11lim0,lim0nnnnnnnnxyxy由实数级数和收敛必要条件，即可得下面定理3.定理3：lim0.nnz复数项级数收敛的必要条件是2021-11-1412定理3：11nnnnzz如果级数收敛，则级数也收敛,1()nnz此时称为绝对收敛，非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛11.nnnnzz且不等式成立证明：2211nnnnnzxy因为收敛，2222,nnnnnnxxyyxy而，11nnnnxy由实数项正项级数的比较准则，可知级数和都收敛，11nnnnxy从而级数

7、和也都收敛，12.nnz由定理 可知复级数也是收敛11nnnnzz又对于级数和的部分和成立的不等式：11nnnnkkzz11limlim,nnkknnkkzz11.kkkkzz即：2021-11-1413说明：111(1).nnnnnnzxy绝对收敛与均绝对收敛1(2)nnz因为各项为非负实数，所以它的敛散性可用正项级数判定法来判定.111(3)nnnnnnzzz若收敛，而不一定收敛，即是条件收敛. 例2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ 11(1)(1),ninn1(8 )(2),!nnin1( 1)1(3).2nnnin解：1111(1)(1)nninnn的实部发散，11(1).ninn发散

8、(8 )8(2)|,!nnniznn由正项级数比较判别法：18!8limlim01(1)!81nnnnnnn，1(8 ).!nnin为绝对收敛11( 1)1(3)2nnnnn因为和都收敛，1( 1)12nnnin收敛，11( 1)( 1)1.2nnnnninn但为条件收敛，所以为条件收敛2021-11-1414一、复变函数项级数一、复变函数项级数 定义： 12( ),( ),( ),ndf zfzfz设给定在区域 上有定义的一列函数列，称表达式： 121( )( )( )( )nnnf zfzfzfzd为区域 内的复变函数项级数.12( )( )( )( )nnnszf zfzfz该级数的前

9、项之和：称为级数的部分和 000lim()()nnzdszs z对任一，若，01( )nnfzz则称级数在 处是收敛的，0001()()().nns zfzs z就是它的和,即11( )( )( )nnnnfzdfzds z若级数在 内处处收敛，则的和是 内的一个函数，1( )( ).nnfzs z即：，（和函数）2021-11-1415二、幂级数二、幂级数 1幂级数概念 定义：形如 20102000()()()()nnnnnczacc zzczzczz00(),nzzcz的级数，称为的幂级数(其中为复常数).0nnnnc zzc形如：的级数，称为 的幂级数，其中为复常数.00.nnnc zz

10、zt以后主要讨论形如的级数，而另一种令即可2021-11-1416定理1：（阿贝尔定理） 001(1)(0)nnnc zzzz如果幂级数在收敛，则01nnnzzzc z则对满足的一切 ，幂级数必绝对收敛；1111(0)nnnc zzz zzzz在发散，则对满足的一切 ，幂级数必发散.(2)如果幂级数0()z 收敛点0zxyo绝对收敛1z1(z 发散点)发散区域阿贝尔定理告诉我们:00zz(1)若幂级数在处收敛，00|z则在以 为中心，为半径的圆周.z的任何点 幂级数绝对收敛1(2)zz若幂级数在处发散，10|z则在以 为中心，为半径的圆周z外的任何点 幂级数都发散.2021-11-1417证明

11、：00nnnc z幂级数收敛，0lim0,nnnc z00,|nnmc zm 使得，00,1zzzqqz 由于，使得，00,nnnnnzc zc zmqz01nnmq由于级数是公比小于 的等比级数，故收敛.0nnnc z收敛，0nnnc z级数绝对收敛.充分性用反证可以证明（略） 必要性 2021-11-14182收敛圆与收敛半径 发散区域定义： 0r 若存在实数，0,nnnzrc z当时，幂级数发散0nnnzrc z当时，幂级数绝对收敛；r则称以 为半径的圆周为0nnnc zr幂级数的收敛圆， 称为收敛半径xyor绝对收敛注意： 0nnnzrc z在圆周上，幂级数可能收敛也可能发散，不能作一

12、般结论，要对具体幂级数进行具体分析.2021-11-1419 例10.nnz求幂级数的收敛范围及和函数解：幂级数的部分和 2111,(1)1nnnzszzzzz (1)1lim0nnzz当时，1lim,1nnsz011.1nnzzsz即当时，幂级数收敛，其和函数为(2)1lim0nnzz当时，故级数发散.由以上讨论可知：01:.1nnzzz绝对收敛，复数幂级数发散，2021-11-14203收敛半径的求法 定理2：（比值法） 0nnnc z设幂级数系数有：1lim0nnncc01.nnnc zr则幂级数的收敛半径为证明：111limlimnnnnnnnnczczzccz由于，01,nnnzcz

13、级数收敛，01.nnnc zz故级数在圆域内收敛0001nnnzzc z假设在圆外有一点 ，使得收敛，110zzz在圆外再取一点 ，使，10nnncz由阿贝尔定理，必定收敛11111lim1nnnnnczzzcz然而，所以，10nnncz这与级数收敛矛盾，01nnnc zz所以假设不成立，因而在圆域外发散.2021-11-1421定理3：（根值法） 0nnnc z设幂级数系数有lim0,nnnc01.nnnc zr则幂级数的收敛半径为 例1求下列幂级数的收敛半径 31(1),(nnzn并讨论在收敛圆周上的情形)，1(1)(2),(0,2)nnzzzn讨论时情形0(3)(cos),nnin z1

14、210(21)(4)().2nnnnniz解：31(1)limlim()1,1nnnncncn1r 所以收敛半径为，3111.nnzzzn故幂级数在圆周内收敛，在外发散331111.nnnzznn在圆周上，幂级数收敛2021-11-14221(2)limlim1,1nnnncncn1r 所以收敛半径为，110zz在收敛圆周上，当时，1( 1).nnn幂级数收敛112,nzn当时，级数发散.因此在收敛圆周上既有幂级数的收敛点又有发散点13coscosh(),2nnncinnee（ ）1(1)2112limlimlim1nnnnnnnnnnnceeeeeceee，1.e故幂级数的收敛半径为1221

15、(21)(4)0,(),2nnnnncci 所以不能直接用公式 用比较审敛法: 121(21)( )()2nnnnnfziz 由于，2121211( )(21)21limlim( )(21)22nnnnnnnnzfznzfznz则，22zz即当时，幂级数绝对收敛，当时，幂级数发散.2021-11-14234幂级数的运算和性质 （1）幂级数的代数运算 1200( )( ),nnnnnnf za zg zb zr r设幂级数，的收敛半径分别为，12min(,)rr r令，zr则当时，有:000( )( )()nnnnnnnnnnf zg za zb zab z00( ) ( )()()nnnnnn

16、f z g za xb x2021120011000)()(xbababaxbababannnnxbababa)(01102021-11-142412.rr说明：有时两个幂级数经过运算后所得幂级数的收敛半径大于 与中较小的一个001(01)1nnnnnzzaa如：幂级数与，1收敛半径均为，000111nnnnnnnnnazzzaa但是的收敛半径怎样？111111limlim1(1)1nnnnnnnnaaaraaaaa这里，011nnnnaza表明幂级数的收敛半径大于 ，000111nnnnnnnnnazzzaa但要注意的是：使等式成立1.z 的收敛圆域仍为，不能扩大2021-11-1425（2

17、）复合运算 0( )nnnzrf za z如果当时，( )( )zrg zg zr又设在内函数解析，且满足，0 ( ) ( ) .nnnzrf g za g z则当时，有这个运算具有广泛的应用，常用来将函数展为幂级数 例201()nnnczaabzb把函数表示成形如的幂级数，其中 与 是解：1111()()1zazbzabababa 1zaba当时，011nnzazababa101(),()nnnzazbba 111limlim,nnnnccbaba.rba收敛半径：不相等的复常数.2021-11-1426（3）幂级数和函数的性质 定理4：0()( )nnnczaf zr设幂级数的收敛半径为

18、，则和函数具有下列性质：1(1)( )()nnnf zczazar和函数在收敛圆内解析，且可逐项求导：11( )()nnnfzncza1( )()nnnf zczazar(2)和函数在收敛圆内是可积函数，且可逐项积分：0( )(),nnccnf z dzczadz czar10( )().1znnancfdzan或 逐项求导、逐项积分 2021-11-1427 例3试求给定幂级数在收敛圆内的和函数 11(1)( 1),nnnnz111(2)( 1).nnnzn解：1,r (1)求得收敛半径为111( )1( 1)nnns zznzz时，令，则11001( )( 1)zznnns zdznzdz

19、z11( 1),1nnnzzz2( )().1(1)zzs zzzz111(2)1( )( 1)nnnrs zzn求得收敛半径为，令，则1111( )( 1)1nnnzs zzz当时，01( )ln(1),(.1zs zdzzz 主值）2021-11-1428 前面已讨论了已知幂级数，如何求收敛圆、和函数，并且知道和函数在它的收敛圆内是一个解析函数，下面研究与此相反的问题：即任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 1( )f zd设：（）函数在区域 内解析；00(2)dzdrkzzr在 内任一点为圆心， 为半径的圆周（取正向）：1( )( )(*)2()kfzkf zdiz对任何，有柯西积分公

20、式001zzzkkz由于内，上，所以有，则000001111()()1zzzzzzzz00001()nnzzzz0100()()nnnzzz2021-11-1429将其代入（*）式中，得：0100()1( )( )2()nnknzzf zfdiz 101001( )()2()nnnknfdzziz 0101( )() 2()nnkn nfzzdiz 由高阶导数公式得：( )1000()( )()( )(*)!nnnnnfzf zzzrzn0101( )( )() 2()nnnkn nfrzzzdiz 其中，lim( )0.nnrz下面证明0001zzzzqzr令，( )f zkdkk而函数在内

21、解析，从而在 上连续，于是在 上有界，2021-11-14300( )mkfm即存在一个，在 上，( )nrz由表达式得：0101( )( )()2()nnnkn nfrzzzdsz 000( )12nkn nfzzdszz 12nkn nmq dsr 1221nnn nmmqqrrq1limlim011nqnnxmqmqqq因为，lim( )0.nnkrz所以在 内( )000()( )() .!nnnfzkf zzzn从而在 内有：0( )f zz称为函数在 的泰勒展开式，0( ).f zz右端的级数称为函数在 的泰勒级数2021-11-1431定理5：00( )f zdzdrzd设函数在

22、区域 内解析， 为 内一点， 为 到的边界上各点的最短距离，0( )zzrf z则当时，函数可展为幂级数：00( )() ,nnnf zczz( )01()0,1,2,.!nncfznn其中，d0z000,( )()nnnzzrf zczz内( )f zd在区域 内解析r2021-11-1432说明：(1)( )f z若函数有有限个奇点，0( )rzf z的 就等于从 到的最近一个奇点(2)由上面定理及幂级数性质可以得到一个重要性质，即函数在一点解析的充分必要条件是它在这一点的邻域内可以展开为幂级数.(3)利用泰勒级数可把函数展开成幂级数，但这种展开式是否唯一呢？0( )f zz假设函数在 用

23、另外的方法展开成幂级数为：2010200( )()()(),nnf zaa zzazzazz( )000101(),(),(),!nnf zafzaafzn由此可见解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，即展开式是唯一的 0( )f zz那么在 的泰勒展开式成立0.rz之间的距离，即0zr2021-11-1433一、利用直接法将函数展开成幂级数一、利用直接法将函数展开成幂级数 ( )01(),0,1,2,3,.!nncfznn直接通过计算系数：，把函数展开成幂级数 例10(1)2 sin0.zezz 将函数：； （ ）；在处展开为泰勒级数解：( )( )0(1)(),()|1,0,1,2,zn

24、zznzeeen因为( )(0)1!nnfcnnze因此函数 的泰勒展开式为：0,!nznzen|z 2sin z（ ）将函数展开为泰勒级数为：213511sin( 1)3!5!(21)!nnzzzzzn sin|.zz 因为函数在整个复平面内处处解析，所以收敛圆为2021-11-1434二、利用间接展开法将函数展开成幂级数二、利用间接展开法将函数展开成幂级数 借助于已知函数的展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质，以唯一性为理论依据得到函数的泰勒展开式 01(1),11nnzzz0(2),!nznzezn 210(3)sin( 1),(21)!nnnzzzn 20(4) cos( 1),(2

25、 )!nnnzzzn 2021-11-1435 例221.(1)zz把函数展开成 的幂级数解：211(1)zz由于函数在内处处解析，1,zz所以在内可展开成 的幂级数01,11nnzzz又因为上式两边逐项求导得：1211,(1)nnnzz1.z 例3ln(1)0zz求对数函数的主值在处的泰勒展开式.解：ln(1)1zz因为函数在内处处解析，1,zz所以在内可展开成 的幂级数1ln(1)1zz又因为：0( 1)nnnz10zzc所以在内任一条从 到 的积分路线 ，上式两端逐项积分得：10( 1)ln(1),1.1nnnzzzn2021-11-1436 例4cossin.zzezezz将函数及展开

26、成 的幂级数解：4(1)( 2)(cossin )izzizi zezezizeeee因为，442( 2)12(1)!ninnineze zn 4(1)( 2)(cossin )izzizi zezezizeeee同理，442( 2)12(2)!ninninezezn (1)(2)2得： coszez2( 2) cos412cos,4!nnnnzzn z (1)(2)2得：sinzez2( 2) sin412sin,4!nnnnzzn z 例42021-11-1437三、将函数展成的幂级数三、将函数展成的幂级数 例51( )12f zzz 求函数在的邻域内的泰勒展开式.解：1( )22f zz

27、z因为函数只有奇点，|2( 1)| 3r 其收敛半径，|1| 31.zz 所以函数在圆域内可以展开为的幂级数1111121 3313zzz 2311111133333nzzzz 101(1) ,3nnnz|1| 3.z 2021-11-1438 例621( ).(1)f zziz求函数展开为的幂级数解：( )1|1|2f zzri函数只有一个起点，其收敛半径为，|2.zizi所以函数在内可以展开为的幂级数211( )(1)1f zzz11()izi 11111ziii211()()1111nziziziiiii1112()()111111nzinziiiiiii12112()(),(1)11n

28、ziziniii|2.zi2021-11-1439 例711( ).zf zez将函数展开为 的幂级数解：11( )1|1 0| 1zf zezr因为函数有一个奇点，所以收敛半径，| 1.zz所以函数在圆域内可以展开为 的幂级数1121( ),(1)zfzez2(1)( )( )0zfzf z即：，将上式逐项求导得：2(1)( )(23)( )0zfzzfz3(1)( )(45)( )2( )0,zfzzfzfz(0)fe由于，2(1)( )( )0zfzf z由得：(0),fe(0)3 ,(0)13 ,fe fe同理可得：1231313( )1,2!3!zf zeezzz| 1.z 000(

29、).nnnczzzzr（1）幂级数在收敛圆内的和函数是解析函数0000(2)( )() .nnnzzrf zzczz在圆域内的解析函数必能在 展为幂级数2021-11-1440( )f zd泰勒级数是解析函数在区域 内任一解析点的展开式，但在实际问题中常需将级数在奇点附近展开；即在环形区域内将函数展开成幂级数，此时要引入一个新的级数，即洛朗级数.考察幂级数：10010()()()nnnnnczzczzczz0100()()nncc zzczz0010()()nnnnnnczzczz1 （）正幂项部分负幂项部分2021-11-144100()2nnnczz正幂项部分：（ ）2r是一般的幂级数，设

30、收敛半径为，02zzr则当时级数收敛，01()3nnnczz负幂项部分：（ ）01,()tzz令011()(4)nnnnnnczzc t则(4)r是一般的幂级数，设收敛半径为 ，.trtr则当时，级数收敛，当时，级数发散01()tzz又因为，01zzr故当时，级数收敛，11rr令时，02zzr时级数发散01zzr则当时，级数收敛.1r2r0z奇点2021-11-14420()nnnczz对级数收敛作如下规定：00001()()().nnnnnnnnnczzczzczz当且仅当与都收敛时，级数才收敛因此：12(1)rr时，级数发散；12102(2),rrrzzr时，级数的收敛范围是圆环域级数在圆

31、环域外发散；1002.rzzzzr在圆环域边界和上可能有些点级数收敛，有些点发散问题提出：在圆环域内解析函数是否一定能展开成级数？1( )01(1)f zzzzz引例：函数在及处都不解析，但是在圆环域01011.zz及圆环域内是处处解析的(1)01z当时，有2111( )11nf zzzzzzz ( )01.f zz由此可见函数在圆环域内可以展开为级数2021-11-1443(2)011z当时，有11( )11 (1)f zzz211 (1)(1)(1)1nzzzz2111(1)(1)(1)1nzzzz ( )f z从上面讨论可以看出函数可以展开为幂级数，只是幂级数含有负幂的项，据此可想：10

32、20( )()nnnrzzrf zczz在环域内处处解析函数可展为的级数，事实也是这样，于是有下列定理：2021-11-1444一、直接展开法一、直接展开法 定理6（洛朗定理）102( )f zrzzr设函数在圆环域内处处解析，102( )f zrzzr则函数一定能在环形域中展开为0( )()nnnf zczz101( )(0, 1, 2,)2()nncfcdniz 其中0.cz这里 为圆环域内绕 的任何一条正向简单闭曲线证明：z设 为圆环域内任一点，0z在圆环域内作以 为中心的正向圆周12kk与 ，2112krkrzkk的半径 大于 的半径 ，且使 在 与 之间，于是由多连通的柯西积分公式，

33、有：211( )1( )( )22kkfff zddiziz证明：2021-11-144521( )(1)2kfdiz 对于上式右端的第一个积分式：，22kzk积分变量 取在 上，点 在 内部，001zzz所以，2( )fk又由于在 上连续，( )mfm因此存在一个常数，使，与泰勒公式的展开证明一样，可得：2001( )() ,2nnknfdczziz 2101( )0,1,2,2()nnkfcdniz其中，21( )2kfdiz 注：此时不能应用高阶导数公式，2( ).f zk因为函数在 内不是处处解析11( )(2)2kfdiz 对于上式右端的第二个积分式：，11kzk由于 取在 上，点

34、在 外部，001zzz所以，因此有：2021-11-1446000001111()1zzzzzzzzz 1010()()nnnzzz 01101() ,()nnnzzz 11( )2kfdiz 所以1101101( )()( )2()nnnnknfdzzrziz 1100()( )1( ),2()nnnkn nzfrzdizz 其中1lim( )0.nnkrz下面证明在 外部有00001zrqqzzzz令与积分变量无关，且，1zk又因为点 在 外部，1( )fk及在 上连续，110( )mfm因此存在，使，2021-11-1447于是有：1000( )1( )2nnkn nfzrzdizzz

35、111221nnn nmm qqrrqlim0nnq因为，lim( )0.nnrz所以11( )2kfdiz 从而有：10011101( )()()2()nnnnknnfdzzczziz 综上所述，有：0000( )()()nnnnnnf zczzczz0() ,nnnczz2101( ),0,1,2,2()nnkfcdniz其中，1101( ),1,2,.2()nnkfcdniz 2021-11-1448nncc将与合在一起得：0zc如果圆环域内取绕 的任何一条正向简单闭曲线 ，那么根据闭路变形原理，可用一个式子表示为：101( ),(0, 1, 2,),2()nncfcdniz 0102(

36、 )()( )nnnf zczzf zrzzr称为函数在圆环域内的洛朗展开式，0102()( ).nnnczzf zrzzr而称为函数在圆环域内的洛朗级数说明：00zz(1)在许多应用中，往往需要把在某点 不解析，但在( )f z去心邻域内解析的函数展开成幂级数，那么就利用洛朗级数展开，即0001( )()()nnnnnnf zczzczz为级数解析部分主要部分(2)幂级数在收敛圆环域内所具有的所有性质，洛朗级数在收敛圆环域内同样具有.2021-11-1449 例102( )00.zef zzzz 把函数在以为中心的圆环域内展开成洛朗级数解：nc计算系数，31,2nncecdi c其中 为圆环

37、域内任何一条正向简单闭曲线，3(1)30( )00.znnnf ze zzc 当时，函数在内解析，所以(2)2n 当时，由高阶导数公式，(2)03111()|2(2)!(2)!nnncecdeinn 于是函数的洛朗展开式为：222211111(2)!2!3!4!znnezzzznzz-直接展开法2021-11-1450在圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,( ).f z这个级数就是函数的洛朗级数证明：102( )f zrzzr设函数在圆环域内展开的级数是0( )()nnnf zazzc其中 为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，c为 上任何一点，则0( )()nnnfaz10()pzcp 以去乘上式两边