第五章 一阶电路的瞬态分析

1、第五章第五章 一阶电路的瞬态分析一阶电路的瞬态分析第一节第一节 概述概述电路结构，参数或电源的改变，称为换路。电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态，称为过渡过程。（1）对于纯电阻电路，电路中电压和电流的变化是“立即”完成的。 k闭合 ，k打开 11suir10i k kr1r2r3usi1（2）对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。 例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容电压从0变为 。电容电流su000limlim.csttcduuucccdttti k kc cucrus若电容电压能“瞬间”从0升到 ，则必需有:su

2、0scucti电容电压上升需要时间！电容电压上升需要时间！0li .sluirlisurk krusill l例：原来电感，k闭合稳态时若电感电流能“瞬时”从0升到则需一个无穷大端电压。则需一个无穷大端电压。00limllltdiulldtti电感电流上升需要时间！电感电流上升需要时间！过渡过程分析方法：过渡过程分析方法：1. 1. 经典法经典法2. 2. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法3. 3. 状态变量法状态变量法4. 4. 积分法积分法由kcl、kvl及元件电压电流关系（ ）列出电路方程，然后解出微分方程。,ccduuir icdtlldiuldt( )ccsriuu t( )ccsdur

3、cuutdtc cucric( )stu例： 经典法解过渡过程一阶微分方程0trccsuuaet若us(t)=us( )ccsdurcuutdt0( )(0 )cctutu从方程解出电容电压( )cut的一般解(一阶微分方程解)再由初始条件确定各系数。第二节第二节 换路定则与初始条件换路定则与初始条件 1. 换路法则：（一般情况）（1）电容电压在换路前后的值不变k k( (t t= =0 0) )c cucrus(0 )(0 )ccuu由由 00(0 )(0 )limlimcccccttduuuuicccdttt当当 ，而，而 为有限值，则有为有限值，则有 0t ci(0 )(0 )ccuu（

4、2）电感电流在换路前后的值不变(0 )(0 )lliik k(t=0)(t=0)ruslil由由00(0 )(0 )limlimlllllttdiiiiullldttt当当 而而 为有限值时，则有为有限值时，则有 。0t lu(0 )(0 )llii(0 ), (0 )ccui(0 ),(0 )lliu2(0 )ru例例 ：图示电路，开关闭合已久。求开：图示电路，开关闭合已久。求开关关打开瞬间打开瞬间电容电压电流电容电压电流电感电压电流电感电压电流，电阻电压电阻电压。由换路定则，由换路定则，_(0 )cu(0 )li21212(0 ),(0 )scsluruuirrrr (0 )(0 ),(0

5、 )(0 )cclluuii 解：开关闭合时的电容电压解：开关闭合时的电容电压与电感电流与电感电流为为利用换路定则计算换路后利用换路定则计算换路后瞬间电路状态瞬间电路状态k kusr1r2lc ciluc12(0 )(0 ),scluiirr 222122(0 )(0 )(0 )(0 )0rlslrcruirurruuu 等效电路如图，等效电路如图，得：得：usr1r2iluculicur2电感等效于一电流源电感等效于一电流源 (0 )cu(0 )li因此计算因此计算电路时，电容等效于一电压源电路时，电容等效于一电压源，0t124 ,2sia rr 例例 ： 图示电路图示电路，开关闭合已久，开

6、关闭合已久，求开关打开瞬间电阻求开关打开瞬间电阻r1上的电流上的电流k kir1r1isc c1 1c c2 2lr22121(0 )0,(0 )42ccsuui rv解：开关闭合时有解：开关闭合时有1(0 )2 ,2lsiia开关打开后等效电路如图开关打开后等效电路如图ir1r1isr24v4v2a2a0v0v2(0 )ri1(0 )ri1122(0 )(0 )4 v(0 )(0 )0 v(0 )(0 )2 acccclluuuuii由换路定由换路定可可知知：ir1r1isr24v4v2a2a0v0v1122(0 )(0 )4 v(0 )(0 )0 v(0 )(0 )2 acccclluuu

7、uii121(0 )(0 )(0 )1 a2rrsliiii可以看到：可以看到：换路前后瞬间换路前后瞬间culi连续连续；ci和和和和lu不连续不连续。,ccllduidivdtcdtlcu的导数和的导数和li在换路前后都是在换路前后都是不连续的不连续的的导数的导数因此因此：第三节第三节 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：当换路后的电路无外加激励源，仅由储能元件的初始储能引起的响应利用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路( )0ccruticcduicdt0ccdurcudt0(0 )(0 )ccuuuusrc cicu uc c( (t)t)开关合向右边后，电路方开关合向右边

8、后，电路方程建立：（程建立：（kvl）得：得：电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：一、一、rcrc电路零输入响应电路零输入响应特征方程：特征方程： rcs+1=0trcstcukeke1src 一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程ttrccukeke电路方程解：电路方程解：rc cicu uc c( (t)t)rc0(0 )cuu0ku0( )(0)ctutu et 式中：式中：为电路时间常数，单位为秒。为电路时间常数，单位为秒。由初始条件由初始条件得得电容电压响应（变化规律）：电容电压响应（变化规律）：电压波形为电压

9、波形为tuc02u00 .36 8 u00 .13 5 u00( )tcrcduui tcedtr 0( )trccutu e负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反rc cicu uc c( (t)t)响应与电源（激励）无关响应与电源（激励）无关 ，又叫又叫自由响应（自由响应（natural response)暂态响应（暂态响应（transient response）00,0ttrcrccuuu eietr( )(0 )0ty tyet零输入响应特点：零输入响应特点：（a）零输入响应是初始值的线性函数，满足齐次性，可加性u0：00tcuu etku0 ：00tccukuku et

10、u01+u02：01020102()tttcuuueu eu e （b) 能量传输201(0 )2cwcu t=0 电容能量：电阻消耗能量：22200001(0,)()2trcruwri dtredtcur 电容上的能量完全被电阻消耗掉001( )0.368cuuue12rr反映了电容电压下降为反映了电容电压下降为原值原值0.368时所需时间。时所需时间。u0u uc c( (t)t)t t21（c）时间常数时间常数（time constant）反映电路达到稳态所需要的时反映电路达到稳态所需要的时间间 t 0+ 2 3 4 5 uc u0 0.368u0 0.135u0 0.050u0 0.0

11、18u0 0.007u0 04 5 时间，电路达到稳定时间，电路达到稳定.改变电阻会改变电容电压的下降速度改变电阻会改变电容电压的下降速度利用利用rcrc电路可做成简易延时电路电路可做成简易延时电路（d）时间常数的计算：确定时间常数需简化电路为r-c形式。 电容以外的电路去掉独立电源后去掉独立电源后简化为一个等效电阻。（无源网络简化）rcc1c2c3r1r2r3cr=reqceqreq=r1+r2/r3 ceq=c1/(c2+c3)tuc0t2t1u0pu11100ttcpt tduudku eedtdt 1012()()tuuett u1(t1)=uc (t1)110120()()ttuet

12、tu e21tt次切线法tangent at p(0 )2vcu122 ,1,1frrc 例1 ： 如图所示为换路后的电路，其中 求零输入响应2( ),( )cuti t解：在外围电路中应用解：在外围电路中应用kvl，可得，可得1122cui ri r122ii r于是于是 111cui ri可得等效电阻为可得等效电阻为： 113curri 时间常数为时间常数为 ：3rcs零输入响应为零输入响应为：313222( )(0 )2v0( )( )1( )a6ttcctcutueetuti ti terrr例例2：k闭合前电路处稳态，闭合前电路处稳态，r1=1，r2=2，r3=3，c1=1f，c2=

13、2f，is=1a，t=0时时k闭合，求闭合，求t0时时uc1、uc2、i1、i2、i。c1r1i1isii2r2kr3c2+uc1+uc21=r1c1=1s，uc 1(0+)= uc 1(0)=5vr1isr2r3+uc1+uc2t=0uc 1(0)=(r2+r3)is=5v，uc2(0)=r3is=3vc1+uc1i1r111(0 )50ttccuueevt11150tcuieatr解：解：r=r2/r3=1.2 2=rc2=2.4suc 2(0+)=uc 2(0)=3vc2+uc2i2r3r22.4221.50tcuieatr2.412151.50ttsiiiieeat c1r1i1isi

14、i2r2kr3c2+uc1+uc2为时间常数，为时间常数，0(0 )lii0lldilridt.trtllikekelr初始条件初始条件方程解方程解由初始条件解得由初始条件解得:ilt tio二、 rl电路的零输入响应 开关合向下后可建立方程：开关合向下后可建立方程：一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程0( )rrttsllui ti eer指数规律衰减，最终衰减至零指数规律衰减，最终衰减至零 对应的电阻电压：( )( )rtlrsutri tu e电感电压：( )rtllsdiutlu edt lr与rc电路中的时间常数一样，它反映了过渡过程进程的快慢 （1）rl电路零输入响

15、应与rc电路一样是初始值的线性函数，满足齐次性，可加性（2）在整个过渡过程中，电阻上消耗的总能量为： 22200 0 01() 2rtlri dtr i edtli电阻上消耗的能量就等于电感l上的初始储能 第四节第四节 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应： 当所有的储能元件均没有初始储能，即电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应。电路状态是指电路储能元件的状态（电压、电流值）。电路响应由外加激励引起：零状态响应。ccsdurcuudt(0 )(0 )0ccuu一、直流激励下rc串联 电路的零状态响应电路中电容电压初始值为零电路中电容电压初始值为零( )csstut

16、uu erc式中式中一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次非齐次微分方程微分方程特解特解 ：( )cpsutu齐次方程的通解齐次方程的通解：( )ttrcchutaeae全解为全解为：( )( )( ) tccpchsutututuaesau ( )cstutuke强制响应强制响应( forced response)或稳态响应或稳态响应( steady-state response) ( )(1)tcsutue( )tcsduui tcedtr( )( )trsutri tu e自由响应或暂态响应（自由响应或暂态响应（transient response）2201( )d2rcswri ttcu2

17、12cswcu （ b） 充电过程电阻耗能：充电过程电阻耗能：电容最终储能：电容最终储能：充电过程有一半能量消耗在电阻。充电过程有一半能量消耗在电阻。（a）零状态响应与电源（激励）成正比）零状态响应与电源（激励）成正比（c） time constant =rctt1t2ucusupu1pqtangent at pu1= k(tt1)+up11(1)ttcpst tsdudkuedtdtue1(1)tpsuue1111()(1)ttssuuettue11122121( )()(1)ttsssuu tuettuett4 5 电路达到稳态电路达到稳态解解：0t0时的时的uc 。k=2isr1r2c+

18、uc(1)图(b)iskr1r2c+uct6s ： 2=rc=2s r1 r2 c + uc(2) r 122/3rrr6(1)16(6 )2(1)2(1)1.26tctueev(2)(1)(6 )(6 )1.26ccuuv6622(2)(2)(6 )1.266ttccuueevtt(s)uc(v)61.26uc(2)uc(1)二、直流激励下rl串联电路的零状态响应(0 )0ai0t sdilriudt一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次非齐次微分方程微分方程方程的全解是其特解和齐次方程的通解之和方程的全解是其特解和齐次方程的通解之和( )( )( )phi titi t特解对应的分量为特解对应

19、的分量为强迫分量强迫分量，此处的激励，此处的激励是直流电源，强迫分量是直流电源，强迫分量即即稳态分量。稳态分量。( )( )spuiitr ( )thi tae通解为通解为：( )( )( )tsphui titi taer(0 )(0 )0 aiisuar ( )(1)(1)trtssluui teerr( )( )(1)rtlrsutri tue( )rtllsdiutlu edt例：图示电路 12122k ,4k ,1mh,2mh,6vsrrllut=0开关s闭合，求零状态响应：12( ),( ), ( )llututi t解：解：123mheqlll126keqrrr3633 1011

20、0 s6 102eqeqlr6666662 102 10332 1032 101132 1032 10226( )(1)(1)1ma6 10( )1 10(1) 10 2v( )2 10(1) 10 4vtttseqttlttlui teeerdidutleedtdtdidutleedtdt 三、正弦交流激励下rl串联电路的零状态响应激励为正弦交流电压源激励为正弦交流电压源：( )sin()smuutut0t ( )sin()smudilriututdt初始条件仍为初始条件仍为：(0 )0i( )( )( )phi titi t设该特解设该特解：sin()ppmiit代入微分方程可得：代入微分

21、方程可得： cos()sin()sin()pmpmmulitritut令令:1()ltgr2222sin, cos()()lrrlrl有有:式（式（1）令令:22()zrl式（式（1）左左边边可改写为可改写为：cos()sinsin()cos sin()pmpmzittzit则：则：sin()sin()pmmuzitut,mpmuuiz特解为特解为：( )sin()mpuuittz全解为全解为：( )sin()tmuui ttaez(0 )(0 )0iisin()muuaz ( )sin()sin()rtmmluuuui ttezz( )sin()sin()rtmmluuuui ttezz(

22、)sin(90 )sin()rtmmlluuulu rdiutltedtzz( )sin()sin()rtmmlruuu ru ruttezz从上述求解过程可以看出，正弦信号激励下的电路求解过程从上述求解过程可以看出，正弦信号激励下的电路求解过程比较繁琐比较繁琐。可采用。可采用后述的后述的“相量法相量法”，简化计算过程。，简化计算过程。第五节第五节 一阶电路的全响应和三要素法一阶电路的全响应和三要素法由外施激励和储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应。全响应即意味着微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。开关开关s处位置处位置1已久已久1(0 )(0 )ccsuuu在开关在开

23、关s切换后切换后：2ccsdurcuudt通解为通解为：2( )( )( )trcccpchsutututuae12ssauu全响应全响应：212( )()trccsssutuuue12( )(1)ttrcrccssutu eue零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应t trcke电路全响应 = 通解 特解= 零输入响应 + 零状态响应暂态分量（自由响应）+ 稳态分量（强制响应）稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，暂态分量形式暂态分量形式 决定于电路结构参数。决定于电路结构参数。说明：外施

24、激励为直流源或者正弦交流电源时，强迫响应也分别为恒定值或者正弦函数，这时的强迫分量就是稳态分量。如果激励是一个指数函数，例如e指数函数时，强迫响应就是一个相同变化规律的指数函数，此时强迫此时强迫响应就不能称为稳态分量。响应就不能称为稳态分量。( )( )tf tftke稳(0 )f(0 )(0 )kff稳( )( ) (0 )(0 )tf tftffe稳稳一阶电路的三要素法（公式法）：电路响应（解）一般形式电路响应（解）一般形式由初始条件由初始条件可解出可解出有：有：由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：（1）稳态解；（）稳态解；（2）初始值；

25、（）初始值；（3）时间常数）时间常数( )( )(0 )(0)trcccccututuue稳稳scuu稳(0 )scuu稳0(0 )(0 )ccuuu0(0 )cuu( )cut例例1求求k闭合后闭合后 rc cu uc c( (t)t)us解：由三要素公式解：由三要素公式得：得：0( )trccssutuuue已知已知,sur和1( )220sin100 ,20 ,(0 )101000scutt cf ru( )cutcu120 0 ,10suc例例2：求：求：k闭合后闭合后 。 的稳态值可用的稳态值可用相量法相量法求出。求出。k krrc c1 1u us s( (t t) )u uc c

26、( (t t) )1()10 1022 545110102scujjcurjjc rouo.j c1 1ic.10sin(10045 )cut稳(0)10sin( 45 )5 2cu （a）1002( )10sin(10045 )105ctutte/10rrr1100r c（b）时间常数）时间常数: 确定时间常数需简化电路为确定时间常数需简化电路为r-c形式。形式。 电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效 电阻。（无源网络简化）电阻。（无源网络简化）故故电容电压：电容电压：rr（c）初始值：）初始值：(0 )(0 )10ccuu( )( ) (0

27、)(0 )tf tftffe稳稳130 ,100 ,(0 )0.1500scuv rcf u( )ri t( ) (0 )(0)rrrrtitiiie稳稳例例3:k krrrirc cus求求k闭合后闭合后 。解：解： 0.152sruari稳31150 ,210rrr c (0 )(0 )0rrii注意：注意：除电容电压和电感电流外，其除电容电压和电感电流外，其它量换路前后一般不相等。它量换路前后一般不相等。(0 )ri0t求求：由：由时电路状态来计算。时电路状态来计算。rrrir(0+)usuc(0-)得：得： 10.1 .322(0 )sriuar10( )0.150.1 0.15rti

28、te例例4：如图电路，：如图电路，r=1 ，c=1f，is=1a， =0.5，电路已达稳，电路已达稳态。求当态。求当 突变为突变为1.5后的电容电压。后的电容电压。isiirrrucc c解：用三要素法求解解：用三要素法求解（1） 电容电压初始值电容电压初始值(0 )cu(0.5)2siiii0.43siia(0 )0.4curiv（2） 电容电压稳态值电容电压稳态值(1.5)2siiii233siia23cpuriv（3）时间常数）时间常数iirrriirr(a)(b)图图(b)电路的入端电阻电路的入端电阻(2)0.5rr图图(a)电路的入端电阻电路的入端电阻013rrrrr013cr电容电

29、压为电容电压为322( )0.433ctuter( )stutue(0 )0cutccdurcuuedtctrcuke tcuae tttrcaeaeue1uarc1tcuuerc (0 )(0 )0ccuu1ukrc( )1ttrccuuteercusrc cuck k例例5（指数激励），（指数激励），注意注意: : 三要素法应用于直流或正弦电源激三要素法应用于直流或正弦电源激励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。求求k(t=0时时)闭合后的闭合后的( )cut。，通解，通解，特解，特解代入原式代入原式，得，得特解为特解为全解全解由由得得有有1trccc

30、ctuuuuekerc例例6 如图电路，如图电路，已知已知us=18v， =8，r66 ，l=0.9h，c=0.5f，il(0 )=0a，uc(0 )=0v，t=0时开关时开关s闭合，试求闭合，试求il(t)和和uc(t)。 解：根据换路定则可得解：根据换路定则可得:(0 )(0 )0allii当开关当开关s闭合后电路到达稳态时，闭合后电路到达稳态时，在左侧电路中应有在左侧电路中应有:1 ( )1a/2sluirrr 10.90.1s9eqlr110( )( ) (0 )( )1attlllli tiiiee 110( )( ) (0 )( )1attlllli tiiiee 1010( )1

31、 0.5a,84aldittldtrili teier 在电路右侧部分回路中，由于激励在电路右侧部分回路中，由于激励i含有指数函数，此时的电路含有指数函数，此时的电路强迫响应不是稳态分量强迫响应不是稳态分量,不可以用不可以用( )( )pftf, cccccriuduiiicrdt利用利用kcl:101846tccduuedt(0 )(0 )0vccuu解此微分方程得解此微分方程得:1610( )47.593480.407vttcutee 【参见参见教材教材附录附录a】第六节第六节 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应在分析线性电路过渡过程时，基于工程应用，通常研究一些典型奇异函数所描述的激励

32、下一阶电路的响应。奇异函数奇异函数是本身不连续、或者有不连续导数与积分的一类函数。一、阶跃函数一、阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数01( )1t00tt将单位阶跃函数乘以常数将单位阶跃函数乘以常数k k，得到阶跃函数，得到阶跃函数也也称为开关函数称为开关函数)(1 tk 延时的单位阶跃函数延时的单位阶跃函数10)( 10tt00tttt利用阶跃函数和延时阶跃函数，利用阶跃函数和延时阶跃函数，可以表示可以表示矩形脉冲函数矩形脉冲函数0( )1( )1()sutatatt二、阶跃响应二、阶跃响应阶跃函数激励的电路，相当于电路在阶跃函数激励的电路，相当于电路在 时刻接时刻接通电压值为通电压值为k k

33、（v v）的直流电压源或者电流为）的直流电压源或者电流为k k（a a）的直流电流源。的直流电流源。可见可见，阶跃响应与直流源激励时，阶跃响应与直流源激励时电路的响应相同，可以用上节所述的三要素法。电路的响应相同，可以用上节所述的三要素法。0t 例：例： 在如图所示在如图所示 电路中，电路中，电压电压 分别由阶跃函数和延时的阶跃函数设定为分别由阶跃函数和延时的阶跃函数设定为：rl10 ,2hrl( )sut( )10 1( )sutt( )10 1(2)sutt和和分别求分别求0t 该电路的零状态响应该电路的零状态响应( )i t解：解：( )10 1( )sutt相当于在相当于在0t 时刻接

34、通时刻接通10v的直流电压，应用三要素法，可求的直流电压，应用三要素法，可求出其阶跃响应为出其阶跃响应为：510( )( )(0 )(0 )(1) 1( )(1) 1( )atrtlppti titiieetret( )10 1(2)sutt仍以仍以0t 时刻设定计时起点时刻设定计时起点，可得可得：2(2)5(2)( )( )(2 )(2 )10 11(2)(1) 1(2)atpprttli ti tiieetetr510( )( )(0 )(0 )(1) 1( )(1) 1( )atrtlppti titiieetret2(2)5(2)( )( )(2 )(2 )10 11(2)(1) 1(

35、2)atpprttli titiieetetr该电路的激励延时该电路的激励延时0t，响应也随之延时响应也随之延时0t这种电路称为这种电路称为 非时变电路非时变电路若电路中的若电路中的r r、l l、c c、mm均为常系数，这样的电路都均为常系数，这样的电路都是非时变电路是非时变电路例例： 在所示电路中，在所示电路中， 12( )3 1( )a,( )2 1(2)assittitt 124 ,6rr 0.1f,(0 )0vccu计算计算 时时0t ( )cut12( )0a,( )0a,(0 )0vsscititu解：解：02st 12( )3a,( )0a,(0 )(0 )0vssccitit

36、uu12()1srrc在在3a电流源作用下的稳态响应为：电流源作用下的稳态响应为：12( )( )18vcpcsutuir ( )( )(0 )(0 )18(1) vttccpccpututuuee2st 时：时：12( )3a,( )2assitit2(2 )(2 )18(1)15.56vccuue2112( )( )26vcpcssutuirir (2)(2)( )( )(2 )(2 )26 10.44 vttccpccpututuuee三、脉冲序列响应三、脉冲序列响应激励呈现为脉冲序列的特征一个方波序列信号,电路处于一个连续的充电和放电过程 在（在（0t0）时间内，电源电压为）时间内，电

37、源电压为u，电容处于充电过程，电容处于充电过程( )( )cpcutuu ( )( )(0 )(0 )(1)ttrcccpccpututuueue0tt电容处于放电过程，电容处于放电过程，00()(1)trccutue000()()(1)trcccututue( )( )0cpcutu 00000( )( )()()(1)t ttt trcrcccpccpututututeuee以上方法是基于激励的作用，以上方法是基于激励的作用，对时间进行分段对时间进行分段求解的方法。求解的方法。若考虑到激励为矩形脉冲，依据若考虑到激励为矩形脉冲，依据叠加定理叠加定理0( )1( )1()sututtt01(

38、)0( )11( )11()tt trcrccutuetuett0011()()01()0( )11( )11()11()11()tt tt trcrcrcctt trcutuetuettuettuettt00.5 ()trc 010 ()trc 第七节第七节 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应单位冲激函数0 t0( ) t=0( )1ttdt冲激响应: 在单位冲激函数激励下电路的零状态响应1( )( )d ttdt( )ccdurcutdt通解为其强迫响应与自由响应之和:( )( )( )( )1( )trcccpchutututtat e01arc21( )( )( )1( )11( )

39、1( )( )trcccpchtcrcutututetrcdui tcettdtr cr 电容电压的变化规律和电容初始值为电容电压的变化规律和电容初始值为 时电路的时电路的零输入响应相同零输入响应相同。1rc冲激函数激励可看作在 t0时刻电路中一个量值为无限大，而作用时间为无限小的电压源。在 时段内，冲激函数激励使储能元件的初始储能发生跳变，建立起 时刻的初始储能。当 后，冲激函数的激励消失，电路靠 时刻的初始储能而出现零输入响应零输入响应。(0 ,0 )0t0t 0t求出冲激激励源在电容中建立的初始电压，或者在电感中建立的初始电流，即求出换路后瞬间储能元件的初始值，就可以按零输入响应的形式确

40、定电路中的过渡过程。1(0 )(0 )0ccuurc 冲激函数是阶跃函数的导数，因此在线性、非时变电路中，冲激响应 亦是阶跃响应 的导数。( )h t( )s t阶跃响应由“三要素法”得出为：( )( )(0 )(0 )(1) 1( )1( )1( )ttrcrcccpccptrcs ututuueets i tetr求导可得冲激响应为：2( )1( )1( )( )11( )1( )( )tcrcctrcds uth utetdtrcds i th i tettdtr cr 例：在所示电路中， ( )2 (2)v,(0 )2aslutti2hl 124 ,8rr 计算0t 时的( )li t

41、解：电路全响应为零输入响应和零状态响应之和。02st 电路有零输入响应。1223s4 84(0 )(0 )2alllrrii43(0 )2attlliiee2st 延时的冲激函数激励该电路，可以利用阶跃响应利用阶跃响应来求解其冲激响应，即电路的零状态响应。( )1( )vsu tt1( )( )0.25aslputitr令令43( )( )(0 )(0 )0.25(1) 1( ) attllpllps i titiieet43( )( )(0 )(0 )0.25(1) 1( ) attllpllps i titiieet冲激响应为：43( )1( )1( ) a3tllds i th i te

42、tdt基于电路的线性和定常特点( )2 (2)vsutt激励下电路的冲激响应：4(2)322(2)1( ) a3tllih i tet全响应为：44(2)332( )(2) 1( ) a3ttllli tiieet（方法二）冲激响应也可以按电感初始状态的变化来求取( )2 (2)vsutt作用期间：2st 时，电感上的分压为：21284(2)2 (2)(2)v483lsruuttrr(2 )0li(2)lu在(2 , 2 )内在电感上产生的初始状态为：22221142(2 )(2 )(2)(2)a233llliiudttdtl其产生的零输入响应也是：4(2)322(2)1( ) a3tllih

43、 i tet 例例: 在如图电路中，在如图电路中，n为纯电阻网络为纯电阻网络 2hl 当当( )1( )vsu tt21( )(1) 1( ) a4ti tet当当( )( )vsutt且将电感且将电感l更换为电容更换为电容1fc 试试计算计算( )i t解：当解：当( )1( )vsu tt电流电流i可由可由“三要素法三要素法”求得求得：比较上式等号两端可知比较上式等号两端可知：( )1a3(0 )a421s,42piiilrrr r是当电压源置零时电感是当电压源置零时电感l左侧部左侧部分的等效电阻。分的等效电阻。( )1( )vsu tt电感电感l更换为电容更换为电容c此时的阶跃响应此时的

44、阶跃响应：( )( )(0 )(0 )tpps i ti tiie考虑到当考虑到当0t(0 )(0 )0llii电感相当于开路；电感相当于开路；(0 )(0 )0ccuu电容相当于短路电容相当于短路；t 时，电感相当于短路，而电容相当于开路。时，电感相当于短路，而电容相当于开路。比较可得比较可得：3( )( )(0 )a4(0 )( )1a4spi tiiiirc 1431( )( )(0 )(0 )() 1( ) a44ttpps i ti tiieet1431( )( )(0 )(0 )() 1( ) a44ttpps i ti tiieet( )1( )vsu tt( )( )vsutt

45、则：则：14( )1( )( )1( ) a16tds i th i ttetdt第八节第八节 一阶奇异电路一阶奇异电路本节论述不适用换路定则，即在换路前后瞬间电容电压和电感电流将呈现跳变的一阶电路（一阶奇异电路）的特征。 一阶奇异电路可以应用三要素法分析，分析的要点在于确定电容电压和电感电流跳变的初始状态。（1）对于一阶奇异电路，当电路换路后，电路中存在由电压源、电容组成的回路或纯电容回路时，换路定则不适用，各电容电压可能会跳变，且电容电流不再是有限值。分析一阶rc奇异电路电容初始值的方法为：在节点上电荷守恒，在节点上电荷守恒，即：(0 )(0 )qq节点节点(0 )(0 )cccucu节点

46、节点电荷为代数量，电荷为代数量，当与节点相连为电容正极板时，电当与节点相连为电容正极板时，电荷取正；反之，取负。荷取正；反之，取负。电路存在由电压源和电容组成的回路（或存在纯电容回路）时电容电压有突变。但节点电荷不突变证明：证明：如图所示电路，满足如图所示电路，满足kclk kuc1uc2usa ac c1 1c c2 2(0 )(0 )qq1212,ccduduccdtdt 00121200ccduducdtcdtdtdt对上式从对上式从t=0 到到 t=0+ 积分积分00112200,ccc duc du 11112222(0 )(0 )(0 )(0 )cccccucuc uc u1122

47、1122(0 )(0 )(0 )(0 )cccccuc ucuc u 00121200ccduducdtcdtdtdtk kuc1uc2usa ac c1 1c c2 2注意：电容电压正号对着节点为正，注意：电容电压正号对着节点为正， 负号对着节点为负。负号对着节点为负。1212,2 ,4 ,sucfcf 12(0 ),(0 )ccuu例例1：设：设k kuc1uc2usa ac c1 1c c2 212(0 )4 ,(0 )2 ,ccuvuv 开关原来打开，问开关原来打开，问k闭合后瞬间闭合后瞬间。0(0 )(0 )kvltqq由列时回路电压方程；列电容连接处节点电荷守恒方程解题要点：解题要

48、点：解：电路闭合后，应满足kvl，即有：12(0 )(0 )sccuuu节点节点a电荷变换前后应保持一致电荷变换前后应保持一致(0 )(0 )aaqq即：即： 11221122(0 )(0 )(0 )(0 )cccccuc ucuc u 代入数据：代入数据： 1212(0 )(0 )ccuu122(0 )4(0 )88ccuu k kuc1uc2usa ac c1 1c c2 212(0 )8 ,(0 )4ccuv uv12(0 )4 ,(0 )2 ,ccuvuv 得：得： 比较比较例例2：在图示电路中，已知在图示电路中，已知 11fc 22fc 12(0 )1v,(0 )2vccuu2r 0

49、t 时，开关时，开关s闭合，求闭合，求s闭合后闭合后1( )cut2( )cut1( )cit2( )cit解：解：s闭合后瞬间，闭合后瞬间，12(0 )(0 )ccuu换路前后电荷守恒换路前后电荷守恒：22112211(0 )(0 )(0 )(0 )ccccc uc uc uc u代入数据代入数据可解得：可解得：125(0 )(0 )v3ccuu12()6sr cc1611625( )1()1( ) v 35( )2 1()1( ) v3tctcuttetuttet 116111262225( )( )1( ) v31825( )( )1( ) v39tcctccduitctetdtduit

50、ctetdt 可可见：见：1122(0 )(0 ),(0 )(0 )ccccuuuu即换路瞬间电容电压强迫跳变，且电容电流中出现了冲激函数。即换路瞬间电容电压强迫跳变，且电容电流中出现了冲激函数。（2）对于一阶奇异电路，当电路换路后，电路中存在由电流源和电感组成的割集或纯电感割集时，换路定则不适用，各电感电流可能会发生跳变，且电感电压不再是有限值。分析一阶rl奇异电路电感初始值的方法为：在回路中磁链守恒在回路中磁链守恒，即：(0 )(0 )回路回路(0 )(0 )lllili回路回路磁链为代数量，磁链为代数量，给定回路方向，当电感电流方向与回路方向一致时，取正；反之，取负。证明：对两个电感所在

51、的回路列证明：对两个电感所在的回路列kvl方程方程k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b11(0 )(0 )(0 )(0 )k kk kkknnllii当电路存在由电流源和电感组成的割集（或纯电感割集）时，电感电流有突变。但回路磁链的值在换路前后保持不变:00002132211100000lllldidir i dtldtldtri dtdtdt213221110,lllldidir illridtdt 对上式从对上式从t=0 到到 t=0+ 积分积分002211000,lll dildi 22221111(0 )(0 )(0 )(0 )0lllll il ilili22112

52、211(0 )(0 )(0 )(0 )lllll ilil ili11(0 )(0 )(0 )(0 )k kk kkknnllii所以：所以：k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b注意：电感电流与回路绕注意：电感电流与回路绕向一致为正，不一致为负。向一致为正，不一致为负。12310rrr12lh21,6 ,slh ia k12(0 ),(0 )llii例例3：，原来原来k闭合，闭合，求：求：k打开后打开后。k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b解：解：12(0 )(0 )23slliiia0kclt由列节点电流方程列电感回路磁链守恒方程解题要点：解题要点：0t1

53、2(0 )(0 )slliii_(0 )(0 )11221122(0 )(0 )(0 )(0 )lllllil ilil i126(0 )(0 )llii122(0 )(0 )42llii1210(0 )8/3 , (0 )3lliaia由由kcl，开关打开后，开关打开后k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b时时利用回路磁链不突变：利用回路磁链不突变： 磁链方向与回路方向一致！磁链方向与回路方向一致！代入数据代入数据得：得：，12(0 )(0 )23slliiia比较：比较：例例4 在图示电路中，已知在图示电路中，已知 11r 22r 11hl 24hl 3asi 开关开关s原

54、在原在1处已久，在处已久，在0t 时，开关时，开关s由由1切换至切换至2，求换路后，求换路后的电感电流的电感电流12( )( )llitit、电感电压电感电压12( )( )llutut、解：当解：当0t 开关开关s在在1处已久处已久21121212(0 )2a(0 )1 alslsriirrriirr当当s由由1切换至切换至2后瞬间，后瞬间，0t时有时有：12(0 )(0 )0llii换路前后磁链守恒换路前后磁链守恒：22112211(0 )(0 )(0 )(0 )lllll ilil ili代入数据，并联立求解得代入数据，并联立求解得：1222(0 )a,(0 )a55llii 12125

55、s3llrr应用三要素法，换路后电感电流可应用三要素法，换路后电感电流可以表示为以表示为：3513522( )2 1()1( ) a 52( )1()1( ) a5tltlittetittet 电感电压为电感电压为：3151132522126( )( )1( ) v5251224( )( )1( ) v525tlltlldiutltetdtdiutltetdt 可可见见，11(0 )(0 )llii22(0 )(0 )llii即在换路前后电感电流发生强迫跳变，且电感电压中即在换路前后电感电流发生强迫跳变，且电感电压中出现了冲激函数。出现了冲激函数。本节以下内容不做要求本节以下内容不做要求k k

56、uc1uc2usa ac c1 1c c2 21212,ccduduccdtdt 121200ccduducdtcdtdtdt对上式从对上式从t=0 到到+ 积分积分11112222( )(0 )( )(0 )cccccucuc uc u 11221122( )( )(0 )(0 )cccccuc ucuc u 强迫突变下的电荷守恒和磁链守恒强迫突变下的电荷守恒和磁链守恒对于电容，对于电容， 如图回路由如图回路由kcl得：得：rc c1 1uc1 1c c2 2uc2 2auc1uc2a ac c1 1c c2 2-+uc3c c3 3对纯电容节点，电荷不突变且守对纯电容节点，电荷不突变且守恒

57、恒(0 )(0 )aaqq( )(0 )aaqq (0 )(0 )aaqq对非纯电容节点，电荷不突变但不对非纯电容节点，电荷不突变但不守恒守恒k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b2132211100000lllldidir i dtldtldtri dtdtdt213221110,lllldidir illridtdt 对上式从对上式从t=0 到到 积分积分对于电感，对于电感，如图回路由如图回路由kvl得：得：22221111( )(0 )( )(0 )0lllll il ilili _( )(0 ) k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b_(0 )(0 )_

58、(0 )(0 )对非纯电感回路，磁链不突对非纯电感回路，磁链不突变但不守恒变但不守恒对纯电感回路，磁链不突变且守恒对纯电感回路，磁链不突变且守恒l1l2il 1il 2_( )(0 ) 例：图示电路中，已知例：图示电路中，已知is=6a， l1=1h l2=1h,r=1 ,il1(0-)=1a, il2(0-)=2a,求求k闭合后的闭合后的il2(0)及及il2( )解：解： il1(0)= il1(0-)=1a, il2(0) il2(0-)=2a解之得：解之得：il1( )2.5a， il2( )3.5a1122112212( )( )(0 )(0 )( )( )( )llllllrsli

59、l ilil iiiii risl1l2il1il2k kus+ulir1r2r3clicil+uc解题步骤：解题步骤：独立初始值：独立初始值：uc(0+)与与il(0+)； t=0非独立初始值：非独立初始值：第一类非独立初始值：第一类非独立初始值： t=0+第二类非独立初始值：第二类非独立初始值： t 0 其他其他，ul(0+)，ic(0+) 00,cldudidtdt例：开关例：开关k打开前电路处稳态，给定打开前电路处稳态，给定r1=1，r2=2，r3=3，l=4h，c=5f，us=6v，t=0开关开关k打开，求打开，求ic ，il，i，uc ，ul， 在在0+时的值。时的值。22,ccl

60、ldudidid idtdtdtdt解解：us+uc(0)r1r2r3il(0)i2(0)t=0：123(0 )4()/sluiarrr212(0 )4csruuvrruc (0+)=uc(0)=4vil(0+)=il(0)=4a1(0 )(0 )2sccuuiari(0+)= ic (0+)+il(0+)=6aul (0+)=us r3il(0+)= 6v01(0 )1.5/ lldiua sdtl01(0 )0.4/ccduiv sdtct=0+：us+ul(0+)r1uc(0+)r3il(0+)i(0+)ic(0+)t0：us+ulir1ilr3clic+uc图(d)r1ic + uc