第六节极限存在准则

1、第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 与两个重要极限与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则1.迫敛性准则迫敛性准则(夹逼准则夹逼准则)准则准则 满足下列条件：若数列111)( ,)( ,)(nnnnnnzyx),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn .lim,)(1axxnnnn 且且的极限存在的极限存在则数列则数列准则准则 i和和准则准则 i 称为称为迫敛性准则迫敛性准则.)()()(xhxfxg axhaxgxx )(lim,)(lim)2(.)(lim,)(limaxfx

2、fxx 且且存在存在则则有有时时或或当当。,)|(),()1(0mxrxux 准则准则( ), ( ), ( ) f xg x h x设设函函数数满满足足如如下下条条件件：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求22222111.121nnnnnnnnn证明： 例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求22222111.121nnnnnnnnn证明： 2221lim=lim11n1 lim=lim111nnnnnnnnnn又=1，=1，例例1 1).12111(lim222nnnnn

3、求求22222111.121nnnnnnnnn证明： 2221lim=lim11n1 lim=lim111nnnnnnnnnn又=1，=1，222111lim()112nnnnn例例2 2证明下列重要极限1sinlim0 xxxac)20( tansin xxxx先证先证,oaboacoabsss 扇扇形形 xobd证明：证明：,tan2121sin21xxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x. 1sinlim0 xxx)0)(lim( . 1)()(sinlim00 xxxxxxx其中可推广为可推广为.tanl

4、im 10 xxx求求例例.tanlim 10 xxx求求例例00tansin1limlimcos xxxxxxx解：.tanlim 10 xxx求求例例0000tansin1limlimcossin1 limlim=1cosxxxxxxxxxxxx解：；.cos1lim 220 xxx 求求例例.cos1lim 220 xxx 求求例例222220002sinsin1 cos122limlimlim22 xxxxxxxxx解：.cos1lim 220 xxx 求求例例22222000202sinsin1 cos122limlimlim22sin112 lim.222xxxxxxxxxxxx解

5、：0arcsin3 lim.xxx例 求 arcsin00uxxu解：令,利当时，用复合函数求极限,0arcsin3 lim.xxx例 求00 arcsin00arcsin lim= lim1.sinxuuxxuxuxu解：令,当时，,所利用复合函数有求极限以.nnn1lim证明例例4 4 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*） 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*）lim0.nn只要证即可 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nn

6、n （*）lim0.nn只要证即可 1 (1) .nnnnnn ， 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*）lim0.nn只要证即可 1 (1) .nnnnnn ，22(1)(1)1.22nnnnnn nn nnn 展开得 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*）lim0.nn只要证即可 1 (1) .nnnnnn ，22(1)(1)1.22nnnnnn nn nnn 展开得222.(1)1nnn nn 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*）lim0.nn只要证即可 1 (1)

7、.nnnnnn ，22(1)(1)1.22nnnnnn nn nnn 展开得222.(1)1nnn nn20.1nn 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*）lim0.nn只要证即可 1 (1) .nnnnnn ，22(1)(1)1.22nnnnnn nn nnn 展开得222.(1)1nnn nn20.1nn 2lim00,lim0,1nnn 1, 1. 1 (0).nnnnnnn证明： 不妨设令 11. nnn （*）lim0.nn只要证即可 1 (1) .nnnnnn ，22(1)(1)1.22nnnnnn nn nnn 展开得222.(1)1nnn

8、 nn20.1nn 2lim00,lim0,1nnnlim=0.nn由夹逼准则得证毕)( 1lim )0( 1lim1留留作作练练习习是是常常数数注注：.xa.axxnn .lim,321321nnnnnaaaaaa 为为正正实实数数，求求设设例例5 512312333,nnnnnnnnnaaaaaaa解：设a=maxa ,a ,a , 则.lim,321321nnnnnaaaaaa 为为正正实实数数，求求设设例例5 512312333,nnnnnnnnnaaaaaaa解：设a=maxa ,a ,a , 则123lim31,lim= .nnnnnnnaaaa而所以x1x2x3x1 nxnx2.

9、单调有界收敛准则单调有界收敛准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:am准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.准则准则ii实际上包含两点：实际上包含两点：1）若）若 单调增加且有上界，则单调增加且有上界，则 必有极限必有极限.nxnx2）若）若 单调减少且有下界，则单调减少且有下界，则 必有极限必有极限.nxnx证明省略证明省略例例1 1.)(333的极限重根式求数列nxn证证, 331 x, 3 kx假定假定kkxx 31则有则有33 , 3 ;是有上界的nx.lim存

10、在存在nnx 33312 xx又又2)3( 3 ,1x ,1kkxx 假定假定11233 kkkkxxxx则有则有 .是单调递增的是单调递增的nx,limaxnn 设设,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnx重要极限重要极限exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim. ,)11(0iinninnnbainbanx ）注意（注意（设设 21! 2)1(1! 11nnnnn展开，得展开，得).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1

11、()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn类似地类似地,).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 2111),11()21)(11(!1)11(! 21111 nnnnnnnnnnnxnnnnnnxnn, 1nnxx ;1是是单单调调递递增增的的 nnx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;1是有界的是有界的 nnx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( ee=2.71828182845904

12、523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860

13、626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841

14、61403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796 exxx )11(lim下面证明下面证明,1 . )1( xx不不妨妨设设时时当当证证明明：, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)11

15、1(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , . )2(xtx 令令时时当当ttxxtx )11(lim)11(lim则则ttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim)2(),1(得得由由可推广为可推广为)0)(lim( .)(1 lim )(1 xexxxx 其其中中或或由复合函数极限运算法则，可得由复合函数极限运算法则，可得exxx 10)1(lim特别地，特别地，)(lim( .)(11lim)( xexxxx 其其中中.)11(lim1xxx 求求例例解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e

16、 .)23(lim22xxxx 求求例例解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e ( )lim( )0 lim ( ),lim ( ).xxg xbxf xag xbf xa如果，则 ( )( )ln( )lim ( )lim g xg xf xxxf xe证明：( )( )ln( )lim ( ) lnlim( )lim ( )lim xxg xg xf xxxg xf xf xee证明：( )( )ln( )lim ( ) lnlim( )lnlim ( )lim xxg xg xf xxxg xf xbabf xeeea证明：.)1(lim3sin20 xxx 求求例

17、例.)31(lim410 xxx 求求例例.)tan31(lim52cot20 xxx 求求例例.)11(lim62 xxxx求求例例17lim(1).xxx 例例求求三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10